拉格朗日定理
引用:拉格朗日定理。Brilliant.org.检索从//www.parkandroid.com/wiki/lagranges-theorem/
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拉格朗日定理
对于任何群体 1) 子组的一般示例是通过选择一个元素来获得的
< 命题 的 因此,我们定义 让 同集最重要的性质是
5)
拉格朗日定理
. 如果
G 有限群和 H 的子组是 G ,然后 ∣ H 分∣ ∣ G .∣ 作为直接推论,我们得到if
G 有限群和 g ∈ ,然后G o ( g 分) ∣ G .特别是,∣ g ∣ G =∣ e 对所有 g ∈ .G
证明这个命题。
假设
米 是有限的。我们声称 < g > = { e , g , g 2 , ... , g 米 − }1 所有这些 米 元素是不同的。对于第一个语句,请注意对于any n ∈ ,我们可以写Z n = 问 米 + r , 在哪里0 ≤ r ≤ 米 − .因此1 g n = ( g 米 ) 问 ( g r ) = e ( g r ) = g r .为了证明第二种说法,假设g 我 = g j 为0 ≤ 我 ≤ j ≤ 米 − ,然后1 g j − =我 e ,这与的极小性相矛盾 米 . □
让
g , g ” 而且∈ G H ⊆ 成为一个子组。G (一)如果
g − 1 g” ,然后∈ H g H = g ” .H (b)如果 g − 1 g” ∈ H ,然后 g H ∩ g ” H = .∅
对于第一个语句,的任何元素
g ” 可以写成H g ” ,对一些人来说h h ∈ .但H g ” h = g ( g − 1 g” ) h ∈ g H 自g − 1 g” .这告诉我们∈ H g ” H ⊆ g H .相反,的任何元素 g H 可以写成g h , h ∈ 而且H g h = g ” ( g ” − g1 ) .但h g ” − g1 = ( g − 1 g” ) − 在于1 H 自 H 的子组是 G .因此,结果如下和 g H = g ” .H 对于第二个表述,假设
x ∈ g H ∩ g ” .那么它可以写成H x = g h = g ” 对于一些h ” h , h ” .因此∈ H g − 1 g” = h h ” − ∈1 H , 这与事实相矛盾吗g − 1 g” ∈ H . □
证明拉格朗日定理。
由上可知,协集划分了整个组
G 相互分离的子集,它们都有 ∣ H 元素。因此,拉格朗日定理随之而来。∣ □
证明如果
∣ G 是质数∣ G 是 循环 .
取任意元素
x ∈ G ∖ { e G ,根据拉格朗日定理,的阶为} x 必须是1或 ∣ G .的唯一元素∣ G 阶是1 e G ,x 有订单 ∣ G .因此,∣ G 由 { x ,所以} G 是循环的。 □
表明如果组的顺序
G 而且 H 都是相对素数,那么它们的交集只包含恒等式。
首先要注意的是
G ∩ 两者都是子组吗H G 而且 H .然后,根据拉格朗日定理, ∣ G ∩ H ∣ 分两个∣ G 而且∣ ∣ H .自∣ 肾小球囊性肾病 ( ∣ G ∣ , ∣ H ∣ ) = ,我们一定有1 ∣ G ∩ H ∣ = .只有一个1阶的子群存在,这个子群只包含恒等式,所以1 G ∩ H = { e .} □
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