拉格朗日乘客
已经有一个帐户?<一种HR.ef="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/lagrange-multipliers/" class="ax-click" data-ax-id="clicked_signup_modal_login" data-ax-type="link">在此登录。一种>
有关……
- 结石>
拉格朗日乘数的方法是数学中的一种技术,用于找到函数的局部最大值或最小值
解决方法
首先,我们部分区分
这里, 如果总表面积是最大的体积,请找到具有最大卷的盒子的尺寸
继续如上所述,我们得到了
关于解决,有两种解决方案:
-
λ=0.那这是一个
y =0.要么Z. =0.通过等式(1),但这是不可能的。所以唯一可能的解决方案是 X =y=Z.=±3.3.2 .自X 那y那Z.>0.那我们有X =y=Z.=3.3.2 =3..26.6.厘米. □
笔记:我们要小心一点。因为我们只有一个解,我们可能会假设这些维数会给出最大的体积。拉格朗日乘数法将给出一组点,这些点将使受约束的给定函数最大化或最小化,前提是存在最小值或最大值。
在这里,我们得到了三个正数的总和
注意,我们实际上从来没有找到值
极值亲戚(本地)条件
在可以在椭圆上刻录的所有矩形中,找到最大区域的矩形。
让我们假设椭圆的等式是 G (X那y)=一种2X2+B.2y2=1.被搜索的矩形,在椭圆上具有其顶点,必须对坐标轴进行对称,因此找到坐标就足够了 ( X那y)位于第一象限中的顶点。我们想要最大化的区域是功能F (X那y)=4.Xy.在这种特殊情况下,我们可以清除
y =一种B.一种2-X2 .在等式中取代F 那问题可能会最大化功能F (X)=4.B.X⋅一种一种2-X2 . □
但是更一般的方法可以给出我们的绑定条件,但不允许透明变量取决于其他变量。因此,利益研究拉格朗日乘法器方法。
问题陈述
让
是
定理(拉格朗日乘法器)
定理(拉格朗日乘法器)
在建立问题的条件下,如果另外
F ∈C1(一种),然后是函数F 在该点处具有极值相对条件一种 那有必要存在P. 实数λ 1那...那λP.这样的功能L. =F+λ1G1+⋯+λP.GP.满足D. L.(一种)=0.. (λ1那...那λP.被称为拉格朗日乘数。) 让我们进一步假设
G 一世那F∈C2(一种)一世=1那...那P.并且在这一点一种 ∈一种那验证了D. L.(一种)=0..那样F 拥有目的一种 最小(分别最大)相对条件是足够的D. 2L.(一种)(H那H)>0.∀H∈R.P.+问:和H =0.(resp。<0)和D. G一世(一种)=0.那一世=1那...那P..
在这个定理的长时间且不容易证明之前,我们将看到2个例子。让我们回到上面的例子,在极值相对条件下。
例子
在可以在椭圆上刻录的所有矩形中,找到最大区域的矩形。
让 L. (X那y)=4.Xy+λ(一种2X2+B.2y2-1).我们想要最大化
F (X那y)=4.Xy(在极值相对条件中阅读上面的示例)。G(X那y)=一种2X2+B.2y2-1. 为了 ( X那y)充实的D. L.(X那y)=0.有必要的:
D.XD.L.(X那y那Z.)=4.y+一种22λX=0.
D.yD.L.(X那y那Z.)=4.X+B.22λy=0..
这,加上连带性条件
一种 2X2+B.2y2-1=0.那必须满足搜索的解决方案( X那y).第一象限中这些方程的唯一解决方案是( X=2 一种那y=2 B.)和λ =-2一种B..知道如果( X=2 一种那y=2 B.)是最大值或最小的,我们做的二级差异。考虑H =(H1那H2)∈R.2:D.2L.(2 一种那2 B.)(H那H)=(H1H2)⋅(一种-4.B.4.4.B.-4.一种)⋅(H1H2)=-4.(一种B.H12-2H1H2+B.一种H22)
并替代向量
H =(H1那H2)∈R.2验证D.G(2 一种那2 B.)(H1那H2)=0.=一种22 2一种H1+B.22 2B.H2那 IE。
一种H1+B.H2=0.. 对于这些载体
H =0.那H2=一种-B.H1是D.2L.(2 一种那2 B.)(H那H)=-16.一种B.H12<0.. 因此,获得的溶液是最大值
即一个矩形内接的最大面积( 一种 2X2+B.2y2-1=0.是2 一种B.)那这意味着在半径1的圆形中,具有最大面积的矩形是一个方形满足区域2。□
练习:找到刻录椭球上铭刻的平行六面体
具有多个约束的示例:
确定具有方程式圆柱体的点
X 2+y2=1和方程式的平面X +y+Z.=1距离坐标起源的距离最大或最小。L.(X那y那Z.)=X2+y2+Z.2+λ(X2+y2-1)+μ(X+y+Z.-1), 然后 D.L.(X那y那Z.)=0.⟺D.XD.L.(X那y那Z.)D.yD.L.(X那y那Z.)D.Z.D.L.(X那y那Z.)=2X+2Xλ+μ=0.=2y+2yλ+μ=0.=2Z.+μ=0. 以及结扎条件
X2+y2-1X+y+Z.-1=0.=0. 形成一个必须满足点的等式系统
( X那y那Z.)我们寻求。这个方程组有两个解,如果Z. =0.:
- μ1=-2Z.1那1+λ1=X1Z.1<0.那X1=22 那y1=22 那Z.1=1-2
- μ2=-2Z.2那1+λ2=X2Z.2<0.那X2=-22 那y2=-22 那Z.2=1+2 .
此时,我们可以停止和分析一个功能必须满足的第一个条件(必要),以具有一个最大值或一个最小相对,并且在不符合足够条件的情况下研究这两个示例。尽管如此,我们将研究充足的条件。让
G 1(X那y那Z.)=X2+y2-1和G 2=X+y+Z.-1.然后D.G1(X那y那Z.)(H那K.那L.)D.G2(X那y那Z.)(H那K.那L.)=2XH+2yK.=0.=H+K.+L.=0.. 委托
( X1那y1那Z.1)那我们得到了2 H+2 K.H+K.+L.=0.=0.那 谁的解决方案是
H =-K.和L. =0..委托( X2那y2那Z.2)那我们得到了相同的解决方案。让我们看看会发生什么( X1那y1那Z.1):D.2L.(X1那y1那Z.1)((H那K.那L.)2)=2(1+λ1)(H2+K.2)<0.如果H=0.那
所以at.
( X1那y1那Z.1)我们有最大的相对条件,和D.2L.(X2那y2那Z.2)((H那K.那L.)2)=2(1+λ2)(H2+K.2)<0.如果H=0.那 所以at.
( X2那y2那Z.2)我们有另一个最大相对条件。它只需要检查什么时候会发生 1 +λ=0..在这种情况下,获得的溶液是( 1那0.那0.)和( 0.那1那0.).这些解对应两个最小相对条件。□
证明(拉格朗日乘法器)
拉格朗日乘数证明定理:
(必要条件)
让
G =(G1那...那GP.):一种⟶R.P.那G∈C1(一种)由于G 1那...那GP.∈C1(一种).因为雅各比亚矩阵的范围一种 是P. ,有一个Square Sublatrix的订单P. 谁的决定因素不是0;让我们假设Sublatrix由第一个形成P. 行,即||||∂(X1那...那XP.)∂(G1那...那GP.)(一种)||||=0.. 在这些条件下,应用隐式功能定理,存在一个开放式集合
一种 ''⊂R.问:和一个功能ψ :一种''⟶R.P./ψ∈C1(一种'')这样的话X =(X'那X'')和X '=(X1那...那XP.)和X ''=(XP.+1那...那XP.+问:), 然后∀ X∈一种''我们有(*)一种''∈一种''那ψ(一种'')=一种'那ψ(一种'')×一种''⊂一种那G(ψ(X'')那X'')=0.. 现在让这个功能
ϕ :一种''⟶R.P.+问:/ϕ(X'')=((ψ(X'')那X'').此功能是注射功能(一到一个)和ϕ ∈C1(一种'')和ϕ (一种'')⊂S..现在让这个功能F =F∘ϕ∈C1(一种'').如果F 有at.一种 一个极值相对条件,F 有at.一种 ''一个相对普通的极值和同样的性质。实际上,假设存在一个社区你 的一种 那你 ⊂R.P.+问: (我们可以假设这一点你 ⊂一种)那这样F (X)-F(一种)有一个常数标志∀ X∈S.∩你.由于ϕ 是一个连续的功能,你 ''=ϕ-1(你)将是一个邻里一种 ''∈R.问:那你 ''⊂一种''因为如果(*)⟹ϕ(你'')⊂S.∩你⟹∀X''∈你''那F(X'')-F(一种'')=F(ϕ(X''))-F(ϕ(一种'')) 将具有相同的常数符号
F (X)-F(一种), 然后F 会有一个相对普通的极值点一种 ''极值相对条件的同样的性质F 有at.一种 ⇒D.F(一种'')=0., IE。∂ XP.+j∂F(一种'')=0.为了j =1那...那问::(*)∂XP.+j∂F(一种'')=∂XP.+j∂F(一种)+K.=1σ.P.∂XK.∂F(一种)⋅∂XP.+j∂ψK.(一种'')=0.那j=1那...那问:.
最后的平等
( *)被分解为G 一世(ψ(X'')那X'')=0.∀X''∈一种''那一世=1那...那P..differentX P.+j给(*)∂XP.+j∂G一世(一种)+K.=1σ.P.∂XK.∂G一世(一种)⋅∂XP.+j∂ψK.(一种'')=0.那j=1那...那问:;一世=1那...那P.. 因为它的目的是确定数字
λ 1那...那λP.以便L. 有一个静止点一种 那我们写信∂ XR.∂L.(一种)=0.那R.=1那...那P.+问:那IE。∂XR.∂F(一种)+一世=1σ.P.λ一世⋅∂XR.∂G一世(一种)=0.那R.=1那...那P.+问:. 这是一个系统
P. +问:方程式P. 未知名λ 一世.这个系统首先取得了P. 等式可以清除我们的未知数λ 一世由于决定簇形成系统是 =0..如果我们证明未知量,定理的这一部分就会被证明λ 一世满足剩下的问: 系统的方程式。实际上,对于R. =P.+j那考虑到( *)和( *)那我们有∂XP.+j∂F(一种)+一世=1σ.P.λ一世∂XP.+j∂G一世(一种)=-K.=1σ.P.∂XK.∂F(一种)⋅∂XP.+j∂ψK.(一种'')-一世=1σ.P.λ一世⋅K.=1σ.P.∂XK.∂G一世(一种)⋅∂XP.+j∂ψK.(一种'')=K.=1σ.P.(∂XK.∂F(一种)+一世=1σ.P.λ一世⋅∂XK.∂G一世(一种))⋅(-∂XP.+j∂ψK.(一种''))=0..□ (充分条件)
索赔缺乏。
如果是功能 F 没有进入一种 每个相对条件,每个相对条件都存在N. ∈N一个点一种 N.∈你∩S.那一种 N.=一种这样| |一种N.-一种||<N.1和F (一种N.)<F(一种)和N. →∞林一种N.=一种.拿B. N.=||一种N.-一种||一种N.-一种和α N.=||一种N.-一种||⟹ 一种N.=一种+αN.B.N.和| |B.N.||=1.由于中心球体的紧凑性0. 和半径1 在R. P.+问:推断可以从中提取( B.N.)会聚随后会聚到一个点B. 相同的球体( 我们假设这是同一个序列( B.N.)不要使纳入的符号复杂化B. )那自从一种 N.∈S.和一种 ∈S.我们有G j(一种N.)=0.和G (一种)=0.为了j =1那...那P.⟹ F(一种N.)-F(一种)=L.(一种N.)-L.(一种).应用Taylor的系列,F(一种N.)-F(一种)=D.L.(一种)(一种N.-一种)+21D.2L.(CN.)(一种N.-一种那一种N.-一种)那 在哪里
在确定的部分中C N.一种 和一种 N. (D.L.(一种)=0.假设和一种 N.-一种=αN.B.N.)那所以F(一种N.)-F(一种)=2αN.2⋅D.2L.(CN.)(B.N.那B.N.). 自
F ∈C2(一种)那N.→∞林D.2L.(CN.)(B.N.那B.N.)=D.2L.(一种)(B.那B.).
承认
D. 2L.(一种)(B.那B.)>0.,它得出结论D. 2L.(CN.)(B.N.那B.N.)>0.从一定的价值N. 向后,追随F (一种N.)-F(一种)>0.那哪一个与条件相矛盾F (一种N.)<F(一种)我们假设承认这一点F 没有at一种 相对最小。在我们测试时将完成演示D. 2L.(一种)(B.那B.)>0..根据定理的假设,证明这一点就足够了D. Gj(一种)(B.)=0., 自从B. =0.由于| |B.||=1.但G j(一种N.)=Gj(一种)=0.并应用有限的定理增加了几个变量的差分微积分0.=D.Gj(CN.')(一种N.-一种)=αN.⋅D.Gj(CN.')(B.N.). 因此
D. Gj(CN.')(B.N.)=0.事实上,我们得到的限制D. Gj(一种)(B.)=0..□
参考文献
- ed.tecnos.
AnálisismatemáticoII,TopologíayCálculo差异,J.A.FernándezViña.