结

结在日常生活中是有形和有用的，但它们也是数学家深入研究的一种结构。我们将探索绳结、链接和辫子的数学，也将研究你每天打(可能多次)的绳结:你的鞋带!

内容

创造节
那是一个结吗?或者不是一个结?
链接和辫子
结的应用
艺术中的结

创造节

打结的一个简单方法是拿一条(没有扣的)项链链，在上面做任何环和领带，然后把两端扣在一起。这也可以用一根花园软管或一根绳子来完成，最后一步是把两端粘在一起。大多数项链都是简单的环状戴着，没有领带，这是一种特殊的情况，叫做“项链”解开．

任何可以在不撕裂或切割的情况下松开的结也是松开结。

自己试试吧:首先用橡皮筋或绳子的两端粘在一起，我们可以在不撕裂或切割橡皮筋的情况下打以下哪个结?

解决方案:前三个结可以在橡皮筋上拧一下，这表明这些结是解开的。看起来，第四个结真的是自己交叉的，而且不经过切割就不能用一个简单的橡皮筋做成，但我们如何证明这一点呢?稍后我们将看到如何使用结着色来回答这个问题。

节和链接的研究拓扑结构它研究的是连续变换后不变的性质。结是嵌入的例子，因为它们是三维空间中的循环。

一个结是弦在三维空间中的闭环。两个结是等效如果一个可以连续地转化成另一个，而不需要任何切割或粘合。

注意数学结和鞋带或绳子结之间的区别:

数学上的结已经结好了，没有松绑或解开的松散部分
为了数学的目的，我们想象绳子没有厚度
为了在脑海中得到连续变换的画面，想象这个结是由一种弹性材料制成的，你可以随意移动、拉伸或收缩，而不会折断或撕裂。

与研究三维的结相比，研究这些结投下的二维阴影有时更容易。一个结图通过在交叉位置绘制上链或下链来捕获结的闭环。最简单的非平凡结是一个自己缠绕的圆，称为三叶结。它也有两种形式:左手构型和右手构型，它们互为镜像。

使用结图绘制结的方法可能不止一种。我们考虑以下两个问题:

给定一个结图，结是否等同于解结?
给出两个结图，如何判断它们是否代表同一个结?

首先，我们可以描述一些不变量指一个结，或即使在不同的结图中以多种方式绘制也不会改变的属性。结复杂性的一个重要指标是任意给定结的绘图中最小的交叉数。

的穿越数一个结的最小交叉数是指结在任何图形中的最小交叉数。

例如，解结的交叉编号为0，三叶结的交叉编号为3。

自己试试吧:你能用十字1或2打个结吗?

那是一个结吗?或者不是一个结?

在上面的例子1中，我们看到了一些相当于解结的结。我们如何证明三叶结不等于解结?让我们首先陈述以下定理，由于Reidemeister，当两个图表示相同的结类型时。

Reidemeister定理:当且仅当两个图通过执行一系列Reidemeister移动而相关时，两个图表示相同的结类型:

Reidemeister的定理如何帮助我们区分三叶形和解结?考虑用三种颜色给一个结上色，每条弧线用一种颜色

上色至少使用了三种颜色中的两种
每个交叉的三股事件有所有的股或相同的颜色或所有不同的颜色。

一个结据说是tricolorable如果存在这样的着色。下面的着色显示三叶结是三色的。

然而，解结不是三色的(因为它违反了第一个属性)。现在，下面的定理表明，执行Reidemeister移动时，三色性不会改变。

在所有Reidemeister移动下，一个三色结图仍然是三色。

与Reidemeister定理一起，这表明任何表示三叶结的图也是三色的，这意味着解结不是表示三叶结的图。

推论:解结和三叶结不是等价的结。

着色可以帮助我们区分三色结和非三色结(如三叶结和解结)，但不能帮助我们区分其他结(如数字8结和解结)。为了区分这些结点，我们需要研究其他变量，比如我们将在后面的总结中探讨的多项式不变量。通过使用这些不变量，可以证明左手三叶结和右手三叶结是不等价的，所以不可能连续地将一个三叶结转换为另一个三叶结而不发生任何断裂或撕裂!

分类绳结的一种方法是创建绳结表，通过绳结属性(如交叉数)进行标记。在亚历山大-布里格斯符号中，一个结是由它的交叉数标记的，下标是该交叉数的每个结的索引(任意排序):

用下面的结把绳子的末端粘在一起，你能在结表中找到下面的结吗?对于两端以上的绳子，两端如何粘在一起有关系吗?

链接和辫子

链接由多个打结的组件组成。最简单的链接是拆开，这是一种不连贯的解开。

自己尝试:用几根绳子或绳子，形成以下几组交叉的链接:

我们也可以把几根绳子编织在一起，然后确定末端。下图展示了如何通过编织方法创建Hopf链接:

以及如何通过编织三根绳子来创建一个8字结:

自己试试吧:你能用编织的方法打三叶结吗?

解决方案:下图说明如何编织三叶结:把辫子拧奇数次和偶数次之间有什么区别(与Hopf链接相比)?

自己试试吧:在博罗米恩环中剪下任意一个环，并表明其他两个环不再相连。

是否有可能将4个环连接在一起，这样切断任何一个环就可以断开所有剩下的环?

结的应用

你怎么系鞋带?尝试下面的练习来确定你使用的结的类型。

你是奶奶结层还是方结层?

拿一双鞋，不穿在脚上，系上其中一只，就像你穿着它们一样。如果你像大多数人一样，你会从一个简单的开始打结(形成半个三叶结)。然后在这上面，你做一个“绕树”类型的结形成一个环与一个蕾丝和系在这个环在一个方向或其他方向的另一个蕾丝。

现在你的鞋带系好了，把鞋带的两端拉出来，这样你就剩下两个结了。你的结是怎么叠在一起的?你是老奶奶结型还是方结型?

图片由Ian Fieggen fieggen.com提供

如果你轻轻地摇晃鞋子，你的鞋带结是垂直的，而不是水平地横在鞋子上，那么你可能是老奶奶结。“奶奶结”通常也会导致领结、礼物包装和发带上的蝴蝶结弯曲。

如何解决这个问题?要从奶奶结层转换到方结层，只需反转开始的结!如果你现在是用左边的鞋带穿过右边的鞋带打结，然后换到右边的鞋带穿过左边的鞋带，继续做同样的“绕树”结，瞧!

图片由Ian Fieggen fieggen.com提供

如果你有朋友的鞋带经常松开，那就看看他们是不是老奶奶系的鞋带。特别是如果他们是跑步者或攀岩者，他们会感谢你给他们展示一个更安全的结!

加入关于老奶奶vs.方鞋带系的讨论在这里．