克莱因瓶
我们之前已经探索了令人着迷和惊讶的性质默比乌斯带．现在我们继续探索，进入奇妙的世界克莱因瓶，这不仅令人着迷和惊讶，提出了一个更大的挑战，以形象化!
Edge-Identification图
在我们的探索中，我们看到了圆柱壳和默比乌斯带可以由边识别图构造。
继续这个思路，如果我们确定矩形中的所有四条边会发生什么?一个环面是通过识别一个矩形在同一方向上的两条平行边得到的。一个例子就是《吃豆人》:如果吃豆人从屏幕右侧(或底部)退出，那么他就会从退出的位置从屏幕左侧(或顶部)进入。所以Pac-Mac游戏实际上是在环面的拓扑结构上进行的!
也可以将其他通常在正方形或长方形棋盘上玩的游戏扩展到环面上。在环面上玩井字游戏或跳棋时，你的策略会发生什么变化?
一个克莱因瓶是通过识别矩形的两条平行边，一条在同一方向，另一条在相反方向得到的。克莱因瓶也有许多令人惊讶和美妙的特性。
在上面的图表中间画一条水平线，你可以看到，克莱因瓶子是通过将两条Möbius条沿着它们的边缘粘在一起得到的!我们已经看到，在二维中不可能构造一个没有自交的Möbius带，但在三维欧几里得空间中的Möbius带是非自交的。同样的，如果没有自交，就不可能在三维欧几里得空间中构造克莱因瓶，如果我们移动到四维空间，就只能粘住所有没有自交的有向边。环面和克莱因瓶就是2-manifolds没有边界的拓扑对象，使得每个点的邻域在局部上看起来像欧几里得空间，即一个平面。
作为练习，想象一下在克莱因瓶而不是环面上玩吃豆人!
一个 流形是一个拓扑空间，使得每个点的邻域看起来局部相似 ．我们通过边识别图考虑的所有对象是 集合管。注意，流形可以是有界的或无界的，可以是可定向的或不可定向的。
流形的拓扑是通过拉伸而不变的一组性质。
我们以一首著名的克莱因酒瓶打油诗结束:
一位名叫克莱因的数学家
认为Möbius循环是神圣的
他说，“如果你粘
两条边
你会得到一个像我一样奇怪的瓶子。”