内核(nullspace)
这核心(或者nullspace.)线性变换 是套装 vectors. 这样 它是一个子空间的 谁的维被称为零度.这秩 - 无效定理将这个维度与秩的
当 是由左乘an 矩阵 以便 在哪里 被认为是一个 矩阵 通常指的是矩阵的核而不是线性变换的核,即。 代替
许多子空间 可以自然地描述为一个特定线性变换的核(以及 可以描述为某个线性变换的核)。给出一个线性方程组 的核的计算 (通过高斯消去法),在已知特解时,可用于给出系统的通解。
让 找到
高斯消去法: 事实(证明在以下部分)行减少不会改变矩阵的内核。矩阵的内核 在消除过程的最后,也就是减少了梯度形式,通过写主变量( 在这种情况下)就自由(非枢转)变量( 在这种情况下)。那是, 相当于
所以解决方案矢量 =
所以内核是一维子空间 谁的基础是单载体
特性
- 注射性:内核快速检查吸水的 :
一个线性变换 是注射器,如果只是
要查看这一点,请注意内核是映射到的一组矢量 , 因此,如果 是单射的那么核只能有一个元素,哪个是 .另一方面,如果内核是微不足道的,那么 意味着 ,由于内核是平凡的,这意味着 所以 所以 是注射的。
这个直接的结果在维基上得到了证明行和列空间.
在基本行操作下不变的:如上所述,高斯消除中的基本行操作不会改变内核 .看这个的一种方法是做基本的行变换和乘法是一样的 左边是一个可逆初等矩阵 但是 和的核是一样的吗 : 如果 然后 如果 然后 所以 这证明了计算上述示例中概述的内核的方法。
通过平移求解一般线性方程:与线性方程组一样,核函数可以用来求解一般形式的方程 如果 然后将一般解决方案是表格 在哪里 这是因为
解的集合 是A.陪集内核,表格
为了 找到所有解决方案 考虑到 是一种这样的解决方案。
介绍中的示例显示了内核 是标量乘法的矢量集 所有解的集合 是 对所有人
排名 - 无效
直观地,内核测量线性变换的程度 崩溃域名 如果内核是微不足道的,那么 不崩溃的领域,那么 是注射的(如上一节所示);所以 嵌入 进入 但如果内核不是平凡的, 不再是嵌入,所以它的形象 更小。
这种直觉暗示了核的大小和图象的大小之间的反比关系 这种直觉的形式形式是秩零定理。这里以矩阵形式说明:
在这里秩的 是列空间(或行空间)的尺寸 总和的第一项,内核的维度 经常被称为零度的让 豆角,扁豆 矩阵。然后
要知道这个定理是正确的,最自然的方法是在前两部分的例子中来观察它。的核的计算 明确说,内核的尺寸等于减少的行梯队形式的自由(非枢轴)列的数量 另一方面,回想一下,等级等于枢轴列的数量。因此,尺寸的总和等于列的数量,即
再次 验证排名 - 无效
我们已经看到了 以及 等于行简化阶梯形中主列的个数 这是 正如所料,
概括
这个wiki集中讨论了使用矩阵的核函数的实际应用,但是上面的陈述对于线性变换更适用 在任意矢量空间之间 内核仍然是子空间,仍可用于解决表单的线性方程 如果“列数”,则秩-nullity定理仍然是正确的 被替换为
让 真正的矢量空间 多项式的程度 具有真实系数。验证线性变换的秩 - 无效 给予
的内核 是一组多项式 它的二阶导数消失了。这显然是这种形式的多项式集合 和 这是一个二维子空间 与基础
形象 是一组多项式 多项式的二阶导数是什么 不难看出这是的子空间 由阶多项式组成的 这是一个三维子空间 与基础
维度的维度 是 自规范基础是 秩零被满足了