约翰逊的算法gydF4y2Ba

约翰逊的算法是gydF4y2Ba最短路径算法gydF4y2Ba它处理的是gydF4y2Ba全对最短路径问题gydF4y2Ba．全对最短路径问题有一个gydF4y2Ba图gydF4y2Ba有顶点和边，它输出图中每对顶点之间的最短路径。约翰逊的算法和gydF4y2BaFloyd-Warshall算法gydF4y2Ba；然而，Floyd-Warshall算法对稠密图(多边)最有效，而Johnson算法对稀疏图(少边)最有效。gydF4y2Ba

Johnson的算法更适合稀疏图的原因是它的时间复杂度取决于图中边的数量，而Floyd-Warshall的算法不这样。约翰逊的算法生效了gydF4y2Ba $O\大(V^2 \cdot \log(V) + |V| \cdot |E|\大)gydF4y2Ba$时间。因此，如果边的数量很少(即图是稀疏的)，它将比gydF4y2Ba $O (V ^ 3)gydF4y2Ba$Floyd-Warshall运行时。gydF4y2Ba

约翰逊的算法很有趣，因为它使用了另外两个最短路径算法作为子程序。它使用gydF4y2BabellmangydF4y2Ba为了对输入图进行重权，消除负边，检测负循环。对于这个新的修改过的图，它使用gydF4y2BaDijkstra最短路径算法gydF4y2Ba计算所有顶点对之间的最短路径。算法的输出是原始图中的最短路径集。gydF4y2Ba

约翰逊的算法和许多最短路径算法一样，在输入图上工作，gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$．这个图有一组顶点，gydF4y2Ba $VgydF4y2Ba$，映射到一组边，gydF4y2Ba $EgydF4y2Ba$．每条边,gydF4y2Ba $(u, v)gydF4y2Ba$，具有权重函数gydF4y2Ba $W =距离(u, v)gydF4y2Ba$．约翰逊的算法是有效的gydF4y2Ba导演gydF4y2Ba、加权图。它允许边有负权值，但不允许有负权值循环(因为这样就不存在由该循环可到达的顶点的最短路径)。有趣的是，Johnson的算法可以支持负权图，因为它的一个子程序Dijkstra的算法不能。gydF4y2Ba

约翰逊的算法有三个主要步骤。gydF4y2Ba

1. 一个新顶点被添加到图中，它由权值为零的边连接到图中的所有其他顶点。gydF4y2Ba
2. 所有的边都要经过重权处理，以消除负权边。gydF4y2Ba
3. 删除步骤1中添加的顶点，并在图中的每个节点上运行Dijkstra算法。gydF4y2Ba

这三个步骤可以在下面的图表中看到。图(a)显示了步骤1。图(b)显示了步骤2。图(c)-(g)显示了步骤3,Dijkstra算法在图中的5个顶点上运行。gydF4y2Ba

约翰逊的算法gydF4y2Ba^[1]gydF4y2Ba

下面的伪代码在较高的层次上描述了Johnson算法。子程序没有解释，因为那些算法已经在gydF4y2Babellman页面gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba迪杰斯特拉页gydF4y2Ba．为了帮助您将伪代码与算法的描述联系起来，三个步骤中的每个步骤都有标记。gydF4y2Ba

12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20gydF4y2Ba

约翰逊(G) 1。创建G ' where G '。V = G.V + {s}， G '。E＝G．E+（（年代，u) for u in G.V), and weight(s, u) = 0 for u in G.V 2. if Bellman-Ford(s) == False return "The input graph has a negative weight cycle" else: for vertex v in G`.V: h(v) = distance(s, v) computed by Bellman-Ford for edge (u, v) in G`.E: weight`(u, v) = weight(u, v) + h(u) - h(v) 3. D = new matrix of distances initialized to infinity for vertex u in G.V: run Dijkstra(G, weight`, u) to compute distance`(u, v) for all v in G.V for each vertex v in G.V: D_(u, v) = distance`(u, v) + h(v) - h(u) return D

下面描述算法的三个主要部分。gydF4y2Ba

步骤1:添加一个基本顶点gydF4y2Ba

算法的第一部分相当简单。添加一个新顶点，gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$对于任何图表示方法，都很容易将其连接到具有零权边的所有其他顶点。下图是所发生的事情的视觉描述。gydF4y2Ba

Johnson算法的第一步gydF4y2Ba

步骤2:调整边缘的权重gydF4y2Ba

重新加权可能是这个算法中最新颖的部分。其基本概念是:如果图中的所有边都是非负的，在每个顶点上执行Dijkstra算法是解决全对最短路径问题的最快方法。然而，如果某些边的权值为负，我们可以重新对它们进行权值调整，使以下定义成立。gydF4y2Ba

重权是改变边权以满足两个性质的过程。gydF4y2Ba

1. 对于图中所有的顶点u, v对，如果某条路径是重权前顶点之间的最短路径，那么它也一定是重权后顶点之间的最短路径。gydF4y2Ba
2. 对于图中的所有边(u, v)，权值(u, v)必须是非负的。gydF4y2Ba

这一步使用Bellman-Ford来帮助重新调整边缘的权重。通过在这一步中使用Bellman-Ford, Johnson的算法还能够检测到Bellman-Ford的一个性质——负权环。可以找到重新加权的证据gydF4y2Ba下面gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

步骤3:寻找所有对最短路径gydF4y2Ba

最后，在所有顶点上运行Dijkstra算法寻找最短路径。这是可能的，因为权重已转换为非负权重。然而，重要的是要将这些路径权值转换回原始路径权值，以便在算法结束时返回精确的路径权值。这是在算法的最后通过简单地反转重加权过程来完成的。典型的数据结构是gydF4y2Ba矩阵gydF4y2Ba返回。在每一个细胞gydF4y2Ba $我,我gydF4y2Ba$是从顶点到顶点的最短路径gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$到顶点gydF4y2Ba $jgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

为了证明再加权策略是可行的，必须证明再加权的两个性质都是正确的。gydF4y2Ba

性质1:保留最短路径gydF4y2Ba

第一个性质表示任意两个顶点之间的最短路径，gydF4y2Ba $u, vgydF4y2Ba$重新加权后应该保持最短路径。我们将开始证明下面的方程保持最短路径。这个函数gydF4y2Ba $h (v)gydF4y2Ba$是一个将顶点映射到数字的函数。gydF4y2Ba

$体重^ {\ '}(u, v) =重量(u, v) + h (u) - h (v)。gydF4y2Ba$

让gydF4y2Ba $P = {v_0, v_1，…, v_k}gydF4y2Ba$是一条从gydF4y2Ba $v_0gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $v_kgydF4y2Ba$．所以,gydF4y2Ba $pgydF4y2Ba$是具有原始权函数的最短路径，当且仅当它是具有重权函数的最短路径。我们有gydF4y2Ba

$体重^ {\ '}(p) =体重(p) + h (v_0) - h (v_k),gydF4y2Ba$ $= \sum_{i}^{k}weight^{\prime}(v_{i-1}， v_i)，gydF4y2Ba$ $= \ sum_{我}^ {k}(重量(v_张{},v_i) + h (v_张{})- h (v_i)),gydF4y2Ba$由于gydF4y2Ba可伸缩的资金gydF4y2Ba，gydF4y2Ba $= weight(p) + h(v_0) - h(v_k)。gydF4y2Ba$

任何路径从gydF4y2Ba $v_0gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $v_kgydF4y2Ba$这是使用原始权函数的最短路径gydF4y2Ba $体重(p)gydF4y2Ba$也是使用重加权函数的最短路径吗gydF4y2Ba $体重^ {\ '}(p)gydF4y2Ba$．这是因为gydF4y2Ba $h (v_0)gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $h (v_k)gydF4y2Ba$不依赖于路径。gydF4y2Ba

在我们继续之前，还需要证明任何路径gydF4y2Ba $pgydF4y2Ba$它有一个使用原始权函数的负权环，也有一个使用重权函数的负权环(因此我们可以在变换后检测到负权环)。gydF4y2Ba

考虑任何周期gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$我们刚刚在上面的步骤中证明了，gydF4y2Ba $体重^ {\ '}(c) =重量(c) + h (v_0) - h (v_k),gydF4y2Ba$ $=重量(c)。gydF4y2Ba$

所以,任何周期gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$在转换之前具有负权值的，在重新加权之后也将具有负权值。gydF4y2Ba

性质2:所有重加权的边必须有一个非负值gydF4y2Ba

还记得在这个算法的第一步中，我们构造了一个新图，gydF4y2Ba $G ^ {\ '}gydF4y2Ba$它有一些重要的特性吗?它有一个额外的顶点，gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$它有从它到所有其他顶点的边，每条边的权值都是0。一个重要的结果是这个新图中的所有最短路径只包含gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$如果gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$源是(因为没有边伸进去gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$）.gydF4y2Ba

现在,假设gydF4y2Ba $G ^ {\ '}gydF4y2Ba$没有负权环(因为如果有我们会知道)，我们可以定义gydF4y2Ba $H (v) =距离(s, v)gydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $G ^{\ '}。VgydF4y2Ba$．由gydF4y2Ba三角不等式gydF4y2Ba,我们有gydF4y2Ba

$H (v) \leq H (u) + weight(u, v)，gydF4y2Ba$

对于所有的边gydF4y2Ba $G ^{\ '}。EgydF4y2Ba$．所以，如果我们简单地定义我们的权重调整方程为gydF4y2Ba

$体重^ {\ '}(u, v) =重量(u, v) + h (u) - h (v) \组0,gydF4y2Ba$

那么第二个性质就满足了。gydF4y2Ba

约翰逊的算法生效了gydF4y2Ba $日志(V) O (V ^ 2 + VE)gydF4y2Ba$时间。这使得它在稀疏图上的渐近速度比gydF4y2BaFloyd-Warshall算法gydF4y2Ba运行在gydF4y2Ba $O (V ^ 3)gydF4y2Ba$时间。gydF4y2Ba

参见:gydF4y2Ba大O符号gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

约翰逊算法的分析很简单，如果你理解gydF4y2BabellmangydF4y2Ba而且gydF4y2Ba迪杰斯特拉算法gydF4y2Ba，所以如果你对它们有点生疏，可以复习一下。需要注意的是，在此分析中，Dijkstra算法的实现将使用一个gydF4y2Ba斐波那契堆gydF4y2Ba作为其最低gydF4y2Ba优先队列gydF4y2Ba，因为它是算法最有效的结构。即使使用简单的最小值gydF4y2Ba堆gydF4y2Ba会产生比?更快的结果gydF4y2BaFloyd-WarshallgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

该算法的第一步很简单，并且运行起来gydF4y2Ba $O (V)gydF4y2Ba$因为它需要为图中的所有顶点创建一条新边。算法的第二步Bellman-Ford开始运行gydF4y2Ba $O (VE)gydF4y2Ba$和Bellman-Ford一样。重新对图进行加权的过程同时进行。gydF4y2Ba

算法的最后一步是在所有的Dijkstra算法上运行gydF4y2Ba $VgydF4y2Ba$顶点。使用斐波那契堆，每一次迭代都需要gydF4y2Ba $O(V \log(V) + E)gydF4y2Ba$时间的完成为总复杂度的gydF4y2Ba $O(V^2 \log(V) + VE)gydF4y2Ba$．这是算法复杂度的主要因素。gydF4y2Ba

请注意，如果在Dijkstra算法中使用最小堆作为最小优先级队列，Dijkstra的每次迭代都需要gydF4y2Ba $O (E \ log (V))gydF4y2Ba$时间，对于总时间复杂度为gydF4y2Ba $O (VE \ log (V))gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

1. 雷瑟尔森,C。gydF4y2BaclrgydF4y2Ba．检索自2016年6月2日gydF4y2Bahttp://citc.ui.ac.ir/zamani/clrs.pdfgydF4y2Ba