雅可比的象征

的雅可比的象征是一般化的勒让德的象征，这可用于简化涉及的计算二次残留．它共享勒让德符号的许多属性，并可以用来说明和证明的扩展版本二次互易定律．

回忆,勒让德的象征 $左(\ \压裂{一}{p} \右)$定义为整数 $一个$奇数质数 $p。$雅可比符号 $左(\ \压裂{一}{n} \右)$对任何奇数正整数都有定义 $n,$如下:

如果 $N = p_1^{a_1}p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}，$在哪里 $p_i$质数,那么

$左(\ \压裂{一}{n} \右)= \离开(\压裂{一}{p_1} \右)^ {a_1} \离开(\压裂{一}{p_2} \右)^ {a₂}\ cdots \离开(\压裂{一}{p_k} \右)^ {a_k}。$

勒让德符号衡量的是 $一个$是一个平方模 $p。$不幸的是，Jacobi符号不保留这个属性:

如果 ${gcd} \文本(n) = 1$而且 $一个$是一个平方模 $n,$在哪里 $n$是奇数正整数吗 $\左(\frac{a}{n} \右)= 1;$但反过来就不对了。

要了解这一点，请注意if $一个$是一个平方模 $n,$那么它就是一个平方模 $p_i$为所有的质数 $p_i$分 $n,$所以勒让德的符号 $左(\ \压裂{一}{p_i} \右)$都等于 $1，$所以雅可比符号等于 $1$通过定义。但是,如果 $一个$不是方模吗 $p_i$对于一些 $我,$雅可比符号可能仍然是 $1.$

• $左(\ \ dfrac{2}{9} \右)= \ \ dfrac23 \(右)^ 2 = (1)^ 2 = 1,$但 $2$不是方模吗 $9$ $（$它甚至不是一个正方形的mod $3)。$
• $左(\ \ dfrac{3}{35} \右)= \左(右\ dfrac35 \) \左(\ dfrac37 \右)= (1)(1)= 1,$但 $3.$不是方模吗 $35$ $（$它不是一个正方形的mod $5$或 $7)。$

另一方面，勒让德符号的许多其他性质确实扩展到雅可比符号。

让 $m, n$是正奇数，让 $a、b$是整数。

1. 如果 $n .相等的$,然后 $左(\ \ dfrac{一}{n} \右)= \离开(\ dfrac {b} {n} \右)$．
2. $左(\ \ dfrac {ab} {n} \右)= \离开(\ dfrac{一}{n} \) \离开(\ dfrac {b} {n} \右)$；也就是这个函数 $F (a) = \左(\dfrac{a}{n} \右)$是一个完全乘法函数．
3. $左(\ \ dfrac{一}{mn} \右)= \离开(\ dfrac{一}{m} \) \离开(\ dfrac{一}{n} \右)。$
4. $左(\ \ dfrac {1} {n} \右)=(1)^{\压裂{n} {2}}$，原来如此 $1$当且仅当 $n \枚1$国防部 $4$．
5. $左(\ \ dfrac {2} {n} \右)=(1)^{\压裂{n ^ 2 - 1} {8}},$所以它是 $1$当且仅当 $N \ N \p$国防部 $8$．
6. (扩展二次互易定律:)如果 $米$而且 $n$互素正奇数， $左(\ \ dfrac {m} {n} \) \离开(\ dfrac {n} {m} \右)=(1)^{\压裂{m - 1}{2} \压裂{n}{2}}。$

(1)，(2)和(3)直接来自于定义(和相应的勒让德符号的属性)．其他三个跟随勒让德符号的相应属性，然后进行归纳 $n。$为了说明这一点，下面是(4)的证明 $（$(5)和(6)的证明是相似的 $）$：

上的感应 $n。$当 $n = 1$(基本情况)，结果基本成立。现在假设结果对所有小于的正奇数都成立 $n。$如果 $n$是素数，结果由对应的是否为真定理为勒让德的标志。如果 $n$复合,写 $n = xy,$在哪里 $x$而且 $y$正奇数是否小于 $n。$然后根据归纳假设和性质(2)，

${对齐}\ \开始离开(\压裂{1}{xy} \右)& = \离开(\压裂{1}{x} \右)左(\ \压裂{1}{y} \ ) \\ &= (- 1) ^{\压裂{x - 1} 2}(1) ^{\压裂{y-1} 2 } \\ &= (- 1) ^{\压裂{x - 1} 2 + \压裂{y-1} 2} \{对齐}结束$

现在由下面的引理得出结果:

如果 $x$而且 $y$是奇怪, $\压裂{x - 1} 2 + \压裂{y-1} 2 \枚\压裂{xy1} 2 \ pmod 2。$

引理的证明根据是否成立归结为四种情况 $x$而且 $y$是 $1$或 $3.$国防部 $4,$在这四种情况下，都可以很容易地验证这一说法。

引理暗示了这一点

$左(\ \压裂{1}{xy} \右)=(1)^{\压裂{x - 1} 2 + \压裂{y-1} 2} =(1) ^{\压裂{xy1} 2},$

所以这个结果成立 $n$也因此它适用于所有人 $n$通过强大的感应． $_ \广场$

雅可比符号的性质不仅简化了雅可比符号的计算，而且简化了勒让德符号的计算。

1235是质数10007的二次余数吗?

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重复使用扩展二次互易:

${对齐}\ \开始离开(\压裂{1235}{10007}\右)= - \离开(\压裂{10007}{1235}\右)& = - \离开(\压裂{127}{1235}\)\ \ & = \离开(\压裂{1235}{127}\)\ \ & = \离开(\压裂{92}{127}\)\ \ & = \离开(\压裂{4}{127}\)\离开(\压裂{23}{127}\)\ \ & =左(\ \压裂{23}{127}\ ) \\ &= -\ 左(\压裂{127}{23}\ ) \\ &= -\ 左(\压裂{12}{23}\ ) \\ &= -\ 左(\压裂{3}{23}\)\ \ & = \离开(\压裂{23}{3}\)\ \ & = \离开(\ frac23 \右)= 1,结束\{对齐}$

所以答案是否定的。请注意，如果不使用雅可比符号的属性，问题的开始部分将花费更长的时间;如果符号的顶部是合数(如1235)，我们就必须将其分解为质数的乘积，然后使用二次互易翻转每个勒让德符号。雅可比符号的性质允许我们避免任何因式分解(除了将2的幂因式分解，这总是必要的)。 $_ \广场$

勒让德的符号满足了欧拉准则：

$左(\ \压裂{一}{p} \) \枚^{\压裂p - 1} {2} \ pmod p$

为 $一个$coprime来 $p。$对于一般的雅可比符号，这不再成立。

我们有 $\左(\frac{2}{35} \右)= -1，$但 $2^{17} \equiv -3 \pmod{35}。$

这给出了质数的一个标准:如果有一个整数 $一个$coprime来 $n$这样 $左(\ \ dfrac{一}{n} \右)不\ \枚^{\压裂{n} 2} \ pmod n$,然后 $n$不能'。

这不难证明 $n$那么合数至少是正数的一半吗 $一个$不到 $n$那是素反应 $n$满足这个条件。的随机值 $一个$ $k$乘以会得到一个概率 $\ frac1 {2 ^ k}$没有一个随机值是复合的见证 $n$以这种方式。这种概率素数检验叫做Solovay-Strassen素性测试，并在实践中相当有效。这个测试的一个有趣的特点是，它可以用来证明数是合数，而无需显式地确定一个非平凡因子。

表明, $679$是用solovey - strassen素性检验合成的。

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假设我们随机选择 $一个= 62。$事实证明 $\左(\frac{62}{679} \右)= -1$而且 $62^{339} \equiv -1 \pmod{679}。$这种随机的选择使测试的结果不确定。接下来假设我们随机选择 $= 2。$在这种情况下, $\left(\frac2{679} \right) = 1$但 $2^{339} \equiv 8 \pmod{679}，$这马上说明了这一点 $679$是合成的。 $_ \广场$