是0.999 ... = 1?
这是一系列的一部分常见的误解。
以下陈述是真还是假?
为什么有些人说这是真的:它非常接近1.实际上,就像 远离1。
为什么有些人说这是假的:它不到一个,因为它从0.99开始而不是1.00开始。所以它不能等于1。
该声明 是 。
直观的解释:可视化数字线。如果是两个实数 和 在数字线上不同,那么我们应该看到它们之间的一些空间。事实上,将有空间放置另一个实数,即它们的平均值 。由于之间没有数字 和 它必须是它们是一样的。更不情愿地源于一个数字不能有两个不同的名称的看法。这里经常应用的推理是“如果一个数字有两个不同的名称,那么它就不能真正是相同的数字。”然而,当给出一个数字时,这个论点似乎没有水 其中有 作为替代名称。
证明1:
(在此证明中,我们将假设该价值存在。)
全部有限长度的小数,例如0.5和0.123,以及所有重复的小数,例如.333 ...和.121212 ......可以很容易地转化为分数。这首先证明使用标准技术将重复小数转换成分数为了计算“分数”.99999 ......相当于。
证明2:
让我们评估限制 。我们考虑一下具有无限术语的几何进展的总和,初始术语0.9和常见比率0.1。我们有
由于此求和融合,它告诉我们限制存在和 。
反驳: 不平等,因为它们不是十进制。除了尾随0之外,写入不同的任何两种小数是不同的数字。
回复: 另一个情况是当不同方式写入的两个小数是相同的数字。有两种不同的方式写入1作为小数的方法是无限总和在定义非终止的小数方面的角色的作用的结果。
十进制系统只是将数字写入数字的简写,作为10的权力之和,每个总数由0到9之间的整数缩放。例如, 方法 。相似地, 方法 并且这种无限总和的值等于1。
反驳: 只倾向于1.它不等于1.我们只有近似。
回复:这是为了序列 , 它是限制作为 这等于1.然而,自从 被定义为该限制,它定义为等于1。
不使用无限重复小数的这种定义,将有许多数字,例如 ,我们将无法作为小数写出来,因为没有有限恰好等于的十分之和,百分之千年,千分之一等 。
反驳:无限的总和没有任何意义。它不可能加起来很多东西,所以任何无限的总和只是一个近似值,而不是真正的价值。
回复:没有使用无限的总和,会有很多数字,例如 ,我们将无法写成小数。这种无限和的定义是严谨的,但总和的奇怪是定义为等于接近的限制,随着许多术语加入,每当存在这个限制时。
并非所有无限的级分都可以评估。例如, 不能具有真正的数值。但是无限级的定义包括限制,即无限总和只有良好定义的估值,当我们加起来的系列条款时,总和缩小到一个特定值。如果是 是接近的价值。没有其他方法可以定义 作为小数,否则 不等于十分之一,百分之千年,千分之二等的任何有限和
如果是 1是接近的值,因为越来越多的术语在一起添加。
对于更完整的无限款项的解释,请查看无限的总和Wiki页面。
反驳:在证明1中,我们无法取消尾随9,因为它们的无限数量。我们将永远留下一个9。
回复:取消不会发生“术语按术语”,我们比较前9位 第一个0 。我们正在研究这两个数字的差异,并将其全部占用。我们得到一个0的尾随系列,没有“最终9。”
反驳:在证明2中,我们不能只需添加数字“按任期”。
回复:此参数的有效性在于我们添加“术语按术语”的视角是我们如何评估限制。
现在尝试这个问题:
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