不规则的多边形

多边形是由点和直线连接在一起闭合并形成单一形状的二维几何物体。不规则的多边形多边形是不相等的吗角和不相等的边常规的多边形也就是边角相等的多边形。

不规则的多边形

由于不规则多边形的概念是非常普遍的，关于这个概念的知识对于解决问题和现实世界中的简单问题都是非常有价值的。例如，这块地毯可以被描述为一个不规则的多边形。

野外的不规则多边形

使用wiki上的信息，这块地毯的面积可以很容易地通过一些测量来计算。

简单多边形是指两边不相交的多边形。

下面是一些简单多边形的例子:从上到下，从左到右:随机多边形，风筝，六边形

与简单多边形相反，自交多边形是指至少有一对边彼此交叉的多边形。

下面是一些自交多边形的例子:

凸多边形是所有内角都小于的简单多边形 $180 ^ \保监会$

与凸多边形相反，凹多边形是至少有一个内角大于的简单多边形 $180 ^ \保监会$．

将这些多边形分类为凸、凹或两者都不是。

我们从多边形a开始，它所有的角都小于 $180 ^ \保监会$，所以是a凸多边形。
多边形B有两条边相交，所以它是自相交的多边形，而不是简单的多边形。因此，它不能是凸的，也不能是凹的，所以它是凹的既不．
多边形C有一个角大于 $180 ^ \保监会$，原来如此凹．

循环多边形是一个具有顶点的多边形，在顶点上可以画出一个圆。每个三角形都是一个循环多边形。

切向多边形是由与圆相切的直线构成的简单多边形。类似地，每个三角形都是切向多边形。

主要文章:一般多边形-角度

对于一个简单的 $n$-gon，所有的和内角是

$S=(n-2)\乘180^\circ \quad \text{或}\quad S=(n-2)\乘\pi \text{rad}。$

其中一个证明可以在多边形三角部分。

对于任何简单多边形，都是所有多边形的和外部的角度是 $360 ^ \保监会$．下面给出了它的证明。

主要文章:周长

二维图形的周长是该图形边界的长度。如果图形是一个多边形，则周长是该多边形所有边长的和。

一个有宽度的矩形的周长是多少 $4$和高度 $7吗?$

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由于矩形有两条等宽的边和两条等高的边，矩形的周长是其边长之和，因此矩形的周长为

$4 + 4 + 7 + 7 = 2(4) + 2(7) = 8 + 14 = 22。\ _ \广场$

网格对于测量不规则多边形的面积很有用。该技术是将多边形分割成几个基本形状，如三角形和矩形。

上图是由 $1 \ * 1$方格。这个多边形的面积是多少?

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我们把这个多边形分成几部分。独立计算每一块的面积，我们有

$\开始{对齐}& = \压裂{1}{2}\ * 3 \ * 5 \ \ & = 7 \压裂{1}{2}\ \ \ \ B & = \压裂{1}{2}\ * 2 \ * 3 \ \ & C & = 3 = 3 \ \ \ \ \ * 3 \ \ & = 9 \ \ \ \ D & = 2 \ * 3 \ \ & = 6。结束\{对齐}$

最后，我们把所有的小面积加起来，得到整体面积

$= 7 \压裂{1}{2}+ 3 + 9 + 6 = 25 \压裂{1}{2}。\ _ \广场$

主要文章:选择定理

匹克定理提供了一种方法来确定任何多边形的面积，其顶点是格上的点。

让 $P$是一个格多边形，并且 $B (P)$而且 $我(P)$分别为多边形边界和内部的点数。那么面积是

$A= I(P) + \frac{1}{2} B(P) -1。$

下面的例子说明了这一点:

考虑一个带有顶点的四边形 $(1,1)，(1，-1)，(-1，-1)，(-1,1)。$用匹克定理求它的面积。

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让我们计算 $B (P)$第一。

在绘制图形并计算边界上的点的数量(使用整数坐标)时，我们可以看到 $B (P) = 8$．

现在，我们看到唯一的整数坐标内点是 $(0,0)$．因此 $我(P) = 1$．

因此面积 $(一)$是由

$A=(1) + \frac{1}{2}(8) - 1 = 4。\ _ \广场$

对于一个 $n$如果我们以逆时针的方式对点进行排序，让点的坐标 $我$是 $(x_i y_i)$多边形的面积是 $一个$，我们有

$A = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ x_n & y_n & 1 \end{vmatrix}。$

换句话说，

$= \压裂{1}{2}\ sum_ {i = 1} ^ n \大(x_iy_ {i + 1} -间{i + 1} y \大)。$

注意，这是对鞋带公式．

顶点在点上的多边形的面积是多少 $(1, 1),(2、3),(0 5),(1,0)、(0,3)?$

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根据鞋带公式，

$= \压裂{1}{2}{vmatrix} \开始1 & 1 & 1 \ \ 2 & 3 0 & 5 & 1 & 1 \ \ \ \ 1 & 0 & 0 & 3 & 1 \ \ \ {vmatrix}结束。\ _ \广场$

主要文章:重心

质心是质量均匀分布的二维物体的质心。定义的简单多边形的质心 $n$顶点 $(x_0, y_0), (x_1 y_1) \点,(x_n推出)$这就是重点 $(cx,提出)$在哪里

$\{对齐}开始的cx & = \压裂{1}{6}\ sum_ {i = 0} ^ {n} (x_i +间{i + 1}) (x_iy_ {i + 1}间{i + 1} y_i)提出by \ \ & = \压裂{1}{6}\ sum_ {i = 0} ^ {n} (y_i + y_ {i + 1}) (x_iy_ {i + 1}间{i + 1} y_i)。结束\{对齐}$

注意，因为多边形有 $n$顶点, $X_0 = x_n$而且 $y_0 =最大$．

主要文章:多边形三角

多边形三角剖分是将一个多边形分解成三角形的过程。每一个简单的 $n$-gon可分解为 $n -$三角形。它可以直接得出一个角的内角和 $n$百分度是 $(2) \乘以180 ^ \保监会$．

主要文章:美术馆问题

美术馆问题研究的是保卫博物馆每一点所需的最少警卫人数，博物馆的布局可以看作是一个多边形。事实证明，任何博物馆(多边形)与 $n$墙(边)可以用最多 $\大地板\frac{n}{3} \大地板$警卫。

在本节中，我们将通过一些与不规则多边形相关的例子，然后通过问题来尝试自己。

• 常规的多边形
• 常规的多面体
• 循环的四边形
• 肥皂泡和蜂巢的数学