无理数gydF4y2Ba
无理数gydF4y2Ba是gydF4y2Ba实数gydF4y2Ba它不能表示为2的比值gydF4y2Ba整数gydF4y2Ba.更正式地说,它们不能用的形式表示gydF4y2Ba ,在那里gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba 都是整数和gydF4y2Ba .这与……相反gydF4y2Ba有理数gydF4y2Ba,可以表示为两个整数之比。无理数的一个特征是它们gydF4y2Ba小数部分gydF4y2Ba不会重复或终止。gydF4y2Ba
历史gydF4y2Ba
主要文章:gydF4y2Ba无理数的历史gydF4y2Ba
第一个认识到存在的人gydF4y2Ba无理数gydF4y2Ba可能因为他的发现而死。Metapontum的希帕苏斯是古希腊毕达哥拉斯学派的哲学家。据说,他想用老师的gydF4y2Ba著名的定理gydF4y2Ba 求单位正方形对角线的长度。这表明正方形的边长与其对角线是不可公约数的,这个长度不能表示为两个整数的比值。其他毕达哥拉斯学派教条地认为只有正有理数才能存在。他们对不可通约性的想法感到非常恐惧,以至于他们在一次海上航行中把希帕苏斯扔到海里,并发誓要把无理性数字的存在作为他们教派的官方秘密。然而,有充分的理由相信希帕苏斯的死亡只是一个杜撰的神话。有关这一事件的历史文献很少,而且是在毕达哥拉斯和希帕苏斯时代800年后写成的。直到希帕苏斯时代大约300年后gydF4y2Ba欧几里得gydF4y2Ba能证明他的不合理性吗gydF4y2Ba
毕达哥拉斯学派很可能是手工测量了单位正方形的对角线。然而,他们会认为这样的测量是一个近似值,接近一个精确的有理数,给出对角线的真实长度。在希帕苏斯之前,毕达哥拉斯学派没有理由怀疑,不仅在实践中,而且在原则上存在无法测量或计算的实数。对于毕达哥拉斯学派来说,数字是他们哲学和宗教的精神基础。宇宙学、物理学、伦理学和灵性都以“一切皆数”为前提。他们相信,所有的事物——天空中星星的数量、音阶的音高、美德的品质——都可以用有理数来描述和理解。gydF4y2Ba
无理数的例子gydF4y2Ba
无理数在数学中有很多情况。例如:gydF4y2Ba
- 底边长度为1的直角三角形的斜边有长度gydF4y2Ba ,这是不合理的。gydF4y2Ba
- 更普遍的是,gydF4y2Ba 对任何整数都是无理数吗gydF4y2Ba 这不是完全平方。为了演示,我们将证明它gydF4y2Ba 后面的部分是无理数吗gydF4y2Ba非理性的gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
- 这一比率gydF4y2Ba 圆的周长与直径之比是不合理的。gydF4y2Ba
- 基地gydF4y2Ba 是无理数。gydF4y2Ba
为了更好地理解,请看下面的例子:gydF4y2Ba
是gydF4y2Ba 理性还是非理性?gydF4y2Ba
我们有gydF4y2Ba
根据性质2,gydF4y2Ba 是无理数,因为3不是完全平方数。因此gydF4y2Ba 是无理数。gydF4y2Ba
试试下面这个问题:gydF4y2Ba
无理数的性质gydF4y2Ba
- 取一个无理数和一个有理数的和,得到一个无理数。要了解为什么这是正确的,假设gydF4y2Ba 是不合理的,gydF4y2Ba 是有理数,和呢gydF4y2Ba 是有理数gydF4y2Ba .然后我们有gydF4y2Ba ,由于两个有理数之差是有理数,这意味着gydF4y2Ba 是理性的。这是一个矛盾gydF4y2Ba 是非理性的。因此,和gydF4y2Ba 一定是不合理的。gydF4y2Ba
- 无理数与任何非零有理数相乘得到无理数。我们如上所述来证明如果gydF4y2Ba 是理性的gydF4y2Ba 是否理性,与假设相矛盾gydF4y2Ba 是非理性的。因此,产品gydF4y2Ba 一定是不合理的。gydF4y2Ba
- 的gydF4y2Ba最低公倍数gydF4y2Ba(LCM)两个无理数可能存在,也可能不存在。gydF4y2Ba
- 两个无理数的和或乘积可能是有理数;例如,gydF4y2Ba
因此,与有理数的集合不同,无理数的集合在乘法下不是封闭的。gydF4y2Ba
下面是一些基于上述属性的例子:gydF4y2Ba
是gydF4y2Ba 理性还是非理性?gydF4y2Ba
自gydF4y2Ba 这是一个有理数。gydF4y2Ba
表明,gydF4y2Ba 是不理性的。gydF4y2Ba
我们用反证法证明。如果gydF4y2Ba 是理性的gydF4y2Ba ,这意味着gydF4y2Ba 也是理性的。自gydF4y2Ba ,我们得到gydF4y2Ba 是理性的。因此,gydF4y2Ba 也是理性的,这是矛盾的。gydF4y2Ba
我们推广上面的结果来说明这一点gydF4y2Ba 当且仅当理性吗gydF4y2Ba 是完全平方。gydF4y2Ba
给定的整数gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba ,如果gydF4y2Ba 是理性的gydF4y2Ba 整数形式。尤其,只有理性gydF4y2Ba 整数的根gydF4y2Ba 都是整数。gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba ,在那里gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba 是互素整数。然后取幂,消掉分母gydF4y2Ba .如果gydF4y2Ba 质数能除吗gydF4y2Ba ,然后gydF4y2Ba 分gydF4y2Ba ,所以gydF4y2Ba 分gydF4y2Ba 因此gydF4y2Ba 分gydF4y2Ba .自gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba 是互质吗,没有质数可以把两者分开吗gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba .因此,没有质数除gydF4y2Ba ,这意味着gydF4y2Ba .因此,gydF4y2Ba 整数形式。gydF4y2Ba
下面是一些可以尝试的问题:gydF4y2Ba
阅读以下语句:gydF4y2Ba
1)gydF4y2Ba
是有理数。gydF4y2Ba
2)gydF4y2Ba
是无理数。gydF4y2Ba
3)gydF4y2Ba
是有理数。gydF4y2Ba
给出你的答案,作为正确的陈述的序列号的平均值。gydF4y2Ba
例如,如果所有陈述都是正确的,答案是gydF4y2Ba
细节和假设:gydF4y2Ba
- 不一定是指数常数gydF4y2Ba 不一定等于3.14159…gydF4y2Ba
非理性的gydF4y2Ba
下面你可以看到不合理性的证明gydF4y2Ba
我们用这个方法gydF4y2Ba反证法gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
假设gydF4y2Ba 是有理数:gydF4y2Ba
在哪里gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba 互素整数,即。gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba 没有共同的素数因子和gydF4y2Ba .换句话说,gydF4y2Ba 是一个不可约分数。gydF4y2Ba
求解上面的方程得到gydF4y2Ba
如你所见,gydF4y2Ba 是偶数,因为它是的两倍gydF4y2Ba .如果gydF4y2Ba 甚至gydF4y2Ba 也是偶数,因为奇数的平方是奇数,偶数的平方是偶数。gydF4y2Ba
如果gydF4y2Ba 是偶数,我们可以写成gydF4y2Ba 这意味着gydF4y2Ba
如你所见,gydF4y2Ba 也是因为同样的原因吗gydF4y2Ba 是多少。等等!这里有个矛盾。我们说gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba 互素整数,即gydF4y2Ba 是不可约的,但是gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba 都是不能构成不可约分数的偶数。因此,这是一个不可能的分数gydF4y2Ba 不能写成两个整数之比。gydF4y2Ba