逆三角函数

反三角函数，像任何其他反函数一样，是数学运算符，可以撤销函数的运算。对于直角三角形

我们已经学过了基本的三角函数

$罪\开始{数组}{电感电容电阻测量}\ \θ= \压裂{b} {c}, & \ qquad \ cosθ= \ \压裂{一}{c}, &谭\ qquad \ \θ= \压裂{b}{},{数组}\结束$

在哪里角函数的输入(或参数)和的比例方面为函数结果的输出。逆函数将这个运算反过来，取的比例方面作为输入并返回角输出:

$罪\开始{对齐}\ ^{1}\离开(\压裂{b} {c} \右)&θ= \ \ \ \因为^{1}\离开(\压裂{一}{c} \右)&谭θ= \ \ \ \ ^{1}\离开(\压裂{b}{} \右)& = \θ。结束\{对齐}$

这意味着当我们知道三角形的边长并想求它的角时，反三角函数是有用的。

注意:的符号 $罪\ ^ {1}$可能会让人困惑，因为我们通常用负指数表示倒数。然而，在这种情况下， ${sin^{-1} \alpha \neq \frac{1}{sin \alpha}$．当我们想求的倒数 $罪\$我们使用 $\ csc$(参见维基<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/reciprocal-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="互惠的三角函数" target="_blank">互惠的三角函数更多的细节)。为了避免这种歧义，有时人们可能会选择用an来表示反函数弧前缀。例如,

$arcsin = sin^{-1}。$

注意，根据逆函数的定义，我们有以下关系:

$罪\开始{对齐}\ \大罪(\ ^ {1}(x) \大)& = x \ \ \因为\大(\因为^ {1}(x) \大)& = x \ \ \ tan \大谭(\ ^ {1}(x) \大)& = x。\{对齐}结束$

如果我们限制 $x$为了在适当的域中，上述函数的组合顺序也可以反过来:

$罪\开始{对齐}\ ^{1}\大(\ sin (x) \大)& = x \ qquad \{} -文本\压裂{\π}{2}\ leq x < \压裂{\π}{2}\ \ \因为^{1}\大((\ cos (x) \大)& = x \ qquad \文本为}{0 \ leq x < \π\ \ \ tan ^{1} \大((\ tan (x) \大)& = x \ qquad \{} -文本\压裂{\π}{2}\ leq x < \压裂{\π}{2}。结束\{对齐}$

在正弦函数中，有很多不同的角度 $\θ$映射到相同的值 $\ sinθ(\)$．例如,

$0 =罪\ 0 = \罪(\π)= \罪(2 \π)= \ cdots = \罪(k \π)$

对于任何一个整数 $k$．为了克服反正弦函数有多个值映射到同一个角度的问题，我们将在求逆函数之前限制定义域。基本反三角函数的定义域和值域为:

$\开始{数组}{c c c | | | |} \线\{函数}& \文本域}{& \文本范围{}\ \ \线\罪^ {1}(x)左&[1]& \[- \压裂{\π}{2}\压裂{\π}{2}\右)\ \ \线\因为^ {1}(x)和[1]和左\[0,\π\]\ \ \线\ tan ^ {1} (x) & (- \ infty \ infty) & \离开(- \压裂{\π}{2}\压裂{\π}{2}\)\ \ \线\{数组}结束$

逆函数的图是在上述定义域内，绕直线翻转的原始函数 $y = x$．在直线上翻转图形的效果 $y = x$是互换角色吗 $x$和 $y$，所以这个结论对任何逆函数的图像都成立。看到维基<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/inverse-trigonometric-graphs/" class="wiki_link" title="逆三角图" target="_blank">逆三角图为更多的细节。

逆函数有一些特定的值是很容易记住的。通过回忆<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/basic-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="三角函数的特定值" target="_blank">三角函数的特定值，反函数的这些值也很容易记住:

$c c \开始{数组}{| | | | c c c | | |} {x} & \ \线\文本压裂{\ sqrt{0}}{2} & \压裂{\ sqrt{1}}{2} & \压裂{\ sqrt{2}}{2} & \压裂{\ sqrt{3}}{2} & \压裂{\ sqrt{4}}{2} \ \ \线\罪^ {1}(x) & 0 & \压裂{\π}{6}& \压裂{\π}{4}& \压裂{\π}{3}& \压裂{\π}{2}\ \ \线\因为^ {1}(x) & \压裂{\π}{2}& \压裂{\π}{3}& \压裂{\π}{4}&\ frc {\pi}{6} & 0\\ \hline \end{array}$

简化表达式

$左(\ \罪\因为^{1}\大(\压裂{x} {x + 1} \大)\右)。$

---

让 $(1) (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) (-1)$．然后根据定义, $\ cosθ(\)= \压裂{x} {x + 1}$．根据直角三角形上余弦的定义，构造直角三角形

自 $\cos \theta = {a}{c}，$通过让 $一个= x$和 $c = x + 1$,我们有 $\ cosθ(\)= \压裂{x} {x + 1}$．根据勾股定理，我们得到

$b c ^ 2 = 2 ^ - ^ 2 = (x + 1) ^ 2 x ^ 2 = x ^ 2 + 2 + 1 - x ^ 2 = 2 + 1。$

这意味着

$左(\ \罪\因为^{1}\压裂{x} {x + 1} \右)= \ sinθ(\)= \压裂{b} {c} = \压裂{\ sqrt {2 x + 1}} {x + 1}。\ _ \广场$

在下面的方程中，其中 $一个$和 $b$互素是正整数，和是多少 $一个$和 $b ?$

$\因为^{1}\压裂{17}{\ sqrt {1130}} = \ tan ^{1} \压裂{一}{b}$

---

因为我们正在寻找 $一个$和 $b$，对方程两边取正切:

${对齐}\ tan \ \开始离开(\因为^{1}\压裂{17}{\ sqrt{1130}} \右)& = \ tan \离开(\谭^{1}\压裂{一}{b} \) \ \ \ tan \境(\ underbrace{\因为^{1}\压裂{17}{\ sqrt{1130}}} _{\大型{\θ}}\境)& = \压裂{一}{b}。结束\{对齐}$

此外，我们可以利用给定的比率来画出三角形 $\θ$在它中，使用的是 $\因为^ {1}$：

边是17，斜边是√1130的直角三角形

现在，用勾股定理，我们可以看到 $17^2 + a^2 = 1130$,这意味着 $= \ sqrt {1130 - 289} = 29$．最后,我们评估 $\tan \theta = frac{29}{17}$,这意味着 $a + b = 46$． $_ \广场$