介值定理
做出了贡献的
介值定理
有两个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/real-numbers/" class="wiki_link" title="实数gydF4y2Ba" target="_blank">实数一个>
而且
证明的思路如下:取这两点
常见的误解
定理的表述有多个要求,所有这些要求都是结论成立的必要条件。下面是一个说明性的例子:
函数的
为了让中间值定理保证在指定的区间上有根
对于第一个区间
gydF4y2Ba对于第二个区间
对于最后一个区间
例子和应用程序
在上面的例子中,中间值定理(以下称为IVT)的一个简单而重要的应用是证明某些方程有解。考虑下面的例子:
这个方程
我们研究函数
gydF4y2Ba方程的一个根已被确定。这是唯一的根吗?请注意,
有解决办法吗
5−2x3.−2=0,在哪里 ∈[0,2]?
在
=0,我们有 5−2×03.−2=−2.
在=2,我们有 5−2×23.−2=14. 所以IVT意味着有一个解
5−2x3.−2=0在这一期间 0,2].
假设
上是连续的 0,1]而且 (0)=f(1).让 是任意正整数,然后证明存在某个数 这样
(x)=f(x+n1).
定义
(x)=f(x)−f(x+n1). gydF4y2Ba考虑一下这组数字
={f(0),f(n1),f(n2),...,f(1)}. gydF4y2Ba让
是这样的, (nk)最大的数字在吗 .假设 =0而且 =n. gydF4y2Ba然后
(nk)=f(nk)−f(nk+1)≥0, (nk−1)=f(nk−1)−f(nk)≤0. gydF4y2Ba根据中值定理,有
∈[nk−1,nk]与 (c)=0,所以 (c)−f(c+n1)=0,或 (c)=f(c+n1)根据需要。 gydF4y2Ba最后,如果最大的数在
是 (0)=f(1),那么同样的论点也适用于 选择这样 (nk)最小数量在里面了吗 . 注意,如果
(0)最大的和最小的数都在吗 ,那么它们都是一样的 (0)=f(n1).
假设上是连续的 0,1]而且 (0)=f(1).让 是超实单位,然后证明存在某个数 这样
(x)=f(x+ε).
首先,假设
(x)不是恒定的 0,1].如果是的话,这个结果是微不足道的。 gydF4y2Ba然后,让
(x)=f(x)−f(x+ε) 自
是不是常数,存在一个 ∈[0,1]这样 (c)是最大值(或最小值,但现在假设它是最大值;最小值的处理类似)。 gydF4y2Ba然后,
(c)=f(c)−f(c+ε)≥0而且 (c−ε)=f(c−ε)−f(c)≤0 根据中间值定理,如果
>0,存在一个 ∈[c−ε,c]这样 (y)=0.
如果 <0,y∈[c,c−ε],而不是。 因此,
(y)=f(y+ε),想要的。 gydF4y2Ba如果
=0, (x)=f(x+ε)∀x.
由于IVT能检测到函数的零点,它是分析连续函数的重要工具。然而,通过一些巧妙的扭曲,IVT可以给出更令人印象深刻的结果。例如,一个人可以证明
这就意味着,在地球上的任何一个大圆上,任何不断变化的信息在对跖点处的值都是相同的。例如,在赤道上一定存在两个气温相同的对跖点。
让
有一个函数
:[0,2π)→年代1给出的 (θ)=(因为θ,罪θ).写这个 给了 :=f∘p:[0,2π)→R.定义一个函数 :[0,2π)→R通过
(θ):=g(θ+π)−g(θ), 我们把
+π(米od2π)如果 >π. gydF4y2Ba请注意,
(0)=g(π)−g(0)=−(g(0)−g(π))=−h(π). 特别是,
(0)而且 (π)有相反的迹象。因此,根据IVT,有一些 ∈(0,π)这样 (t)=0.这意味着 (t+π)=g(t). gydF4y2Ba让
=(因为t,罪t).自 (t+π)=−x,我们得出结论
(−x)=g(t+π)=g(t)=f(x) 根据需要。
中间值定理的证明
中间值定理的一个标准证明使用
让
然后
假设
假设
gydF4y2Ba结论是
实际上,中值定理等价于最小上界性质。假设中间值定理成立,且对于一个非空集合
中值定理也可以被重新定义和推广为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/connected-space/" class="wiki_link" title="连接设置gydF4y2Ba" target="_blank">连接设置一个>在
让
注意,最小上界的性质是用在一种比较微妙的方式上的:它被用来证明定义域,闭区间
gydF4y2Ba这种连通子集的框架解释了为什么中间值定理不容易推广到像在的连续函数