利率
单利
单利(SI)可以发生在借钱或投资的时候。当借款人在一段时间内收到一定数额的钱时,他们同意偿还这笔钱,同时还要支付一笔费用,即所欠的利息。一项投资的利息是一个人通过最初投资一些钱(称为本金)而获得的钱,并从投资中获得回报。回报率是本金(利息)的一个百分比,加上本金,使初始投资增长。
单利是一种适用于整个贷款期间的借款或投资金额的利息,不考虑任何其他因素,如过去的利息(已支付或已收取)或任何其他财务考虑。单利只按原始本金支付,而不是复合.单利一般适用于由金融公司管理的短期贷款,通常为一年或更短时间,或投资于同样短时间的资金。
单利(SI)是用这个公式计算出来的
在这里 本金, 是利率,和 是利息的时间段。最后要支付的金额是初始本金加上单利, .
以下是几个例子,说明单利的概念:
以9%的年利率计算,一笔投资在1年内获得4016.25卢比的单利。初始本金是多少?
让本金为 ,利率 每年, 单利,和 那么,时间周期
如果利息是1000卢比,多少年后能产生相等的回报 每年?
(需要多少年才能翻一番?)
让本金为 ,利率为 每年, 是单纯的兴趣,和 就是那个时间段。然后
在相同的单利利率下,5年后的金额为9800卢比,8年后的金额为12005卢比。年利率是多少(以百分比计)?
让本金为 ,利率 每年, 单利,和 的时间段。然后
因此,本金是 卢比,这意味着
复利
通常情况下,投资和贷款的利率是复利率;利息的计算并不仅仅基于最初的本金,而是基于在计算时所投资或所欠的金额。这样,利息就叫做复利。这对投资者有利,让他们的回报产生更多的回报,而不仅仅是最初的投资。
利息可以按许多不同的时间间隔分别复利计算。用离散复利明确地定义了复利周期的个数和复利周期之间的距离。例如,每个月第一天复利的利息是离散的。在年底计算的利息称为“年复利”,在月底计算的利息称为“月复利”,以此类推。感兴趣的也可以化合物不断.
假设你在第一年初开了一个账户,本金为 ,银行每年提供的复利利率为 (这比现在的大多数储蓄率都要高得多)。在今年年底,银行将增加 转到你的账户,你的新余额会 .
在第二年年底,不用原来的余额 ,银行将使用新的余额 以确定利息。他们乘 .这是 比你上学期赚的利息还多。
在第三年末,新的结余将是 .为了计算这一期限的利息,银行用新的,更高的余额代替原来的余额 平衡,现在收入 (如果他们截断).看到了吧,这对支付利息的人是有利的?由于银行每年用更高的余额来计算新利息,因此利息的累积速度要快得多。
按年复利计算收益的公式是
在哪里 是获得的数量, 是本金, 是利率,和 是这段时间内利息复利的次数(对于年复利,这是年数)。那么,计算出的复利总期限为
第一年末的利息是 第一年末的金额是 第二年年底的利息是 两年后的金额是 第三年末的利息是 所以,三年后的金额是 我们看到每种情况下的量都跟在a后面几何级数与第一项 和常见的比因此,最后的金额 年是 几何级数的项,也就是
计算2年500卢比的利息,如果年利率复利为 每年。
让 是获得的数量, 本金, 利率, 时间周期,和 复利。然后
如果按复利利率计算,100卢比一年是多少 半年(每六个月)一次?
让 是获得的数量, 本金, 利率,和 利息复利的次数。然后
尝试以下问题:
连续复利
离散复合和连续复合是密切相关的术语。当利率按特定的时间间隔(如每年、每月或每周)计算并加到本金中时,利率就是离散复利。连续复利意味着一笔钱总是被称为“积累”利息。连续复利使用自然对数基于的公式(自然对数为对数以 )以最少的时间间隔计算及加回应计利息。
连续复利是指本金不断地赚取利息,利息立即计算复利。从图形上看,它可以如下所示。
数学上,连续复利可以表示为:
在哪里 表示给定时间的总数, 表示初始本金, 利率(用小数表示)和 是时候了。
这类似于采用离散复利公式
在哪里 表示所赚的金额, 表示初始本金, 利率, 是一年贷记利息的次数,还是 是时候了。然后把它从离散变换成连续 ,即“不断赚取利息,利息立即计算复利”:
如果你以每年10%的复利连续投资2400美元,计算5年后你在账户里的最终金额。
让 是本金, 量, 利率和 的时间段。然后
注意:以一笔2400美元的本金,按10%的年利率分别复利计算5年,总共是3865.22美元,差91.70美元。
72法则
的72法则州,在 按年利率计算,一笔投资大约需要 年增加一倍。
解出 根据指数方程:
应用麦克劳林级数来 和使用 ,我们获得
然后把分子稍微改一下 ,因为 的小值是否更容易除 .
运用72法则计算年利率的实际误差是多少 ?
根据72号规则,
实际结果是
用公式计算了误差 .
下表为72规则的准确性分析表。
利率( ) | 72法则 | 实际数量 | 区别 | 错误 |
72 | 69 | 3. | ||
36 | 35 | 1 | ||
24 | 23.4 | 0.6 | ||
14.4 | 14.2 | 0.2 | ||
9 | 9.01 | 0.01 | ||
6 | 6.12 | 0.12 | ||
4.5 | 4.67 | 0.17 | ||
2.88 | 3.11 | 0.23 | ||
1.44 | 1.71 | 0.27 | ||
1 | 1.27 | 0.27 | ||
0.72 | 1.00 | 0.28 |
之间的误差 而且 对于2%~16%的利率,72法则是相当准确的,这也是现实世界中的大多数情况。
作为 增大时,麦克劳林级数的近似开始发散。因此,这提供了一种估计误差程度的方法。例如,自 ,近似为 引入错误 .
有关更多细节,请参见这个讨论.
年百分率
贷款的年百分率(APR)是每年的信贷成本,用贷款金额的百分比表示。它是借款(或投资)的年利率,用一个百分比表示,代表贷款期间实际的年资金成本。它是指借款人支付给金融机构的利率。
例如,信用卡的年利率可能表示为 .这意味着,如果持卡人用信用卡购买了100美元的商品,并且在365天内不还款,那么在这段时间结束时,他可能会欠下20美元的利息。
年复利利率并没有具体说明复利利率的期限,只是利率的年利率(称为名义利率),无论复利的期限是多长,加上费用和额外成本。是的,这意味着年利率通常高于名义利率,因为这包括了与交易相关的任何费用或额外成本。
年百分比产量(APY)
一笔贷款的年利率是每年从一项有息投资中获得的金额,用总到期金额的百分比表示。APY通常高于利率,因为利息是复利的。但是,它没有考虑帐户费用影响净收益的可能性。APY一般是指金融机构支付给储户的利率。
计算APY的公式为