集成gydF4y2Ba

集成gydF4y2Ba就是求积分的过程。它是微积分的两个中心思想之一也是微积分的另一个中心思想的倒数，gydF4y2Ba分化gydF4y2Ba．一般来说，我们可以在两种不同的情况下谈论整合:gydF4y2Ba不定积分gydF4y2Ba，它是给定函数的不定积分;和gydF4y2Ba定积分gydF4y2Ba，用来计算曲线下的面积。gydF4y2Ba

注意，许多集成问题都需要使用gydF4y2Ba集成技术gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $f (x)gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $g (x)gydF4y2Ba$是相互关联的函数gydF4y2Ba

$函数f(x) = g(x) + C。gydF4y2Ba$

• 的gydF4y2Ba积分符号gydF4y2Ba $int \gydF4y2Ba$表示集成。gydF4y2Ba
• $f (x) \ dxgydF4y2Ba$被称为gydF4y2Ba不定积分gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $f (x)gydF4y2Ba$关于gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
• $f (x)gydF4y2Ba$被称为gydF4y2Ba被积函数gydF4y2Ba．gydF4y2Ba
• 的gydF4y2Ba微分gydF4y2Ba $dxgydF4y2Ba$是被积函数的一部分;它确定了积分中使用的变量。gydF4y2Ba
• $g + C (x)gydF4y2Ba$叫做广义不定积分gydF4y2Ba $f (x)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
• $CgydF4y2Ba$被称为gydF4y2Ba积分常数gydF4y2Ba；它是一个任意常数。gydF4y2Ba
• 如果gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$具有给定条件的特定值，gydF4y2Ba $g + C (x)gydF4y2Ba$被称为gydF4y2Ba特定的不定积分gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

不定积分是什么gydF4y2Ba $左(x ^ 2 - 1 \ \右)^ 3 ?gydF4y2Ba$

---

展开表达式得到gydF4y2Ba $X ^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1gydF4y2Ba$．应用逆幂法则gydF4y2Ba $x^{n+1} + CgydF4y2Ba$为gydF4y2Ba $n \ ne-1,gydF4y2Ba$我们有gydF4y2Ba

$\开始{对齐}\ int \离开(x ^ 2 - 1 \右)^ 3 \,dx & = \ int \离开(x ^ 6 - 3 x ^ 4 + 3 x ^ 2 - 1 \ \, dx \ \ \ displaystyle & = \ int x ^ 6 \ dx - 3 \ int x ^ 4 \, dx + 3 x ^ 2 \ \ int, int dx - \ \, dx \ \ \ displaystyle & = \ frac17 x ^ 7 - \ frac35x ^ 5 + x ^ 3 - x + C \{对齐}结束gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是积分常数。gydF4y2Ba $（gydF4y2Ba$请注意,gydF4y2Ba $(x = 1, x = 1, x = 1)gydF4y2Ba$ $_ \广场gydF4y2Ba$

不定积分是什么gydF4y2Ba $2 e ^ {x} ?gydF4y2Ba$

---

让gydF4y2Ba $e ^ y = x {2}gydF4y2Ba$,然后区分gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$关于gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$给了gydF4y2Ba ${e^{2x} = 2ygydF4y2Ba$,所以gydF4y2Ba $dx = \压裂{dy} {2 y}gydF4y2Ba$．因此,gydF4y2Ba

$\int e^{2x} \， dx = \int y ^{cdot \frac{dy}{2y} = \frac12 \int dy = \frac12 y + C = \frac12 e^{2x} + C，gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是积分常数。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

不定积分是什么gydF4y2Ba $X \ lnx ?gydF4y2Ba$

---

让gydF4y2Ba $x = e ^ ygydF4y2Ba$,然后gydF4y2Ba $Y = ln xgydF4y2Ba$．记住,gydF4y2Ba

${d \， (\ln \， x)}{dx} = \frac{1}{x}。{dx} = {frac{1}{e^y}。gydF4y2Ba$

回到函数gydF4y2Ba $X ln XgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba

$\压裂{dy} {dx} = \压裂{1}{e ^ y} \意味着dy = \压裂{dx} {e ^ y} \意味着dx = e ^ y \, dy。gydF4y2Ba$

积分变成了gydF4y2Ba

$int \ \ e ^ y, y \ cdot e ^ y \ dy = \ int y e ^ y {2} \, dy。gydF4y2Ba$

分部积分，我们让gydF4y2Ba $U = y意味着du = dy，gydF4y2Ba$,让gydF4y2Ba $Dv = e^{2y} \， dy \意味着v = e^{2y}。gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba

$\开始{对齐}\ int y e ^ y {2} \, dy & = u \ \ int, dv \ \ \ displaystyle & = uv - v \ \ int, du \ \ \ displaystyle & = \ frac12 y e ^ y {2} - \ frac12 \ int e ^ y {2} \, dy \ \ \ displaystyle & = \ frac12 y e ^ y {2} - \ frac12 \ cdot \ frac12 e ^ y {2} + C \ \ \ displaystyle & = \ frac12 x ^ 2 \ ln x - \ frac14 x ^ 2 + C,结束\{对齐}gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是积分常数。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

评估gydF4y2Ba ${int_{ln 2}^{ln 5} e^{2x} \， dx。gydF4y2Ba$

---

从前面的例子中，我们有gydF4y2Ba $e^{2x} + e^{x} + e^{x} + e^{x} + e^{x} + e^{x}gydF4y2Ba$

设置上限和下限为gydF4y2Ba $\ ln 5gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $\ ln 2gydF4y2Ba$，则积分为gydF4y2Ba

$左\ [\ frac12 e ^ {2 x} \右]_ {\ ln 2} ^ {\ ln 5} = \ frac12 \ cdot \离开(5 ^ 2 - 2 ^ 2 \右)= \压裂{21}2 = 10.5。\ _ \广场gydF4y2Ba$

评估积分gydF4y2Ba $1 \ \ displaystyle \ int_{1} ^离开(x ^ 2 - 1 \右)^ 3 \,dx。gydF4y2Ba$

---

从前面的例子，不定积分gydF4y2Ba $左(x ^ 2 - 1 \ \右)^ 3gydF4y2Ba$被赋予gydF4y2Ba

$^5 + x^3 - x + C。gydF4y2Ba$

应用极限，我们得到gydF4y2Ba

$左右\ [\ frac17 x ^ 7 \] _{1} ^ 1 - \[正确\ frac35 x ^ 5 \]离开了_{1}^ 1 +左\ [x ^ 3 \] _ {1} ^ 1 - [x] _{1} ^ 1 = - \压裂{32}{35}。\ _ \广场gydF4y2Ba$

主要文章:gydF4y2Ba分部积分法gydF4y2Ba和gydF4y2Ba部分分式积分法gydF4y2Ba

求不定积分gydF4y2Ba $x \ sin (x)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

---

我们应该用分部积分。gydF4y2Ba

使用LIATE(对数，反三角法，代数，三角法，指数法)规则，我们有gydF4y2Ba $U = x dv = sin x dx等于du = dx v = - cos x。gydF4y2Ba$因此,gydF4y2Ba

$当x = -x cos x + int cos x, dx = -x cos x + sin x + C时，uv - v du = -x cos x + sin x + C时，uv - v du = -x cos x + sin x + C时，uv - v du = -x cos x + sin x + C时，uv - v du = -x cos x + sin x + CgydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是积分常数。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

求不定积分gydF4y2Ba $\ frac1 {x (x + 1)}。gydF4y2Ba$

---

通过部分分式分解，我们得到gydF4y2Ba $\frac1{x(x+1)} = frac1x - \frac1{x+1}。gydF4y2Ba$

回想一下不定积分gydF4y2Ba $\ frac1xgydF4y2Ba$仅仅是gydF4y2Ba $x \ ln | |gydF4y2Ba$，所以这个式子的不定积分是gydF4y2Ba

$\ ln | | - \ ln | x + 1 | + C = \ ln左| \ \压裂x {x + 1} \ | + C,gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是积分常数。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

通过积分来验证圆的面积和半径gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $\πr ^ 2gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

---

通过坐标几何，让圆的半径gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$圆心在原点，那么圆满足方程gydF4y2Ba $X ^2 + y^2 =r^2gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

重新安排了gydF4y2Ba $大概{y = \ r ^ 2 x ^ 2}gydF4y2Ba$．我们想从这里积分gydF4y2Ba $- rgydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$求半圆的面积:gydF4y2Ba

$^r ^r，根号{r^2-x^2}， dx。gydF4y2Ba$

让gydF4y2Ba $X = r singydF4y2Ba$,然后gydF4y2Ba $\ \压裂{dx} {dθ}= r \因为\θ。gydF4y2Ba$在这里,gydF4y2Ba $\θgydF4y2Ba$范围从gydF4y2Ba $- \压裂{\π}{2}gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $\压裂{\π}{2}。gydF4y2Ba$然后，积分变成gydF4y2Ba

$\ int_{- \压裂\ pi2} ^{\压裂\ pi2} \√6 {r ^ 2 r ^ 2θ\罪^ 2 \}\ cdot r \ cosθ\ \博士= r ^ 2 \ int_{- \压裂\ pi2} ^{\压裂\ pi2} \ cosθ^ 2 \ \,博士= r ^ 2 \ cdot \压裂{\π}{2}。gydF4y2Ba$

的积分gydF4y2Ba $\ cos ^ 2 \θgydF4y2Ba$可以通过gydF4y2Ba半张角替换gydF4y2Ba．因此，圆的面积是gydF4y2Ba

$2\cdot r^2 \cdot frac{\pi}{2} = r^2。\ _ \广场gydF4y2Ba$

• 代数函数的积分gydF4y2Ba
• 指数函数的积分gydF4y2Ba
• 对数函数的积分gydF4y2Ba
• 三角函数的积分gydF4y2Ba
• 有理函数的积分gydF4y2Ba