集成GyD.F4y2Ba

集成GyD.F4y2Ba是评估积分的过程。这是微积分的两个中枢思想之一，是对微积分的另一个中心思想的反比力GyD.F4y2Ba分化GyD.F4y2Ba．一般来说，我们可以在两个不同的背景下讲解整合：GyD.F4y2Ba不定积分GyD.F4y2Ba，这是给定功能的反衍生;和GyD.F4y2Ba确定积分GyD.F4y2Ba，我们用来计算曲线下的区域。GyD.F4y2Ba

注意，许多集成问题都需要使用GyD.F4y2Ba整合技巧GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

让GyD.F4y2Ba $f（x）GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $g（x）GyD.F4y2Ba$是相互关联的函数GyD.F4y2Ba

$\ int f（x）\ dx = g（x）+ c。GyD.F4y2Ba$

• 这GyD.F4y2Ba积分标志GyD.F4y2Ba $\ int.GyD.F4y2Ba$表示集成。GyD.F4y2Ba
• $f（x）\ dxGyD.F4y2Ba$被称为GyD.F4y2Ba不定积分GyD.F4y2Ba的GyD.F4y2Ba $f（x）GyD.F4y2Ba$关于GyD.F4y2Ba $XGyD.F4y2Ba$．GyD.F4y2Ba
• $f（x）GyD.F4y2Ba$被称为GyD.F4y2Ba整合GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba
• 这GyD.F4y2Ba微分GyD.F4y2Ba $DX.GyD.F4y2Ba$是整体的一部分;它标识集成中使用的变量。GyD.F4y2Ba
• $g（x）+ cGyD.F4y2Ba$被称为一般的反衍生GyD.F4y2Ba $f（x）GyD.F4y2Ba$．GyD.F4y2Ba
• $CGyD.F4y2Ba$被称为GyD.F4y2Ba常量整合GyD.F4y2Ba;这是一个任意常数。GyD.F4y2Ba
• 如果GyD.F4y2Ba $CGyD.F4y2Ba$具有来自给定条件的特定价值，GyD.F4y2Ba $g（x）+ cGyD.F4y2Ba$被称为GyD.F4y2Ba特定的不定积分GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

什么是反衍生的GyD.F4y2Ba $左(x ^ 2 - 1 \ \右)^ 3 ?GyD.F4y2Ba$

---

展开表达式得到GyD.F4y2Ba $X ^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1GyD.F4y2Ba$．应用反向电源规则GyD.F4y2Ba $\ int x ^ n \，dx = \ frac1 {n + 1} x ^ {n + 1} + cGyD.F4y2Ba$为了GyD.F4y2Ba $n \ ne-1，GyD.F4y2Ba$我们有GyD.F4y2Ba

$\开始{对齐}\ int \离开(x ^ 2 - 1 \右)^ 3 \,dx & = \ int \离开(x ^ 6 - 3 x ^ 4 + 3 x ^ 2 - 1 \ \, dx \ \ \ displaystyle & = \ int x ^ 6 \ dx - 3 \ int x ^ 4 \, dx + 3 x ^ 2 \ \ int, int dx - \ \, dx \ \ \ displaystyle & = \ frac17 x ^ 7 - \ frac35x ^ 5 + x ^ 3 - x + C \{对齐}结束GyD.F4y2Ba$

在哪里GyD.F4y2Ba $CGyD.F4y2Ba$是集成的常数。GyD.F4y2Ba $（GyD.F4y2Ba$注意GyD.F4y2Ba $\ int \，dx = \ int 1 \，dx = x + c.）GyD.F4y2Ba$ $_\正方形GyD.F4y2Ba$

什么是无限的积分GyD.F4y2Ba $e ^ {2x}？GyD.F4y2Ba$

---

让GyD.F4y2Ba $y = e ^ {2x}GyD.F4y2Ba$然后差异化GyD.F4y2Ba $yGyD.F4y2Ba$关于GyD.F4y2Ba $XGyD.F4y2Ba$给GyD.F4y2Ba ${e^{2x} = 2yGyD.F4y2Ba$， 所以GyD.F4y2Ba $dx = \ frac {dy} {2y}GyD.F4y2Ba$．因此，GyD.F4y2Ba

$\int e^{2x} \， dx = \int y ^{cdot \frac{dy}{2y} = \frac12 \int dy = \frac12 y + C = \frac12 e^{2x} + C，GyD.F4y2Ba$

在哪里GyD.F4y2Ba $CGyD.F4y2Ba$是集成的常数。GyD.F4y2Ba $_\正方形GyD.F4y2Ba$

什么是反衍生的GyD.F4y2Ba $X \ lnx ?GyD.F4y2Ba$

---

让GyD.F4y2Ba $x = e ^ yGyD.F4y2Ba$， 然后GyD.F4y2Ba $Y = ln xGyD.F4y2Ba$．记住,GyD.F4y2Ba

$\ frac {d \，（\ ln \，x）} {dx} = \ frac {1} {x}。\ frac {d \，（\ ln \，e ^ y）} {dx} = \ frac {1} {e ^ y}。GyD.F4y2Ba$

回到该功能GyD.F4y2Ba $x \ ln \，xGyD.F4y2Ba$那GyD.F4y2Ba

$\ frac {dy} {dx} = \ frac {1} {e ^ y} \暗示dy = \ frac {dx} {e ^ y} \意味着dx = e ^ y \，dy。GyD.F4y2Ba$

积分现在变成了GyD.F4y2Ba

$\ in e ^ y \，y \ cdot e ^ y \，dy = int y ^ {2y} \，dy。GyD.F4y2Ba$

通过零件整合，我们让GyD.F4y2Ba $u = y \ inclies du = dy，GyD.F4y2Ba$然后让GyD.F4y2Ba $dv = e ^ {2y} \，dy \意味着v = \ frac12 e ^ {2y}。GyD.F4y2Ba$然后GyD.F4y2Ba

$\开始{对齐}\ int y e ^ y {2} \, dy & = u \ \ int, dv \ \ \ displaystyle & = uv - v \ \ int, du \ \ \ displaystyle & = \ frac12 y e ^ y {2} - \ frac12 \ int e ^ y {2} \, dy \ \ \ displaystyle & = \ frac12 y e ^ y {2} - \ frac12 \ cdot \ frac12 e ^ y {2} + C \ \ \ displaystyle & = \ frac12 x ^ 2 \ ln x - \ frac14 x ^ 2 + C,结束\{对齐}GyD.F4y2Ba$

在哪里GyD.F4y2Ba $CGyD.F4y2Ba$是集成的常数。GyD.F4y2Ba $_\正方形GyD.F4y2Ba$

评估GyD.F4y2Ba $\ displaystyle \ int _ {\ ln 2} ^ {\ ln 5} e ^ {2x} \，dx。GyD.F4y2Ba$

---

从前面的例子来看，我们有GyD.F4y2Ba $\ displaystyle \ int e ^ {2x} \，dx = \ frac12 e ^ {2x} + c。GyD.F4y2Ba$

设置上限和下限GyD.F4y2Ba $\ ln 5.GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $\ ln 2GyD.F4y2Ba$分别为整体进行评估GyD.F4y2Ba

$\左[\ frac12 e ^ {2x}右] _ {\ ln 2} ^ {\ ln 5} = \ frac12 \ cdot \ left（5 ^ 2-2 ^ 2 \右）= \ frac {21} 2= 10.5。\ _\正方形GyD.F4y2Ba$

评估积分GyD.F4y2Ba $\ displaystyle \ int _ { - 1} ^ 1 \ left（x ^ 2-1 \右）^ 3 \，dx。GyD.F4y2Ba$

---

从早期的示例中，无限的积分GyD.F4y2Ba $左(x ^ 2 - 1 \ \右)^ 3GyD.F4y2Ba$被给予GyD.F4y2Ba

$\ frac17 x ^ 7- \ frac35x ^ 5 + x ^ 3 - x + c。GyD.F4y2Ba$

应用限制，我们有GyD.F4y2Ba

$左[\ frac17 x ^ 7 \右] _ { - 1} ^ 1 - 左[\ frac35 x ^ 5 \右] _ { - 1} ^ 1 + \ left [x ^ 3 \右] _ { -1} ^ 1 - [x] _ { - 1} ^ 1 = - \ frac {32} {35}。\ _\正方形GyD.F4y2Ba$

主要文章：GyD.F4y2Ba零件一体化GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2Ba部分分式积分法GyD.F4y2Ba

找到反衍生的GyD.F4y2Ba $x \ sin xGyD.F4y2Ba$．GyD.F4y2Ba

---

我们应该按零部件整合。GyD.F4y2Ba

我们拥有的Lie（对数，反三角，代数，三角，指数）规则GyD.F4y2Ba $U = x dv = sin x dx等于du = dx v = - cos x。GyD.F4y2Ba$因此,GyD.F4y2Ba

$\ begin {对齐} \ int x \ sin x \，dx＆= \ in u \，dv \\＆= uv - \ int v du \\＆= -x \ cos x + \ int \ cos x \，dx\\＆= -x \ cos x + \ sin x + c，\结束{对齐}GyD.F4y2Ba$

在哪里GyD.F4y2Ba $CGyD.F4y2Ba$是集成的常数。GyD.F4y2Ba $_\正方形GyD.F4y2Ba$

找到反衍生的GyD.F4y2Ba $\ frac1 {x (x + 1)}。GyD.F4y2Ba$

---

通过部分分数分解，我们有GyD.F4y2Ba $\ frac1 {x（x + 1）} = \ frac1x - \ frac1 {x + 1}。GyD.F4y2Ba$

回想一下，反衍生GyD.F4y2Ba $\ frac1x.GyD.F4y2Ba$只是GyD.F4y2Ba $\ ln | x |GyD.F4y2Ba$，所以这个式子的不定积分是GyD.F4y2Ba

$\ ln | x |- \ ln | x + 1 |+ c = \ ln \左|\ frac x {x + 1} \右|+ c，GyD.F4y2Ba$

在哪里GyD.F4y2Ba $CGyD.F4y2Ba$是集成的常数。GyD.F4y2Ba $_\正方形GyD.F4y2Ba$

通过积分来验证圆的面积和半径GyD.F4y2Ba $R.GyD.F4y2Ba$是GyD.F4y2Ba $\πr ^ 2GyD.F4y2Ba$．GyD.F4y2Ba

---

通过坐标几何，让半径圈GyD.F4y2Ba $R.GyD.F4y2Ba$在原点上有其中心，然后圆圈满足方程式GyD.F4y2Ba $x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2GyD.F4y2Ba$．GyD.F4y2Ba

重新排列给予GyD.F4y2Ba $y = \ sqrt {r ^ 2-x ^ 2}GyD.F4y2Ba$．我们想从这里积分GyD.F4y2Ba $- rGyD.F4y2Ba$到GyD.F4y2Ba $R.GyD.F4y2Ba$要获得半圆区域：GyD.F4y2Ba

$\ int _ { - r} ^ r \ sqrt {r ^ 2-x ^ 2} \，dx。GyD.F4y2Ba$

让GyD.F4y2Ba $X = r sinGyD.F4y2Ba$， 然后GyD.F4y2Ba $\ frac {dx} {d \ theta} = r \ cos \ theta。GyD.F4y2Ba$这里，GyD.F4y2Ba $\θ.GyD.F4y2Ba$范围从GyD.F4y2Ba $- \ frac {\ pi} {2}GyD.F4y2Ba$到GyD.F4y2Ba $\ frac {\ pi} {2}。GyD.F4y2Ba$然后，积分变为GyD.F4y2Ba

$\ int_{- \压裂\ pi2} ^{\压裂\ pi2} \√6 {r ^ 2 r ^ 2θ\罪^ 2 \}\ cdot r \ cosθ\ \博士= r ^ 2 \ int_{- \压裂\ pi2} ^{\压裂\ pi2} \ cosθ^ 2 \ \,博士= r ^ 2 \ cdot \压裂{\π}{2}。GyD.F4y2Ba$

的积分GyD.F4y2Ba $\ cos ^ 2 \ thetaGyD.F4y2Ba$可以通过GyD.F4y2Ba半角替换GyD.F4y2Ba．因此，圆的区域是GyD.F4y2Ba

$2 \ cdot r ^ 2 \ cdot \ frac {\ pi} {2} = \ pi r ^ 2。\ _ \ squareGyD.F4y2Ba$

• 成绩函数的整合GyD.F4y2Ba
• 指数函数的积分GyD.F4y2Ba
• 对数函数的积分GyD.F4y2Ba
• 三角函数集成GyD.F4y2Ba
• 合理函数的整合GyD.F4y2Ba