积分中的三角替换

像其他替换在微积分中，三角替换提供了一种通过简化积分求值的方法。三角替换利用了被积函数的模式，这种模式类似于常见的三角关系，对于无法用其他方法简单计算的根函数或有理函数的积分非常有用。这些替换法通常与基本三角关系,偶尔product-to-sum身份以及其他集成技术，包括分部积分法和 $u$替换．

三角替换是一种特殊类型的 $u$替换并严重依赖于为此开发的技术。

他们使用关键关系 $sin^2x + cos^2x = 1$， $tan^2x + 1 = sec^2x$, $cot^2x + 1 = csc^2x$把积分简化成更简单的形式。三角函数的导数对于确定简化表达式的最佳方法也是必要的。

在适用的情况下，平方根的符号可以由值 $\θ$．

最常见和直接的应用之一是二次函数的倒数的积分。

评估

$int \ \压裂{dx} {x ^ 2 + 1}。$

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从上表中可以看出 $谭x = \ \θ$满足的方程 ${d\theta} = 1 + x^2$．这样就有了一些直观的感觉

$D = frac{dx}{1 + x^2}。$

接下来是

${dx}{x^2 + 1} = int d\theta = int 1 \， d\theta = + C，$

在哪里 $C$是积分常数。回忆 $谭x = \ \θ$,“ $\θ$替换” $= arctanx$证明了积分是

$\int \frac{dx}{x^2 + 1} = \theta + C = \arctan x + C \ _\square$

一般来说，正切或余切替换对有理函数的积分很有帮助，尤其是那些分母是偶数的函数。这个概念将在下面的有理函数一节中进一步探讨。

三角替换也有助于积分某些类型的根函数，特别是那些涉及二次函数的平方根的函数。事实上，这种方法可以验证已知的圆的面积公式。

求半径的圆的面积 $r$以原点为中心。

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圆的方程是 $Y ^2 + x^2 = r^2$，它在整个 $x$- - - $y$相互重合。因此，圆的面积是象限I内圆的面积的四倍，即所包围的区域 $y = 0$， $x = 0$和 $Y =根号{r^2 - x^2}$．因此，这个积分是

$4 \int_0^r \根号{r^2-x^2}， dx。$

上表显示，在象限I， $x = r \罪\θ$满足的方程 ${d\theta} = r\sqrt{1 - x^2}$．这样就有了一些直观的感觉

$Dx = r√{1 - x^2} d。$

因此,“ $\θ$替换” $= r\arcsin x$收益率

$\{对齐}开始4 \ int_0 ^ r \ sqrt {r ^ 2 - x ^ 2} \, dx & = 4 \ int_0 ^{\π/ 2}\√6 {r ^ 2 - r ^ 2 \罪^ 2θ\}\ cdot \左r \√{1 -θ\罪^ 2 \}\)\,θd \ \ \ & = 4 r ^ 2 \ int_0 ^{\π/ 2}1 -θ^ 2 \ \ \罪,θd \ \ \ & = 4 r ^ 2 \ int_0 ^{\π/ 2}\ cosθ^ 2 \ \,θd \ \ \ & = 4 r ^ 2 \ int_0 ^{\π/ 2}\压裂{1 + \ cos(2 \θ)},{2}\θd \ \ \ & = 4左r ^ 2 \[\压裂{\θ}{2}+ \压裂{\罪(2 \θ)}{4}\右]_0 ^{\π/ 2}\ \ & = 4 r ^ 2 \离开(\压裂{\π}{4}- 0 \)\ \ & = \盒装{\πr ^ 2}。结束\{对齐}$

二倍角公式，由product-to-sum公式，以完成计算。 $_ \广场$

对于任何正整数 $n$,功能 $\因为^ nx$和 $罪\ ^ nx$可以表示为元素的倍数的和 $\{1 \ \因为x, \ \ cos (2 x), \ \点,,\ \ cos (nx) \}$和 $\ {1 \ \ sin (x)、\ \罪(2 x), \ \点,,\ \罪(nx) \},$分别。例如，双角公式

$\ cos ^ 2 x = \压裂{1}{2}+ \压裂{1}{2}\ cos (2 x) \ \文本{和}\ \罪^ 2 x = \压裂{1}{2}- \压裂{1}{2}\ cos (2 x)。$

通过表达，一个典型 $u$替换像 $u = nx$可以用于帮助整合表达式。

评估 $int sin^3x, dx。$

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请注意,

$\开始{对齐}\罪(3 x) & = x \ \因为罪(2 x) + \ cos (2 x) \ sin (x) \ \ & = 2 \因为^ 2 x \ sin (x) + \大(1 - 2罪\ ^ 2 x \大)\ sin (x) \ \ & = 3 \ sin (x) - 4结束\ ^ 3 x的罪。\{对齐}$

由此可见, $罪\ ^ 3 x = \压裂{3}{4}\ sin (x) - \压裂{1}{4}\罪(3倍)$．因此,

$罪\开始{对齐}\ int \ ^ 3 x \, dx & = \ int \压裂{3}{4}\ sin (x) - \压裂{1}{4}\罪(3 x) \, dx \ \ & = \压裂{1}{12}\ cos (3 x) - \压裂{3}{4}\因为x + C \{对齐}结束$

在哪里 $C$是积分常数。 $_ \广场$

三角函数之间的许多关系是二阶的，所以反函数关系可能涉及平方根。因此，有平方根的积分可以用三角替换来简化。特别地，涉及二次函数平方根的表达式可以从余弦或正割替换中受益。正弦替换和余弦替换的情况相同，余割替换和正割替换的情况相同。

给出了表达式的形式 $根号{ax^2 + bx + c}$，考虑的迹象 $一个$和 $D = b^2 - 4ac$．如果 $d$是正的，那么三角替换可能会有帮助。积极 $一个$，在完成平方后，sec替换可能会有帮助;为负 $一个$，在完成平方后，余弦替换可能会有帮助。 $（$如果 $d$是负的，那么切线或双曲三角替换可能会有帮助。 $）$

这种替换可能有帮助，因为它可以通过使用三角恒等式从表达式中去除根号。

评估 ${√{2x - x^2}} \， dx。$

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替换 $cos = x - 1$简化了积分: $\开始{对齐}\ int \压裂{1}{\ sqrt {2 x - x ^ 2}} \, dx & = \ int \压裂{1}{\√6 {1 - (x - 1) ^ 2}} \, dx \ \ & = \ int \压裂{1}{\√6{1 -θ\ cos ^ 2 \}} \ cdot(θ-罪\ \)\ dθ\ \ \ & = \ int \压裂{θ-罪\ \}{θ罪\ \}\,d \θ \\ &= - \ θ+ C \\ &= - \ arccos (x - 1) + C \{对齐}结束$在哪里 $C$是积分常数。 $_ \广场$

评估 $* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *$

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替换 $\秒\θ= 2 x$简化了积分: $\开始{对齐}\ int \压裂{1}{\ sqrt {4 x ^ 2 - 1}} \, dx & = \ int \压裂{1}{\√6 {\ sec ^ 2 \θ- 1}}\ cdot \大(\ tfrac{1}{2} \秒\θ\ tan \θ\大)\,θd \ \ \ & = \ int \压裂{\秒\θ\ tan \θ}{2θ\ tan \} \,θd \ \ \ & = \ int \ tfrac{1}{2} \秒\θdθ\ \ \ & = \ tfrac {1} {2} \ ln谭(\ \θ+ \秒\θ)+ C \ \ & = \ tfrac {1} {2} \ ln \大(2 x + \√{4 x ^ 2 - 1} \大)+ C \{对齐}结束$在哪里 $C$是积分常数。 $_ \广场$

在分母中包含二次多项式的有理函数经常容易被替换为正切函数，以及这些正切替换 $（$加上对 $\ ln)$是部分分式分解．对于每个没有实根的二次多项式，其思想是完成平方，并用切线函数替换平方部分。

这个替换背后的思想是用微分项“约去”部分分母 $(dx$而言, $d \θ)$为了积分一个更小的表达式。如果应用得当，有些东西会抵消掉，因为 ${d\theta} = 1 + x^2，$在哪里 $谭x = \ \θ$．

评估

$1 \ \ int_0 ^压裂{2}{t ^ 2 + 3} \, dt。$

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“ $\θ$替换” $T =√{3}tan$简化了积分:

$\开始{对齐}\ int_0 ^ 1 \压裂{2}{t ^ 2 + 3} \, dt & = \ int_0 ^{\π/ 6}\压裂{2}{3 \ tan ^ 2θ+ 3}\ \ cdot \大(大概{3}\ \交会^ 2θ\ \大)\,θd \ \ \ & = \ int_0 ^{\π/ 6}\压裂{2 \√{3}},{3}\ dθ\ \ \ & = \压裂{\ sqrt{3} \π}{9}。结束\{对齐}$

注意，极限的变化与 $\θ$替换;也就是说, $大概{3}\ \ tan \ tfrac{\π}{6}= \ sqrt {3} \ cdot \ tfrac {1} {\ sqrt {3}} = 1$． $_ \广场$

回想一下半角公式

$左(\ \因为\ tfrac{\θ}{2}\右)= \√6 {\ tfrac{1}{2}(1 + \因为\θ)}{和}\ \罪\ \ \文本左(\ tfrac{\θ}{2}\右)= \√6 {\ tfrac{1}{2}(1 - \因为\θ)}。$

知道这些对于简化许多涉及三角替换的表达式是有帮助的。更有用的是切半角公式

$谭\ \离开(\ tfrac{\θ}{2}\右)= \压裂{\罪\离开(\ tfrac{\θ}{2}\右)}{\因为\离开(\ tfrac{\θ}{2}\右)}= \√6{\压裂{1 -θ\因为\}{1 + \ cosθ\}}= \√6{\压裂{(1 - \因为\θ)^ 2}{1 -θ\ cos ^ 2 \}} = \压裂{1 -θ\因为\}{\罪\θ}。$

半角切线替换还有一个性质，如果 $谭t = \ \离开(\ tfrac{\θ}{2}\右)$，

$c \开始{数组}{}& \罪\θ= \压裂{2 t} {1 + t ^ 2}, & \ cosθ= \ \压裂{1 - t ^ 2} {1 + t ^ 2},谭& \ \θ= \压裂{2 t} {1 - t ^ 2} \{数组}结束。$

对于许多涉及三角函数的有理函数，这样的替换可以使表达式看起来更可积。

找出…的价值 $\ displaystyle \ int_0 ^ \压裂{\π}{2}\压裂{dx} {2 + \ cos x} \, dx。$

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积分等于

$\ int_0 ^ \压裂{\π}{2}\压裂{dx} {2 + \ cos x} \, dx = \ int_0 ^ 1 \压裂{\压裂{2 dt} {1 + t ^ 2}}{2 + \压裂{1 - t ^ 2} {1 + t ^ 2}} = \ int_0 ^ 1 \压裂{2}{t ^ 2 + 3} \, dt。$

这个积分可以使用上一节中概述的方法来完成，它的计算结果为 $\压裂{\π\ sqrt{3}}{9}。\ _ \广场$

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