集成技巧
做出了贡献许多挑战<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/integration/" class="wiki_link" title="集成gydF4y2Ba" target="_blank">集成一个>只要知道应用正确的技术,问题就能以惊人的速度得到解决。虽然找到正确的方法需要独创性,但有十几种技术可以提供更全面的方法来求解定积分。
定积分的运算可能依赖于积分的特定极限,比如<一个t一个rget="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/integration-tricks/">奇偶函数一个>,或者它们可能需要直接改变被积函数本身,通过一些<一个t一个rget="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/integration-tricks/">替换一个>.然而,大多数积分需要技术的组合,以及许多更复杂的方法,如<一个t一个rget="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/integration-tricks/">解释为二重积分一个>,需要多个步骤来缩减表达式。
例如,考虑<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/antiderivative-and-indefinite-integration/" class="wiki_link" title="不定积分gydF4y2Ba" target="_blank">不定积分一个>
这被称为高斯积分,在它的用法之后<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/normal-distribution/" class="wiki_link" title="高斯分布gydF4y2Ba" target="_blank">高斯分布一个>,而且众所周知,它没有封闭形式。然而,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/improper-integrals/" class="wiki_link" title="反常积分gydF4y2Ba" target="_blank">反常积分一个>
可以精确地计算,使用<年代tr在g>集成方法年代tr在g>.实际上,它的值由<一个t一个rget="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/multiple-integral/">极地积分一个>
如果没有这种精确计算积分的方法,高斯(正态)分布将显著地更加复杂。这样的积分贯穿始终<一个t一个rget="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/physics/">物理一个>,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/statistics/" class="wiki_link" title="统计数据gydF4y2Ba" target="_blank">统计数据一个>,
内容
奇偶函数
奇函数<年代pan class="katex">
反射
与上述方法类似的方法是反转积分区间:“反向积分”。对于一个函数<年代pan class="katex"> 和实数<年代pan class="katex">
反演
假设这个函数<年代pan class="katex"> 已经有界<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/antiderivative-and-indefinite-integration/" class="wiki_link" title="不定积分gydF4y2Ba" target="_blank">不定积分一个>在<年代pan class="katex">
循环点
此部分目前不完整。让我们携起手来建立这个维基。请随意添加您对这个主题的任何了解!
维持积分区间的变换不仅仅是简单的反射和反转,但它们并不常见。
逆函数
假设这个函数<年代pan class="katex"> 是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/bijection-injection-and-surjection/" class="wiki_link" title="一对一的gydF4y2Ba" target="_blank">一对一的一个>和增加。则可建立几何等价:
假设这个函数<年代pan class="katex"> 是1 - 1递减的。然后,可以建立另一个几何等价:
让<年代pan class="katex">
分部积分法
三角函数替换
当用三角函数求积分时,<一个t一个rget="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/math/geometry/trigonometric-identities">三角恒等式一个>创建快捷方式!的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/integration-of-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="三角函数的积分gydF4y2Ba" target="_blank">三角函数的积分一个>Wiki对此进行了详细介绍,但下面是一些示例。
第一个恒等式是<年代pan class="katex">
我们有
在哪里<年代pan class="katex"> 是积分常数。
下面是这个身份的一个不太明显的应用:
我们有
可以使用的其他示例是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/double-angle-identities/" class="wiki_link" title="二倍角公式gydF4y2Ba" target="_blank">二倍角公式一个>的积分,可用于<年代pan class="katex">
维尔斯特拉斯替换
使用三角函数最有效的替换之一是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/weierstrass-substitution/" class="wiki_link" title="维尔斯特拉斯替换gydF4y2Ba" target="_blank">维尔斯特拉斯替换一个>的<年代pan class="katex">
泰勒级数
主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒级数gydF4y2Ba" target="_blank">泰勒级数一个>
有些函数像<年代pan class="katex">
积分符号下的微分
主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/differentiate-through-the-integral/" class="wiki_link" title="积分符号下的微分gydF4y2Ba" target="_blank">积分符号下的微分一个><!-- end-meta -->
在积分号下求导是计算某些积分的有用方法,用其他方法可能比较困难。这种积分方法被理查德·费曼频繁地使用,因此常被称为<年代tr在g>费曼的积分技巧年代tr在g>.
计算<年代pan class="katex-display">
让<年代pan class="katex">
计算<年代pan class="katex-display">
让<年代pan class="katex">
因此,<年代pan class="katex">
转换为二重积分
有时候,被积函数看起来已经被积分过了。这可能表明积分更好地解释为a<一个t一个rget="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/multiple-integral/">二重积分一个>.有更多的可能性<年代pan class="katex"> 当两个变量都可以被操作时(极坐标、偏斜等),简单地改变积分的顺序就足以简化积分。
在很多情况下,这是积分符号下求导的对偶方法。主要的区别是额外的变量是解释的
假设<年代pan class="katex"> 而且<年代pan class="katex"> 都是实数,<年代pan class="katex"> 函数,并且<年代pan class="katex">
如果<年代pan class="katex">
假设富比尼定理成立,积分的顺序可以交换或改变。
评估
我们有
调和函数
在复分析中,a<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/harmonic-function/" class="wiki_link" title="调和函数gydF4y2Ba" target="_blank">调和函数一个>是一个实值函数,它是复微函数的实部或虚部。在多元微积分中,它是一个函数<年代pan class="katex">