现在,我们来研究三角积分的典型例子。
案例1:假设积分是这样的
∫因为米x因为nxdx或∫罪米x罪nxdx或∫罪米x因为nxdx.
在这些情况下,我们可以使用三角积来求和恒等式:
因为一个因为B=21[因为(一个−B)+因为(一个+B)],另外两个也是一样。
求积分
∫罪3.x因为2xdx.
自
罪3.x因为2x=21[罪(3.x+2x)+罪(3.x−2x)]=21(罪5x+罪x),给定的表达式是
∫罪3.x因为2xdx=21(∫罪5xdx+∫罪xdx)=−21(5因为5x+因为x)+C.□
案例2:假设积分是这样的
∫罪米(x)因为n(x)dx,在哪里
米而且
n属于整数。
在这种情况下,我们可以用
u替换:
- 如果
米是奇数,放
因为(x)=t和继续。
- 如果
n是奇数,放
罪(x)=t和继续。
- 如果两个
米而且
n是奇数,放置
罪(x)=t如果米≥n而且
因为(x)=t否则。
- 如果两个
米而且
n均为偶数,采用减幂公式:
罪2(x)=21(1−因为(2x))而且因为2(x)=21(1+因为(2x)).
- 如果
米+n是负整数吗
棕褐色(x)=t和继续。
求积分
∫罪2(x)因为3.(x)dx.
我们有
∫罪2(x)因为3.(x)dx=∫罪2(x)因为2(x)因为(x)dx=∫罪2(x)(1−罪2(x))因为(x)dx.
替换
罪(x)=t而且
因为(x)dx=dt,上面的等于
∫t2(1−t2)dt=∫t2dt−∫t4dt=3.t3.−5t5+C=3.罪3.(x)−5罪5(x)+C,
在哪里
C是积分常数。
□
案例3:假设积分是这样的
∫p罪(x)+问因为(x)+r一个罪(x)+b因为(x)+cdx.
在这种情况下,是快递
全国矿工工会=α(穴)+βdxd(穴)+γ然后像往常一样积分。
注意,NUM表示被积函数的分子,DEN表示被积函数的分母。
求积分
∫罪(x)+2因为(x)+13.罪(x)+5因为(x)+3.dx.
表达
3.罪(x)+5因为(x)+3.=α(罪(x)+2因为(x)+1)+β(因为(x)−2罪(x))+γ.然后比较的系数
罪(x),因为(x)给了
α−2β=3.,2α+β=5,α+γ=3..
所以,
α=513.,β=−51,γ=52,这给了
∫罪(x)+2因为(x)+13.罪(x)+5因为(x)+3.dx=α∫dx+β∫罪(x)+2因为(x)+1因为(x)−2罪(x)dx+∫罪(x)+2因为(x)+1γdx=α∫dx+β∫罪(x)+2因为(x)+1(罪(x)+2因为(x)+1)”dx+γ∫罪(x)+2因为(x)+11dx=513.x−51ln∣∣罪(x)+2因为(x)+1∣∣+51(ln(罪2x+因为2x)−3.ln(3.因为2x−罪2x))+C,
最后一个积分是由下面提到的情形6完成的。
□
案例4:假设积分是这样的
∫p棕褐色(x)+问一个棕褐色(x)+bdx.
在本例中,将集成更改为表单
∫p罪(x)+问因为(x)一个罪(x)+b因为(x)dx
并按情形3进行。
求积分
∫5棕褐色(x)−3.棕褐色(x)+2dx.
例5:假设积分是这样的
∫一个罪(x)±b因为(x)1dx.
在这种情况下,使用
一个=r因为(α)而且
b=r罪(α)把积分化成这个形式
r1∫罪(x±α)dx
然后用公式积分
∫csc(x)dx.
求积分
∫2罪(x)−5因为(x)1dx.
例6::假设积分形式为
∫一个罪(x)+b因为(x)+cdx.
在这种情况下,将积分转换为形式
∫2一个棕褐色(2x)+(c−b)棕褐色2(2x)+(c+b)证券交易委员会2(2x)dx
然后放入
棕褐色(2x)=t和继续。
求积分
∫罪(x)+2因为(x)+1dx.
例7:一般来说,如果积分是这样的形式
∫R(罪x,因为x)dx,
在哪里
R是有理函数,那么普适代换是怎么放的
棕褐色(2x)=t.
现在,出现了三种特殊情况:
- 如果
R(−罪(x),因为(x))=−R(罪(x),因为(x)),然后把
因为(x)=t和继续。
- 如果
R(罪(x),−因为(x))=−R(罪(x),因为(x)),然后把
罪(x)=t和继续。
- 如果
R(−罪(x),−因为(x))=−R(罪(x),因为(x)),然后把
棕褐色(x)=t和继续。
例8:如果积分是这样的形式
∫f(罪(2x))±罪(x)±因为(x)dx,
然后替换
∫(±罪(x)±因为(x))=t和继续。
求积分
∫1+罪(2x)因为(x)−罪(x)dx.