激进功能的集成

我们将着眼于不同的方式使用各种集成一些激进的功能 $你$3'-取代技巧。这些积分往往需要进行三角换元法或 $你$-substitutions把他们带到一个简单的形式。

诡计：形式的积分 $\压裂{F'（x）的} {F（X）}$
我们已经看到在类型2A和3B型这样的例子。 $$

诡计：涉及积分 $\ SQRT {X + A ^ 2}$

评价 $\的DisplayStyle \ INT \压裂{DX} {X \ SQRT {X + 1}}$。

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让 $X + 1 = U ^ 2$和 $X = U ^ 2 - 1。$然后自 $DX = 2U \，杜，$我们有

$\ INT \压裂{DX} {X \ SQRT {X + 1}} = \ INT \压裂{2U \，杜} {（U ^ 2 - 1）\倍U】= \ INT \压裂{2 \，杜}【U ^ 2 - 1}。$

然后，你打破了积分使用部分分数，并获得

$\ BEGIN {对齐} \ INT \压裂{2 \，杜}【U ^ 2 - 1}＆= \ INT \压裂{杜} {U-1} - \ INT \压裂{杜} {U + 1} \\＆= \ LN \左|U-1 \右|- \ LN \左| U + 1 \右|+ C \\＆= \ LN \左|\ dfrac {\ SQRT {X + 1} -1} {\ SQRT {X + 1} + 1} \右|+ C，\ qquad（\ {文本自} U = \ SQRT {X + 1}）\ {端对齐}$

在哪里 $C.$是积分常数。 $_ \平方$

诡计：涉及积分 $（X-B）^ 2 + C ^ 2$
我们已经看到了这样的例子在 $\的DisplayStyle \ INT \压裂{X} {\左[（X-B）^ 2 + C ^ 2 \右] ^ N} \，DX$。

评价 $\的DisplayStyle \ INT \压裂{1} {\ SQRT {X ^ 2 + 2X + 5}} \，DX$。

诡计：形式的积分 $\压裂{F'} {\ SQRT {F}}，$其集成到 $2 \ SQRT {F} + C$

评价 $\的DisplayStyle \ INT \压裂{X ^ 4 \，DX} {\ SQRT {X ^ 5 + 5}}。$

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乘法和5分，积分变为

$\压裂{1} {5} \ INT \压裂{5倍^ 4 \，DX} {\ SQRT {5 + X ^ 5}}。$

观察整体的形式是 $\压裂{F'} {\ SQRT {F}}，$那么整体来解决了

$2 \压裂{\ SQRT {X ^ 5 + 5}} {5} + C，$

在哪里 $C.$是积分常数。 $_ \平方$