对数函数的积分GydF4y2Ba

的衍生物GydF4y2Ba对数GydF4y2Ba $\ LN XGydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $\压裂{1} {X}GydF4y2Ba$，但问题是什么GydF4y2Ba反导GydF4y2Ba? 事实证明，这有点棘手，必须使用聪明的GydF4y2Ba分部积分法GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

对数是一个基本函数，许多其他函数都是从它建立起来的，因此学习对它进行积分可以大大拓宽我们可以处理的积分的种类。GydF4y2Ba

$\ INT \ LN（x）的\ DX = X \ LN（x）的 - X + CGydF4y2Ba$

在上述方程中，GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$是积分常数，这个符号GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$将在整个wiki上使用。GydF4y2Ba

对于这个解决方案，我们将使用GydF4y2Ba分部积分法GydF4y2Ba：GydF4y2Ba

$\ INT F（X）G '（x）的\ DX = F（X）G（X） - \ INT F'（x）的G（X）\ DX。GydF4y2Ba$

我们用GydF4y2Ba $F（X）= \ LN（x）的GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $G'（X）= 1GydF4y2Ba$，也就是说GydF4y2Ba $G（X）= XGydF4y2Ba$. 将这些插入到我们的部分积分公式中，我们得到GydF4y2Ba

$\开始{对齐} \ INT 1 \ CDOT \ LN（x）的\ DX＆= X \ LN（X） - \ INT \大（\ LN（x）的\大）”×\ DX \\＆= X \ LN（X） - \ INT \压裂{X} {X} \ DX \\＆= X \ LN（X） - X + C. \ {端对齐}GydF4y2Ba$

我们可以分解一点，得到所需的公式GydF4y2Ba

$\ INT \ LN（x）的\ DX = X \大（\ LN（X） - 1 \大）+ C. \ _ \方GydF4y2Ba$

这表明不太可能应用集成技术实际上是正确的前进方向！GydF4y2Ba

现在我们知道了如何集成它，让我们应用GydF4y2Ba对数的性质GydF4y2Ba了解如何处理类似问题。GydF4y2Ba

评估GydF4y2Ba $\的DisplayStyle {\ INT \ LN 2×\，DX}GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

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根据对数的性质，我们知道，GydF4y2Ba

$\ln 2x=\ln x+\ln2，GydF4y2Ba$

因此GydF4y2Ba

$\开始{aligned}\int\ln2x~dx&=\int\left（\lnx+\ln2\right）~dx\\&=\int\lnx~dx+\int\ln2~dx\\\&=x\lnx-x+x\ln2+C.\\正方形\结束{aligned}GydF4y2Ba$

评估GydF4y2Ba $\显示样式{\int\log x~dx}。GydF4y2Ba$

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根据对数的性质，我们得到了GydF4y2Ba

$\日志x=\frac{\lnx}{\ln10}。GydF4y2Ba$

因此，给定的积分可以写成GydF4y2Ba

$\ INT \登录X〜DX = \ INT \压裂{\ LN X} {\ LN10}〜DX = \压裂{1} {\ LN10} X（\ LN X-1）+ C。\ _ \方GydF4y2Ba$

当集成的多项式的至少两个术语的技术中对数GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$3'-取代是必要的。以下是通过U形替代积分对数的一些例子：GydF4y2Ba

评估GydF4y2Ba $\的DisplayStyle {\ INT \ LN（2X + 3）\，DX}GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

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对于这个问题，我们使用GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$-代换。让GydF4y2Ba $U = 2×+ 3。GydF4y2Ba$那么我们有GydF4y2Ba $du=2dx，GydF4y2Ba$或GydF4y2Ba $dx=\frac{1}{2}du，GydF4y2Ba$和给定的积分可以改写如下：GydF4y2Ba

$\ BEGIN {对齐} \ INT \ LN（2X + 3）〜DX＆= \压裂{1} {2} \ INT \ LN U〜杜\\＆= \压裂{1} {2} U（\ LN U-1）+ C＆\\ = \压裂{2×+ 3} {2} \大（\ LN（2X + 3）-1 \大）+ C。\ _ \平方\ {端对齐}GydF4y2Ba$

评估GydF4y2Ba $\显示样式{\int\ln（x-2）^3\，dx}GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

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根据对数的性质，我们得到了GydF4y2Ba

$\ INT \ LN（X-2）^ 3 \，DX = 3 \ INT \ LN（X-2）〜DX。GydF4y2Ba$

现在让我们GydF4y2Ba $U = X-2。GydF4y2Ba$那么我们有GydF4y2Ba $du=dx，GydF4y2Ba$并且积分可以改写如下：GydF4y2Ba

$\开始{aligned}\int\ln（x-2）^3\，dx&=3\int\ln（x-2）~dx\\\&=3\int\ln u\\\&=3u（\ln u-1）+C\\\&=3（x-2）\ big（\ln（x-2）-1\ big）+C.\\ uu\square\end{aligned}GydF4y2Ba$

我们现在就来看看示例，其中我们整合的功能GydF4y2Ba $\ LN XGydF4y2Ba$. 这些问题通常需要熟悉GydF4y2Ba分部积分法GydF4y2Ba那GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$-替代品GydF4y2Ba和GydF4y2Ba $\ LN | F |GydF4y2Ba$形式GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

评估GydF4y2Ba $\显示样式{\int x\ln x\，dx}GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

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为了解决这个问题，我们使用了分部集成的原则。让GydF4y2Ba $U = \ LN XGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $V'= X。GydF4y2Ba$那么我们有GydF4y2Ba

$\本港的一{{对齐{{{{{在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在x^2+C.\\方形\末端{对齐}GydF4y2Ba$

更一般地说，GydF4y2Ba

$\ INT的x ^米\ LN X \，DX = X ^ {M + 1} \左（\压裂{\ LN X} {M + 1} - \压裂{1} {（M + 1）^ 2} \右）+ C.GydF4y2Ba$

这方面的证明与上述类似。GydF4y2Ba

评估GydF4y2Ba $\的DisplayStyle {\ INT \压裂{\ LN X} {X} \，DX}GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

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为了解决这个问题，我们使用GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$-代换。让GydF4y2Ba $U = \ LN X。GydF4y2Ba$然后自GydF4y2Ba $du=\frac{1}{x}dx，GydF4y2Ba$我们知道GydF4y2Ba

$\ INT \压裂{\ LN X} {X} \，DX = \ INT \压裂【U} {X}〜DX = \ INT U〜杜= \压裂{1} {2} U ^ 2 + C = \压裂{1} {2}（\ LN X）^ 2 + C。\ _ \方GydF4y2Ba$

更一般地说，GydF4y2Ba

$\ INT \压裂{（\ LN X）^ N} {X} \，DX = \压裂{（\ LN X）^ {N + 1}} {N + 1}，\四Ñ\ NEQ -1。GydF4y2Ba$

这方面的证明与上述类似。GydF4y2Ba

显示GydF4y2Ba $\的DisplayStyle {\ INT \压裂{1} {X \ LN X} \，DX = \ LN \ lvert \ LN X \ rvert + C}GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

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感知GydF4y2Ba $\压裂{1} {X \ LN X}GydF4y2Ba$作为GydF4y2Ba $\frac{\frac{1}{x}{\lnx}。GydF4y2Ba$然后自GydF4y2Ba $（\ln x）=\frac{1}{x}，GydF4y2Ba$给定积分会给GydF4y2Ba $\ LN \ lvert˚F\ rvertGydF4y2Ba$形成如下：GydF4y2Ba

$\int\frac{1}{x\ln x}\，dx=\ln\lvert\ln x\rvert+C.\\平方GydF4y2Ba$

另一种解决方案：GydF4y2Ba我们也可以使用替换GydF4y2Ba $U = \ LN X。GydF4y2Ba$作为GydF4y2Ba $du=\frac{1}{x}dx，GydF4y2Ba$我们知道GydF4y2Ba

$\ INT \压裂{1} {X \ LN X} \，DX = \ INT \压裂{1} {\ LN X} \ CDOT \压裂{1} {X}〜DX = \ INT \压裂{1} {U】〜DU = \ LN \ lvert U \ rvert + C = \ LN \ lvert \ LN X \ rvert + C。\ _ \方GydF4y2Ba$

评估GydF4y2Ba $\的DisplayStyle {\ INT（\ LN X）^ 2 \，DX}GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

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让GydF4y2Ba $U =（\ LN X）^ 2GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $v'=1。GydF4y2Ba$然后自GydF4y2Ba $V = XGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $u'=\frac{2\ln x}{x}GydF4y2Ba$我们有GydF4y2Ba

$\开始{对齐} \ INT（\ LN X）^ 2 \，DX＆= \ INT UV'〜DX \\＆= UV- \ INT u'v〜DX \\＆= X（\ LN X）^ 2-\ INT \压裂{2 \ LN X} {X} \ CDOT X〜DX \\＆= X（\ LN X）^ 2- \ INT2 \ LN X〜DX。\ {端对齐}GydF4y2Ba$

使用公式GydF4y2Ba $\ INT \ LN X〜DX = X \ LN X-X + C，GydF4y2Ba$我们已经学会了上面，我们有GydF4y2Ba

$X（\ LN X）^ 2- \ INT2 \ LN X〜DX = X（\ LN X）^ 2-2x \ LN X + 2×+ C。\ _ \方GydF4y2Ba$

有些问题可能会非常复杂，所以它们需要同时使用分部积分法和GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$-代换。GydF4y2Ba

评估GydF4y2Ba $\的DisplayStyle {\ INT \罪（\ LN X）\，DX}GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

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我们使用替换GydF4y2Ba $T = \ LN X。GydF4y2Ba$然后自GydF4y2Ba $dt=\frac{1}{x}dx，GydF4y2Ba$或GydF4y2Ba $dx=xdt，GydF4y2Ba$我们有GydF4y2Ba $\ INT \罪（\ LN X）\，DX = \ INT X \罪吨〜DT。GydF4y2Ba$从关系中GydF4y2Ba $T = \ LN XGydF4y2Ba$我们知道GydF4y2Ba $E 1吨= X。GydF4y2Ba$因此GydF4y2Ba $\ INT X \罪吨〜DT = \ INT E 1吨\罪吨〜DT。GydF4y2Ba$现在让我们GydF4y2Ba $U = \罪吨GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $V'= E ^ T。GydF4y2Ba$然后自GydF4y2Ba $的u'= \ COS吨GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $v=e^t，GydF4y2Ba$我们有GydF4y2Ba $\ BEGIN {对齐} \ INT E 1吨\罪吨〜DT＆= \ INT UV'〜DT \\＆= UV- \ INT u'v〜DT \\＆= E ^ T \犯罪叔\ INT E 1吨\ COS吨〜DT。\ qquad（1）\ {端对齐}GydF4y2Ba$再次使用部件集成，我们GydF4y2Ba $\ INT E 1吨\ COS吨〜DT = E ^ T \ COS吨+ \ INT E 1吨\罪吨〜DT，GydF4y2Ba$代入该GydF4y2Ba $（1）GydF4y2Ba$给GydF4y2Ba $\开始{aligned}\int e^t\sin t~dt&=e^t\sin t-\int e^t\cos t\\\&=e^t\sin t-e^t-e^t\cos t-\int e^t\sin t~dt\\\\右箭头2\int e^t\sin t~dt&=e^t\sin t\cos t\\\\\\\\\ int e^t\sin t~dt&=\frac{e^e^t（\sin t-\cos t-\cos t）}+C.\end{aligned}GydF4y2Ba$现在，我们终于有GydF4y2Ba $\开始{对齐} \ INT \罪（\ LN X）\，DX＆= \压裂{E 1吨（\罪叔\ COS吨）} {2} + C \\＆= \压裂{E 1 {\ LN X} \大（\ SIN（\ LN X） - \ COS（\ LN X）\大）。} {2} + C \ _ \平方\ {端对齐}GydF4y2Ba$

如果我们不希望使用分部积分，我们也可以用泰勒展开式解决我们原来的积分。GydF4y2Ba

我们知道，泰勒级数展开GydF4y2Ba $\ LN XGydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $\ LN X =（X-1） - \压裂{（X-1）^ 2} {2} + \压裂{（X-1）^ 3} {3} - \压裂{（X-1）^ 4} {4} + \ cdots。\ qquad（1）GydF4y2Ba$双方整合，我们得到GydF4y2Ba $\ INT \ LN X〜DX = \压裂{（X-1）^ 2} {2} - \压裂{（X-1）^ 3} {6} + \压裂{（X-1）^ 4} {12} - \压裂{（X-1）^ 5} {20} + \ cdots \ qquad（2）GydF4y2Ba$我们想把它和泰勒级数展开式进行比较GydF4y2Ba $x\ln x-x。GydF4y2Ba$乘两侧GydF4y2Ba $（1）GydF4y2Ba$经过GydF4y2Ba $X-1GydF4y2Ba$给GydF4y2Ba $（X-1）\ LN X =（X-1）^ 2 \压裂{（X-1）^ 3} {2} + \压裂{（X-1）^ 4} {3} - \压裂{（X-1）^ 5} {4} + \ cdots。GydF4y2Ba$然后我们加上GydF4y2Ba $（1）GydF4y2Ba$双方获得GydF4y2Ba $X \ LN X =（X-1）+ \压裂{（X-1）^ 2} {2} - \压裂{（X-1）^ 3} {6} + \压裂{（X-1）^4} {12} - \压裂{（X-1）^ 5} {20} + \ cdots。GydF4y2Ba$最后，减去GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$双方都给予GydF4y2Ba $x\lnx-x=-1+\frac{（x-1）^2}{2}-\frac{（x-1）^3}{6}+\frac{（x-1）^4}{12}-\frac{（x-1）^5}{20}+\cdots，GydF4y2Ba$这与GydF4y2Ba $（2）GydF4y2Ba$除了常数项（这是不相关的，因为总是有积分常数）。因此，我们可以得出结论：GydF4y2Ba $\ INT \ LN X〜DX = X \ LN X-X + C。\ _ \方GydF4y2Ba$