指数函数的积分

指数函数是这样的 $f (x) = Ce ^ {x}$对于一个常数 $C$，以及这些函数的线性移位、逆和商。指数函数在物理科学中经常出现，所以对它们进行积分是很有帮助的。

几乎所有的积分都可以归结为两个基本公式:

$\ int x \ e ^, dx = x + C e ^, ^ x \ \四\ int, dx = \压裂{x ^} {\ ln (a)} + C。$

求不定积分

$\int (3e^x+2^x)\ dx，$

使用 $C$作为积分常数。

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我们有

$\开始{对齐}\ int x + 2 (3 e ^ ^ x) \, dx & = 3 \ int e ^ dx + \ int x 2 ^ \, dx \ \ & ^ = 3 e x + \压裂{2 x ^} {\ ln 2} + C \{对齐}结束$

在哪里 $C$是积分常数。 $_ \广场$

求不定积分

$\int e^{x+2}\， dx，$

使用 $C$作为积分常数。

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我们有

$\开始{对齐}\ int e ^ {x + 2} \, dx & = \ int x e e ^ ^ 2 \, dx \ \ & = e ^ 2 \ int x \ e ^, dx \ \ & = e ^ 2 e ^ x + C \ \ & = e ^ {x + 2} + C \{对齐}结束$

在哪里 $C$是积分常数。 $_ \广场$

案例1:假设我们有一个指数函数 $\displaystyle \int e^x\big(f(x) + f'(x)\big)\， dx$．在这种情况下，积分是 $e^xf(x) + C。$

求不定积分

$\int e^x\big(\sin(x) + \cos(x)\big)\，$

使用 $C$作为积分常数。

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积分的形式是 $\ displaystyle \ int e x ^ \大(f (x) + f (x) \ \大),dx,$在哪里 $F (x) = \sin(x)$．我们的积分是

$e^x\sin(x) + c \ _\平方$

案例2:假设我们有一个积分形式 $\displaystyle I = \int e^{ax}\cos(bx+c)。$它的积分是

$I = \ dfrac {e ^ {ax} \大(\ cos (bx + c) + b \罪(bx + c) \大)}{b ^ ^ 2 + 2}。$

我们将使用分部积分法对上述内容进行积分，如下所示:

$\{对齐}开始我& = \ int e ^ {ax} \ cos (bx + c) \ dx \ \ & = \ cos (bx + c) \压裂{e ^ {ax}}{} + \压裂{b} {} \ int e ^ {ax} \罪(bx + c) \ dx \ \ \ \ & = \ cos (bx + c) \压裂{e ^ {ax}}{} + \压裂{b}{} \离开(\压裂{e ^ {ax}}{} \罪(bx + c) - \压裂{b} {} \ int e ^ {ax} \ cos (bx + c) \ \ dx \ \ \ \ & = \压裂{e ^ {ax} \大(\ cos (bx + c) + b \罪(bx + c) \大)}{^ 2}- \压裂{b ^ 2}{^ 2}。结束\{对齐}$

所以

${对齐}我\ \开始(1 + \压裂{b ^ 2}{^ 2} \右)& = \压裂{e ^ {ax} \大(\ cos (bx + c) + b \罪(bx + c) \大)}{^ 2}\ \ \ Rightarrow我= \压裂{e ^ {ax} \大(\ cos (bx + c) + b \罪(bx + c) \大)}{b ^ ^ 2 + 2}。\ _\方形\端{对齐}$

注意:上面的例子也适用于表单 $\displaystyle I = \int e^{ax}\sin(bx+c)。$

求不定积分

$\int e^{2x}\cos(5x+3)\， dx，$

使用 $C$作为积分常数。

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由上述结果，我们得到的答案是

$2 \压裂{e ^ {x} \大(2 \ cos (x 5 + 3) + 5 \罪(5 x + 3) \大)}{29}+ c \ _ \广场$

案例3:如果积分是这样的形式 $int \ displaystyle \ \压裂{ae ^ x +是^ {x}} {pe x + qe ^ ^ {x}} dx,$表达 $α\文本{(NUM)} = \ \ {(DEN)} +文本\β\压裂{d} {dx} \文本{(DEN)},$其中NUM=(被积函数的分子)DEN=(被积函数的分母)，然后像往常一样积分。

求不定积分

$\int \frac{2e^x + 3e^{-x}}{e^x - 5e^{-x}}\， dx，$

使用 $C$作为积分常数。

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我们可以写 $2 e x ^ ^ + 3 e {- x} = \α(e x - 5 e ^ ^ {- x}) + \β(e x + 5 e ^ ^ {- x})。$的系数比较 $E ^x \text{和}E ^{-x}$，我们得到 $\alpha + \beta = 2$而且 $\alpha -\ beta = -\frac{3}{5}，$这意味着 $\alpha =\ fra7 {10}， \beta=\frac{13}{10}$．所以我们有

$\ int \压裂{2 e x + 3 e ^ ^ {x}} {e x - 5 e ^ ^ {x}} dx =βα\ \ int dx + \ \ int \压裂{e x + 5 e ^ ^ {x}} {e x - 5 e ^ ^ {x}} dx。\ qquad (1)$

让 $E ^x - 5e^{-x} = t，$然后 $(e^x + 5e^{-x})dx = dt，$这给了

$\{对齐}开始(1)& = \ frac7 {10} \ int dx + \压裂{13}{10}\ int \压裂{dt} {t} \ \ & = \压裂{7 x}{10} + \压裂{13}{10}\ t ln | | + C \ \ & = \压裂{7 x}{10} + \压裂{13}{10}\ ln \大| e x - 5 e ^ ^ {- x} \大| + C \{对齐}结束$

在哪里 $C$是积分常数。 $_ \广场$