代数函数的积分gydF4y2Ba

给定一个常数gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$和两个函数gydF4y2Ba $f (x)gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $g (x)gydF4y2Ba$，积分的两个基本性质是gydF4y2Ba $\开始{对齐}\ displaystyle \ int c f (x) \, dx & = c \ displaystyle \ int f (x) \, dx \ \ \ displaystyle \ int \大(f (x) + g (x) \大)\,dx & = \ displaystyle \ int f (x) \, dx + g (x) \ \ int, dx。结束\{对齐}gydF4y2Ba$这两个性质是由微分公式推导出来的:gydF4y2Ba $\开始{对齐}\压裂{d} {dx} cF (x) & = c \压裂{d} {dx} F (x)文本{和}~ \ \ \ \压裂{d} {dx} \大(F (x) + G (x) \大)& = \压裂{d} {dx} F (x) + \压裂{d} {dx} G (x)。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

对于实数gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$的不定积分gydF4y2Ba $f (x) = x ^ ngydF4y2Ba$是gydF4y2Ba ${x ^{n+1}}{n+1} + C，gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是积分常数。gydF4y2Ba

的应用程序可以很容易地显示这一点gydF4y2Ba微积分基本定理gydF4y2Ba：gydF4y2Ba

根据幂次法则gydF4y2Ba ${d}{dx} x^m = mx^{m-1}，gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$是一个任意常数。两边同时乘以gydF4y2Ba $m \压裂{1}{}gydF4y2Ba$给了gydF4y2Ba ${x^m}{m} = x^{m-1}gydF4y2Ba$

请注意,gydF4y2Ba $m≠0gydF4y2Ba$因为这样左边就不确定了。微积分的第一个基本定理告诉我们微分和积分是相反的。利用这个事实，我们对两边积分:gydF4y2Ba $\ int x ^ {m - 1} \, int dx = \ \压裂{d} {dx} \压裂{x ^ m} {m} \, dx = \压裂{x ^ m} {m} + C。gydF4y2Ba$如上所述,gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$是任意常数，我们可以设置gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$只要gydF4y2Ba $m≠0gydF4y2Ba$．让gydF4y2Ba $m = n + 1gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $n≠1,gydF4y2Ba$我们有gydF4y2Ba $x^{n+1}}{n+1}+C。\ _ \广场gydF4y2Ba$

评估积分gydF4y2Ba $\displaystyle \int 2x^3\， dxgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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我们有gydF4y2Ba $(x^3, x^3, x^3, x^3, x^3, x^3, x^3))\qquad \text{(由属性1)}gydF4y2Ba$应用上面的定理，gydF4y2Ba $2 \ int x ^ 3 \, dx = 2 \离开(\压裂{x ^{3 + 1}}{3 + 1} \右)+ C = \压裂{x ^ 4} {2} + C,gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是积分常数。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

如上所述，我们可以让gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$是任意的实数，只要gydF4y2Ba $n≠1gydF4y2Ba$．这意味着我们的公式不仅适用于整数，也适用于负数、有理数和无理数。的积分的更多信息gydF4y2Ba $\压裂{1}{x}gydF4y2Ba$，请参阅维基百科gydF4y2Ba有理函数的积分gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

评估积分gydF4y2Ba $\displaystyle \int \frac{7}{x^4}\， dx。gydF4y2Ba$

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我们有gydF4y2Ba $int \ \压裂{7}{x ^ 4} \, dx = \ int \离开(7 x ^ {4} \) \, dx = 7 \ int x ^ {4} \, dx。\qquad \text{(由属性1)}gydF4y2Ba$应用上面的定理，gydF4y2Ba $7 \ int x ^ {4} dx = 7 \离开(\压裂{x ^{4 + 1}}{4 + 1} \右)+ C = 7 \离开(\压裂{x ^{3}}{3} \右)+ C = \压裂{7}{3 x ^ 3} + C,gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是积分常数。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

评估积分gydF4y2Ba $左(\ \ displaystyle \ int \压裂{π+ 1}{11}x ^π\)\,dxgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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我们有gydF4y2Ba $左(\ \ int \压裂{π+ 1}{11}x ^π\)\,dx = \压裂{π+ 1}{11}\ int x ^π\,dx。\qquad \text{(由属性1)}gydF4y2Ba$应用上面的定理，gydF4y2Ba $\压裂{π+ 1}{11}\ int x ^πdx = \压裂{π+ 1}{11}\离开(\压裂{x ^{π+ 1}}{π+ 1}\右)+ C = \压裂{x ^{π+ 1}}{11}+ C,gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是积分常数。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

通过应用积分的性质，我们的定理可以推广到所有的多项式表达式。gydF4y2Ba

根据积分的性质，给出一个多项式gydF4y2Ba $f (x) = an x ^ n +现代x ^ {n} {n} + \ cdots + a₂x ^ 2 + x +现代0 a_1,gydF4y2Ba$我们有gydF4y2Ba

$\ \ int f (x), dx = \压裂x ^ {an} {n + 1} {n + 1} + \压裂{现代{n}} {n} x ^ {n} + \ cdots + \压裂{a₂}{3}x ^ 3 + \压裂{a_1} {2} x ^ 2 + a_0 x + C,gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是积分常数。gydF4y2Ba

评估积分gydF4y2Ba $(- x^4 + x^{11}) (- x^4 + x^{11}) (- x^4 + x^{11}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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利用上述性质，我们有gydF4y2Ba ${对齐}\ int \ \开始离开(3 x ^ 4 + \πx ^ {11} \) \, dx & = \ int \离开(3 x ^ 4 \) \, dx + \ int \πx ^ {11} \, dx & \ qquad \文本{(由房地产2)}\ \ & = 3 \ int x ^ 4 \ dx + \π\ int x ^ {11} \, dx & \ qquad \{(属性1文本 )}\\ & = \ 压裂{3}{5}x ^ 5 + \压裂{\π}{12}x ^ {12} + C \{对齐}结束gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是积分常数。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

评估积分gydF4y2Ba $int \ displaystyle \ \压裂{2 x ^ {1/3} - 17 x ^ {1/3}} {\ sqrt {x}} dx。gydF4y2Ba$

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我们有gydF4y2Ba

$\开始{对齐}\ int \压裂{2 x ^ {1/3} - 17 x ^ {1/3}} {\ sqrt {x}} \, dx & = \ int \离开(\压裂{2 x ^ {1/3}} {x ^{5}} - \压裂{17 x ^ {1/3}} {x ^{5}} \右)dx \ \ & = \ int 2 x ^{钾}\,dx - 17 \ int x ^{钾}\,dx \ \ & = 2 \ int x ^ {-1/6} \, dx - 17 \ int x ^ {-5/6} \,dx \ \ & = \压裂{2}{\压裂{5}{6}}x ^{5/6} - \压裂{17}{\压裂{1}{6}}x ^ {1/6} + C \ \ & = \压裂{12}{5}x ^ {5/6} - 102 x ^ {1/6} + C \{对齐}结束gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是积分常数。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

如果gydF4y2Ba $F (x) = (3 -2) ^4gydF4y2Ba$是什么gydF4y2Ba $\displaystyle \int f(x)\， dx?gydF4y2Ba$

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请注意,gydF4y2Ba $f (x)gydF4y2Ba$是一个多项式，但不是上面总结中给出的形式。稍后我们将看到直接积分这个函数的方法，但要使用上面的基本性质，我们首先要通过二项式定理展开这个多项式。这给了gydF4y2Ba

$\{对齐}开始f (x) = (3 x - 2) ^ 4 \ \ & = x (3) ^ 4 + 4 (3 x) ^ 3(2) + \压裂{4 \ cdot 3} {2} (3 x) ^ 2(2) ^ 2 + \压裂{4 \ cdot 3 \ cdot 2} {1 \ cdot 2 \ cdot 3} (3 x) (2) ^ 3 + (2) ^ 4 \ \ & = 81 x ^ 4 - 216 x ^ 3 + x 216 x ^ 2 - 96 + 16日结束\{对齐}gydF4y2Ba$

这意味着gydF4y2Ba

$\开始{对齐}\ int f (x) \, dx & = \压裂{81}{5}x ^ 5 - \压裂{216}{4}x ^ 4 + \压裂{216}{3}x ^ 3 - \压裂{96}{2}x ^ 2 + 16 + C \ \ & = \压裂{81}{5}^ 5 - 54 x ^ 4 + 72 x ^ 3 - 48 x ^ 2 + 16 + C \{对齐}结束gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是积分常数。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$