零件一体化GydF4y2Ba

分部积分的目的是用比较容易求值的积分来代替一个比较难的积分。让我们这样做的公式是GydF4y2Ba $int u\， dv=uv- int v\，du。GydF4y2Ba$

假设我们正在努力进行整合GydF4y2Ba $\ int xe ^ dx。GydF4y2Ba$我们注意到GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$替换GydF4y2Ba不能使用，因为两者都不能GydF4y2Ba $X.GydF4y2Ba$也没有GydF4y2Ba $e ^ x.GydF4y2Ba$接近是另一个的衍生品。一种功能是两种不同功能的乘积，如GydF4y2Ba $xe x ^,GydF4y2Ba$需要一种新的技术来集成，即GydF4y2Ba零件一体化GydF4y2Ba。该规则如下：GydF4y2Ba

$\ in u \，dv = uv- \ int v \，duGydF4y2Ba$

这可能看起来很困惑，但它实际上非常简单。让我们来看看它的证据，了解它是多么容易和方便的：GydF4y2Ba

还记得GydF4y2Ba产品规则GydF4y2Ba还是区分两个功能的乘积的规则，表达GydF4y2Ba

$\大(f (x) g (x) \大)的= f (x) g (x) + f (x) g (x)。GydF4y2Ba$

零件的整合正是其反生形式。整合双方都给出GydF4y2Ba

$\{对齐}开始f (x) g f (x) & = \ int”(x) g (x) \, dx + f (x) g \ int ' (x) \, dx \ \ \ Rightarrow \ int f (x) g”(x) \, dx = f (x) g (x) - \ int f (x) g (x) \, dx。结束\{对齐}GydF4y2Ba$

让GydF4y2Ba $u = f（x）GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $v = g（x）。GydF4y2Ba$然后我们有一个更紧凑的表达式：GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} \ int f（x）g'（x）\，dx＆= f（x）g（x） - \ int f'（x）g（x）\，dx \\ \ lightarrow \ int udv＆= uv- \ int vdu。\ _ \ square \ END {对齐}GydF4y2Ba$

现在我们知道规则，让我们找到上面的例子的答案。GydF4y2Ba

什么是GydF4y2Ba $\ displaystyle {\ int xe ^ xdx}？GydF4y2Ba$

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让GydF4y2Ba $u = xGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $v'= e ^ x。GydF4y2Ba$然后我们有GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} u'＆= 1 \\ v＆= \ in e ^ xdx = e ^ x \\ \ lightarrow \ int xe ^ xdx＆= \ int u \，dv \\＆= uv- \ int v \，D.你\\ &=xe^x-\int e^x\cdot1\, dx\\ &=xe^x-e^x+C, \end{aligned}$

在哪里GydF4y2Ba $C.GydF4y2Ba$是集成的常数。GydF4y2Ba $_ \平方GydF4y2Ba$

如上面的例子所示，我们让一个因素GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$另一个GydF4y2Ba $v'GydF4y2Ba$ $（GydF4y2Ba$或GydF4y2Ba $dv）。GydF4y2Ba$然后我们的问题将是GydF4y2Ba $\ displaystyle {\ in u \，dv}，GydF4y2Ba$我们可以按零部件应用整合规则。所以，确定哪些因素是什么标准是什么？GydF4y2Ba $你？GydF4y2Ba$为什么我们不能让GydF4y2Ba $u = e ^ xGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $v'= x？GydF4y2Ba$这也有一个规则:因为GydF4y2Ba $v'GydF4y2Ba$是要积分，让吗GydF4y2Ba $v'GydF4y2Ba$更容易集成。GydF4y2Ba更容易GydF4y2Ba意味着在集成后函数更少变少。例如，一个指数函数，说GydF4y2Ba $e ^ x，GydF4y2Ba$易于集成，因为它在集成后根本不会改变。三角函数将改变为其对应物。例如，GydF4y2Ba $\ sin (x)GydF4y2Ba$将改变为GydF4y2Ba $- \ cos x。GydF4y2Ba$对数函数最难集成。以下是规则的明确演示：GydF4y2Ba

$\ begin {senugented} && \ text {logs} && \ text {polynomials} && \ text {trigs} && \ text {exponentials} \\ && u \ \ \＆&& \ cdots \ \ \ \ \ \ cdots \ \ \ \ \ && \ cdots \ \ \ \ \ text&& v'\ \ \ \ \ \ \ end {对齐}GydF4y2Ba$

进一步向右，放置更好GydF4y2Ba $v’,GydF4y2Ba$而且左边越多越好GydF4y2Ba $你。GydF4y2Ba$让我们看几个例子。GydF4y2Ba

评估GydF4y2Ba $\ displaystyle \ int xe x x dx。\GydF4y2Ba$

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$X.GydF4y2Ba$有一个非常简单的衍生物，所以让我们说GydF4y2Ba $u = xGydF4y2Ba$。然后GydF4y2Ba $dv = e ^ x dx，du = dxGydF4y2Ba$,GydF4y2Ba $v = \ displaystyle \ int dv = e ^ xGydF4y2Ba$，这意味着。GydF4y2Ba

$\ displaystyle \ int xe ^ x dx =（x）（e ^ x） - \ displaystyle \ int（e ^ x）（dx）= xe ^ x-e ^ x + c = e ^ x（x-1）+ c，GydF4y2Ba$

在哪里GydF4y2Ba $C.GydF4y2Ba$是集成的常数。您可以采取衍生品，了解它确实是我们所需的结果。GydF4y2Ba $_ \平方GydF4y2Ba$

找到不定的积分GydF4y2Ba $\displaystyle{int x\sin x\， dx.}GydF4y2Ba$

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根据上述规则，我们应该让GydF4y2Ba $u = xGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $v'= \ sin x。GydF4y2Ba$然后我们有GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} u'＆= 1 \\ v＆= - \ cos x \\ \ lightarrow \ int x \ sin x \，dx＆= int u \，dv \\＆= uv- \ int v \，du\\＆= - x \ cos x-\ int（ - \ cos x）\ cdot1 \，dx \\＆= - x \ cos x + sin x + c，\ end {aligned}GydF4y2Ba$

在哪里GydF4y2Ba $C.GydF4y2Ba$是集成的常数。GydF4y2Ba $_ \平方GydF4y2Ba$

找到不定的积分GydF4y2Ba $\ displaystyle {\ int x ^ 2 \ cos x \，dx。}GydF4y2Ba$

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根据上述规则，我们应该让GydF4y2Ba $u = x ^ 2GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $v'= cos x。GydF4y2Ba$然后我们有GydF4y2Ba

$\{对齐}开始u ' & = 2 x \ \ v = \ sin (x) \ \ \ Rightarrow \ int x ^ 2 x \ \因为,dx = u \ \ int, dv \ \ & = uv - v \ \ int, du \ \ & = x ^ 2 \ sin (x) - 2 x \ sin (x) \ \ int, dx。结束\{对齐}GydF4y2Ba$

我们知道GydF4y2Ba $\ displaystyle {\ int x \ sin x \，dx}GydF4y2Ba$是来自上面的一个示例问题(否则，我们将不得不再次使用分部积分)。因此,我们有GydF4y2Ba

$x ^ 2 \ sin x-int 2x \ sin x \，dx = x ^ 2 \ sin x + 2x \ cos x-2 \ sin x + c，GydF4y2Ba$

在哪里GydF4y2Ba $C.GydF4y2Ba$是集成的常数。GydF4y2Ba

注意，我们需要使用两次分部积分来解决这个问题。GydF4y2Ba $_ \平方GydF4y2Ba$

找到不定的积分GydF4y2Ba $\ displaystyle {\ int xe ^ {2x} dx。}GydF4y2Ba$

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根据上述规则，我们应该让GydF4y2Ba $u = xGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $x v ' = e ^{2}。GydF4y2Ba$然后我们有GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} u'＆= 1 \\ v＆= \ frac {1} {2} e ^ {2x} \\ \ lightarrow \ int xe ^ {2x} dx＆= \ int u \，dv \\＆=UV- \ int v \，du \\＆= \ frac {1} {2} xe ^ {2x} - \ int \ frac {2x} {2} e ^ {2x} \，dx \\＆= \ frac{1} {2} xe ^ {2x} - \ frac {1} {4} e ^ {2x} + c，\ end {aligned}GydF4y2Ba$

在哪里GydF4y2Ba $C.GydF4y2Ba$是集成的常数。GydF4y2Ba $_ \平方GydF4y2Ba$

找到不定的积分GydF4y2Ba $\ displaystyle {\ int \ ln x \，dx。}GydF4y2Ba$

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这个需要一个技巧。想一想GydF4y2Ba $\ ln x.GydF4y2Ba$作为GydF4y2Ba $1 \ cdot \ ln x。GydF4y2Ba$然后，根据上面的规则，我们应该让GydF4y2Ba $u = \ ln xGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $v ' = 1。GydF4y2Ba$然后我们有GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} u'＆= \ frac {1} {x} \\ v＆= x \\ \ lightarrow \ int \ ln x \，dx＆= \ int u \，dv \\＆= uv- \ int v\，du \\＆= x \ ln x-int x \ cdot \ frac {1} {x} \，dx \\＆= x \ ln x-x + c，\ neg {对齐}GydF4y2Ba$

在哪里GydF4y2Ba $C.GydF4y2Ba$是集成的常数。GydF4y2Ba

这个会经常出现，所以要记住GydF4y2Ba $\ displaystyle {\ int x \ \ ln, dx = x \ ln x + C}GydF4y2Ba$强烈推荐。GydF4y2Ba $_ \平方GydF4y2Ba$

找到不定的积分GydF4y2Ba $\ displaystyle {\ int x \ ln x \，dx。}GydF4y2Ba$

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根据上述规则，我们应该让GydF4y2Ba $u = \ ln xGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $v'= x。GydF4y2Ba$然后我们有GydF4y2Ba

$\{对齐}开始u ' & = \压裂{1}{x} \ \ v = \压裂{1}{2}x ^ 2 \ \ \ Rightarrow \ int x x \ \ ln, dx = u \ \ int, dv \ \ & = uv - v \ \ int, du \ \ & = \压裂{1}{2}x ^ 2 \ ln int x - \ \压裂{1}{2}x ^ 2 \ cdot \压裂{1}{x} \, dx \ \ & = \压裂{1}{2}x ^ 2 \ ln int x - \ \压裂{1}{2}x \, dx \ \ & = \压裂{1}{2}x ^ 2 \ ln x - \压裂{1}{4}x ^ 2 + C,结束\{对齐}GydF4y2Ba$

在哪里GydF4y2Ba $C.GydF4y2Ba$是集成的常数。GydF4y2Ba $_ \平方GydF4y2Ba$

评估GydF4y2Ba $displaystyle\int \arcsin 3x \，dx。GydF4y2Ba$

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让GydF4y2Ba $u = \ arcsin 3 xGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $dv = dx，GydF4y2Ba$然后GydF4y2Ba $du = \ frac {3 \，dx} {\ sqrt {1-（3x）^ {2}}}GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $v = x,GydF4y2Ba$这意味着给定的表达式是GydF4y2Ba

$\ displaystyle \ int \ arcsin 3x \，dx = \ displaystyle x \ arcsin 3x - \ int \ dfrac {3x} {\ sqrt {1-9x ^ {2}}} \，dx。QQuad（1）GydF4y2Ba$

让GydF4y2Ba $a = 1-9x ^ {2}GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $\frac{da}{-18x} = dx，GydF4y2Ba$然后GydF4y2Ba $（1）GydF4y2Ba$相当于GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} \ displaystyle x \ arcsin 3x + dfrac {1} {6} \ int \ dfrac {da} {\ sqrt {a}}＆= \ displaystyle x \ arcsin 3x + dfrac {1} {3} \ sqrt {a} + c \\＆= \ displaystyle x \ arcsin 3x + \ dfrac {1} {3} \ sqrt {1-9x ^ {2}}}} + c，\ \ neg {对齐}GydF4y2Ba$

在哪里GydF4y2Ba $C.GydF4y2Ba$是集成的常数。GydF4y2Ba $_ \平方GydF4y2Ba$

评估GydF4y2Ba $int e^{2x}\ sinx \，dx。GydF4y2Ba$

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让GydF4y2Ba $f（x）= \ sin xGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $g”(x) = e ^ {2 x},GydF4y2Ba$以便GydF4y2Ba $f'（x）= \ cos x，〜f''（x）= - \ sin x，〜g'（x）= \ dfrac {1} {2} e ^ {2x}，GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $g（x）= \ dfrac {1} {4} e ^ {2x}。GydF4y2Ba$然后GydF4y2Ba

$\开始{对齐}\ int e ^ {2 x} \ sin (x) \, dx & = f (x) g \ int”(x) \, dx \ \ & = f (x) g f (x) - \ int的(x) g”(x) \, dx \ \ & = f (x) g’(x) - \离开(f (x)的g (x) - \ int f (x) g (x) \, dx \) \ \ & = \ dfrac {1} {2} e ^ {2 x} \ sin (x) - \ dfrac {1} {4} e ^ {2 x} \因为x + \ int - \ dfrac {1} {4} e ^ {2 x} \ sin (x) \, dx + c。\{对齐}结束GydF4y2Ba$

让GydF4y2Ba $\ displaystyle \ text {fi}（x）= \ int e ^ {2x} \ sin x \，dx。GydF4y2Ba$然后我们看到了GydF4y2Ba

$\ {Fi}{对齐}\文本(x) & = \ dfrac {1} {2} e ^ {2 x} \ sin (x) - \ dfrac {1} {4} e ^ {2 x} \因为x - \ dfrac {1} {4} {Fi} \文本(x) + c \ \ \ dfrac {5} {4} {Fi} \文本(x) & = \ dfrac {1} {4} e ^ {2 x} (2 \ sin (x) - \ cos (x) + c \ \ \文字{Fi} (x) & = \ dfrac {e ^ {2 x}} {5} (2 \ sin (x) - \ cos (x) + c \{对齐}结束GydF4y2Ba$

在哪里GydF4y2Ba $C.GydF4y2Ba$是集成的常数。GydF4y2Ba $_ \平方GydF4y2Ba$

• $你GydF4y2Ba$替换GydF4y2Ba
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