积分逼近-梯形法则

假设 $f (x)$是在区间上定义的 $[a, b]。$梯形法则的作用是把区间分成 $N$大小相等的部分, $(x_1], (x_1、x_2) \ ldots[间{n}, b)。$(让 $= x_0, b = x_N。)$(间隔的大小不需要相等，但如果相等的话会更方便。)

对每个区间进行估计 $f(x) \， dx$由四个顶点为 $(xk, 0)、(xk, f (xk)),(间{k + 1}, f(间{k + 1}),(间{k + 1}, 0)。$这个区域 $(间{k + 1} xk) \离开(\压裂{(xk) + f(间{k + 1})} 2 \右)。$自 $间{k + 1} xk = \压裂{b} {N},$这些区域的总和是 ${对齐}\ \开始sum_ {k = 0} ^ {n}(间{k + 1} xk) \离开(\压裂{(xk) + f(间{k + 1})} 2 \右)& = \压裂{b} {2 n} \ sum_ {k = 0} ^ {n} (f (xk) + f(间{k + 1 })) \\ &= \ 左(压裂{b} {N} \ \压裂{(a) + f (b)} 2 + (x_1) + f (x_2) + \ cdots + f(间{N}) \右),结束\{对齐}$在哪里 $xk = a+k \frac{b-a}{N}。$这是对 $函数f(x)的函数值是f(x)$

让 $f (x) = x ^ 2,$ $A = 0, b = 4。$用四区间近似积分得到 $\ int_0 ^ 4 x ^ 2 \, dx \大约\压裂{f (0) + f (4)} 2 + f (1) + (2) + f(3) = 8 + 1 + 4 + 9 = 22日$哪个更接近于的实际值 $4 ^ 3/3 = 64/3。$

用 $N$间隔了 $\begin{aligned} \int_0^4 x^2 \，dx & \大约\ frac4 {N} \离开(\压裂{f (0) + f (4)} 2 + (4 / N) + f (8 / N) + \ cdots + f (4 - 4 / N) \) \ \ & \大约\ frac4 {N} \离开(8 + \压裂{16}{N ^ 2} (1 ^ 2 + 2 ^ 2 + \ cdots + (N - 1) ^ 2) \) \ \ & \大约\ frac4 {N} \离开(8 + \压裂{16}{N ^ 2} \压裂{(N - 1) N (2 N - 1)} 6 \) \ \ & \大约\压裂{16}{3 N ^ 2} \离开(6 N + 2 (N - 1) (2 N - 1) \) \ \ & \大约\压裂{64}3 + \压裂{32}{3 N ^ 2}。结束\{对齐}$所以近似的误差是精确的 $\压裂{32}{3 n ^ 2},$这自然的方法 $0$作为 $N \ \ infty;$也就是说，使用的区间越多，近似值就越好。