平均和瞬时变化率

我们到处都能看到变化。当我们向上投射一个球时，它的位置随时间而改变，它的速度随位置的改变而改变。人的高度随时间而变化。股票和期权的价格随时间而变化。商品的均衡价格随供求关系而变化。黑体辐射的能量随着其温度的变化而变化。球体的表面积随半径的变化而变化。这个清单永远不会结束。测量和研究这些变化是令人惊讶的。

这些变化取决于许多因素;例如，黑体辐射的功率取决于它的表面积和温度。我们将研究只有一个因素是变化的，而所有其他因素都是固定的情况。然后我们可以将我们的系统建模为 $y = f (x),$在哪里 $y$关于 $x$．

测量变化的一种方法是查看给定区间的端点。

如果 $y_1 = f (x_1)$和 $y_2=f（x_2）$,平均变化率 $y$关于 $x$在从 $x_1$来 $x_2$平均变化是多少 $y$单位增加 $x$．它等于

$\ dfrac{\δy}{\δx} = \ dfrac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1},$

在哪里 $\δx$和 $\δy$是在 $x$和 $y,$分别。

考虑以下图表:

作为 $x$增加了 $\δx$， $y$增加了 $\δy$.所以我们可以说，平均，表示每增加一单位 $x$， $y$增加了 $\压裂{\δy}{\δx}$，因此这是平均变化率。 $_ \广场$

一辆汽车正沿着与公路平行的直线行驶 $x$设在。在 $t = 0$几秒钟后，汽车就开动了 $x=2$米;在 $t = 6$几秒钟后，汽车就开动了 $x = 14$米。求出 $x$-车辆相对于时间的坐标。

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用这个公式，我们得到

$文本\{率}= \ dfrac{\δx}{\δt} = \ dfrac {14 - 2} {6 - 0} {m / s} = 2 \文本。\ _ \广场$

平均变化率告诉我们速率是多少 $y$在一段时间内增加。它只告诉我们平均值，没有中间的信息。我们不知道函数在区间内的表现。下面的动画说明了这一点。在所有情况下，平均变化率是相同的，但函数在每个情况下是非常不同的。

如果我们 $\δx$越小，我们得到的图像越精确 $y;$作为 $\δx$倾向于 $0$，间隔变得越来越小，直到它变成一个点，一个瞬间。那么变化率就不是一个平均值，而是瞬间的变化率。它是的瞬时变化率 $y$关于 $x$．我们称它为 $文本\压裂{\ d {} y} {x文本\ d {}}$．

数学上,

$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=\displaystyle\lim{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}，$

在哪里 $文本\压裂{\ d {} y} {x文本\ d {}}$是的瞬时变化率 $y$关于 $x$.它也被称为 $y$关于 $x$．

注1:我们可以看到 $文本\压裂{\ d {} y} {x文本\ d {}}$只有当极限存在时才会存在。例如，在动画中的绿色图表中， $文本\压裂{\ d {} y} {x文本\ d {}}$在某些有限离散点（图中的边）上不存在。不可能找出这些点的瞬时变化率。

注2:在很小的值 $\δx$，我们可以看到 $文本\压裂{\ d {} y} {x文本\ d{}} \大约\压裂{\δy}{\δx}。$

让我们来解决一些例子。

让 $Y = 2x \ln x$．

的变化率是多少 $y$关于 $x$当(我) $x = e$和(2) $y=4e^2？$

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问题在于评估 $文本\压裂{\ d {} y} {x文本\ d {}}$在给定值处 $x$和 $y$．要对表达式求导，我们必须知道乘法法则及其鉴别对数函数.我们有

$\{{{{{{{{{}}}}{{{{{}}}}}}{{{{{{}}}}}{{{{{{{}}}}}{{{{{{{{{}}}}}}}}{{{{{{{}}}}}}{{{{{{{{}}}}}}}{{{{{{{{{}}}}}}}}}}{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{d}{\text{d}x}\left（x\right）\right）\\&=2\left（\frac{x}{x}+\ln x\right）\\\&=2\left（1+\ln x\right）。\end{aligned}$

(i)我们现在计算为 $x = e$．当 $x = e$， $文本\压裂{\ d {} y} {x文本\ d {}} = 2 (1 + \ ln e) = 2 \ cdot(1 + 1) = 4。$

(2)当 $y=4e^2，$ $x = e ^ 2$和 $文本\压裂{\ d {} y} {x文本\ d {}} = 2 (1 + \ ln e ^ 2) = 2 \ cdot(1 + 2) = 6。$ $_ \广场$

红色立方体有边长 $A.$和 $一个$随着时间的变化 $A (t) = a_{\text{0}} t^2$．

求红立方体体积的瞬时变化率作为时间的函数。

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让红色方块的体积为 $V$．我们知道 $V = a^3 = (a_{\text{0}} t^2)^3。$

我们被要求找到 $文本\压裂{\ d {} V} {{d} t} \文本$．我们可以用以下两种方法来解决这个问题:

解决方案1:我们首先找到 $V$然后 $文本\压裂{\ d {} V} {{d} t} \文本$．

我们知道

$\begin{aligned}V&=a^3\\&=（a{text{0}t^2）^3\\&=a{text{0}^3\cdot t^6\\\\\\dfrac{text{d}V}{\text{d}t}&=6a{text{text{0}^3\cdot t^5，{end}aligned}$

我们完成了!

解决方案2:首先,我们发现 $\压裂{\文本{d}}{文本\ d {} t}$然后 $文本\压裂{\ d {} V} {{d} t} \文本$．

使用幂律， ${text{d}a}{text{d}t} = 2 a_{\text{0}} t。$

用链式法则求导 $V = ^ 3$,我们有

$\dfrac{\text{d}V}{\text{d}t}=3a^2\cdot\dfrac{\text{d}a}{\text{d}t}。$

的值替换后 $3 ^ 2$和 $\压裂{\文本{d}}{文本\ d {} t}$，则得到与上相同的结果:

$文本\ dfrac {\ d {} V}{文本\ d {} t} = 3现代文本{0}}{\ ^ 2 \ cdot t ^ 4 \ cdot 2现代文本{0}}{\ t = 6现代文本{0}}{\ ^ 3 \ cdot t ^ 5。\ _ \广场$

在一个空心的反向蓝色圆锥体(顶点向下)的半径 $r$和高度 $h$在美国，水以恒定的速率被倒进 $l$．

求圆锥中水高度在某一时刻的瞬时变化率 $t$(假设蛋筒还没有完全填满)。

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需要添加的解决方案…