三角形内圆

如果三角形的三条边都与圆相切，则圆内接在三角形中。在这种情况下，圆被称为内接圆，其中心称为内中心或中心.

伊姆古尔

由于三角形的三条边都与内接圆相切，因此从圆心到三条边的距离都等于圆的半径。因此，在上图中，

$\lvert\overline{OD}\rvert=\lvert\overline{OE}\rvert=\lvert\overline{OF}\rvert=r，$

哪里 $R$表示内接圆的半径。

还有，因为三角形 $\三角形AOD$和 $\三角形AOE$共有 $\上划线{AO}$作为一方,， $\角度ADO=\angle AEO=90^\circ，$和 $\lvert\overline{OD}\rvert=\lvert\overline{OE}\rvert=r，$它们是RHS一致的。因此 $\角度OAD=\角度OAE。$用同样的方法，我们也可以推断 $\角度OBD=\角度OBF，$和 $\角度OCE=\angle OCF。$

外切三角形的另一个重要性质是，我们可以考虑外切三角形的面积 $\三角形ABC$作为三角形面积的总和 $\三角形AOB，$ $\三角银行，$和 $\三角形COA。$因为这三个三角形各有一条边 $\三角形ABC$作为基础，以及 $R$随着高度的增加 $\三角形ABC$可以表示为

$（\text{三角形ABC的面积）=\frac{1}{2}\times r\times（\text{三角形的周长}）。$

总之，外切三角形的三个基本性质如下：

• 从中心到每个顶点的线段将每个角度平分。
• 从中心到每一侧的距离等于内切圆的半径。
• 三角形的面积等于 $\frac{1}{2}\times r\times（\text{三角形的周长}），$哪里 $R$是内接圆的半径。

在上图中，圈出 $O$半径为3的 $\三角形ABC。$如果 $\三角形ABC$是30，面积是多少 $\三角ABC？$

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外切三角形的面积由公式给出

$\frac{1}{2}\times r\times（\text{三角形的周长}），$

哪里 $R$是内接圆的半径。因此答案是

$\分形{1}{2}\乘以3 \乘以30=45_\广场$

在上图中，圈出 $O$刻在 $\三角ABC，$接触点在哪里 $D、 E$和 $F$如果 $\lvert\overline{AD}\rvert=2、\lvert\overline{CF}\rvert=4$和 $\lvert\overline{BE}\rvert=3，$它的周长是多少 $\三角ABC？$

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因为圆圈是内接的 $\三角ABC，$我们有

$\lvert\overline{AD}\rvert=\lvert\overline{AF}\rvert\quad\lvert\overline{BD}\rvert=\lvert\overline{BE}\rvert\quad\lvert\overline{CE}\rvert=\lvert\overline{CF}\rvert。$

因此 $\三角形ABC$是

$\开始{aligned}\left（\lvert\overline{AD}\rvert+\lvert\overline{AF}\rvert\right）+\left（\lvert\overline{BD}\rvert+\lvert\overline{BE}\rvert\right）+\left（\lvert\overline{CE}\rvert+\lvert\overline{CF}\rvert\right）&=2倍2倍4倍2倍3倍\\=18.\_\方形\结束{对齐}$