∞

∞是概念一个比任何数字都大的物体。当用于“…”我nf我n我tely small," it can also describe an object that is小于任何数量。重要的是要特别注意无限是不一个号码;相反，它只是作为一个抽象的概念而存在。试图把无穷大当作一个数字，不加特别注意，可能会导致一些悖论．

无限是不一个号码!

无限常被用来描述基数的集或其他对象(如列表或序列对于术语)，它没有有限数量的元素。必须小心避免混淆，因为非直观的结果经常出现:例如，整数集和偶数集具有相同的大小，尽管其中一个包含在另一个中。

无穷大也被用来描述一些函数的极限行为，其中一个函数“接近无穷大”意味着它没有界限地增长。例如, $F (x) = x^2$趋于无穷时 $x$长得很大，但是 $f (x) = \压裂{2 x + 1} {x + 1}$不趋近于无穷 $x$变大(而不是接近2，如理论中的限制）.

无限由符号表示 $\ infty$．

无限的概念在很多情况下都非常重要，最明显的是微积分而且集理论．它在几何(通过分析无限接近点)和不平等(通过分析无限小变化的影响)，以及可以分析无限小变化影响的许多其他领域。

尽管无穷会导致许多违反直觉的结果，但这个概念本身是相对简单的:

无限不是一个数字，但如果它是，它将是最大的数字。

当然，这样一个最大的数字在严格意义上是不存在的:如果某个数字 $n$是最大的数字吗 $n + 1$会更大，导致矛盾。因此无穷大是a概念而不是数量．换句话说，无穷是指没有最大的数字。无穷大被用来描述无穷无尽的量。

常见的无穷大可视化包括

• 线的长度(或长度)雷)延伸到永远;
• 一个人沿圆周不断运动所花费的时间;
• 数字的位数无理数，最引人注目的 $\π$；
• 在任何边界内的点数，通常是圆靶。

“无限”这个词有时也是滥用指一个异常大的数字，在实际应用中可以认为是无穷大。例如，可能的数量国际象棋位置通常被认为是无限的，尽管这在严格意义上不是正确的 $\大($事实上，大致有 $10 ^ {120}$这类职位 $\大)。$类似地,宇宙通常被认为是无限的，但实际上这是一个悬而未决的问题。

因为无穷大不是一个数字，它需要特殊的算术规则来保持一致。这是一个有用的视图，用于测度理论，扩展了实数通过两个数字相加 $\ infty$而且 $- - - - - - \ infty$，满足一些附加规则:

$\开始{对齐}+ \ infty & = \ infty + \ \ & = \ infty & &(\文本{任何}\文本{除了}- \ infty) \ \ \ \ \ infty & = - \ infty + \ \ & = - \ infty & &(\文本为任何}{{除了}\ \文本infty) \ \ \ \ \ cdot \ infty & = \ infty \ cdot \ \ & = \ infty & &(\文本{积极})\ \ \ \ \ cdot \ infty & = \ infty \ cdot \ \ & = - \ infty & &(\文本{负})\ \ \ \ \压裂{一}{\ infty} & = \压裂{一}{- \ infty} \ \ & = 0 & &(\文本{真的})\ \ \ \ \压裂{\ infty}{一}& = \ infty & &(\文本{积极})\ \ \ \ \压裂{\ infty}{一}& =- - - - - - \ infty。&&(\text{for negative} a) \end{aligned}$

值得注意的是 $\压裂{1}{0}$是不 $\ infty$．此外，涉及多个无穷大的运算 $（$如 $\infty - \infty$而且 $\压裂{\ infty} {\ infty})$是没有一般的定义．

重要的是，注意这是一个扩展为了使无穷被当作一个数而特意选择的实数;如果没有这个背景，无穷大仍然是概念而不是一个数字。例如，以下部分继续将无穷大视为一个概念而不是一个数字，因为上面的测量理论背景不再适用。

最常见的是，术语“无穷大”是用来指一个任意大的数字;也就是一个无限增长的数。因此,算术包含无穷可以执行，按照约定 $\ infty$表示一个必要大的数字。例如，尽管 $\infty \乘以\infty$是无意义的符号集合，它可以理解为 $N \乘N$对于一个很大的数 $n$．在形式上，这样的表达式被写成

$\lim_{n \rightarrow \infty} n^2，$

读作“the ?限制作为 $n$去 $\ infty$的 $n ^ 2$"这个数本身比其他数都大，所以可以写成 $\lim_{n \rightarrow \infty} n^2 = \infty$．限制也可以产生有限的结果;例如, $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0$．

这个概念在比较表达式有多“快”时很有用趋于无穷，或者(非正式地说)变得更大。例如，尽管 $2 * infty$而且 $\ infty$代表本质上相同的概念(这两个“数字”都比其他任何“数字”都大)，前者似乎在某种意义上应该更大，而且(在正确的解释下)确实如此。更正式,

$\lim_{n \rightarrow \infty}(2 \cdot n) = \infty， \quad \lim_{n \rightarrow \infty}(n) = \infty$

但

$\frac{\lim_{n \rightarrow \infty}(2 \cdot n)}{\lim_{n \rightarrow \infty}(n)} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2 \cdot n}{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} 2 = 2，$

所以前一个表达是"twice"(两次)。

注意，这也说明了考虑的一个陷阱 $\ infty$作为一个数字:上面的例子表明 $\压裂{\ infty} {\ infty}$可以是2，尽管它看起来应该是1。还有其他几个这样的算术函数会导致看似不合逻辑的结果，即所谓的不定式：

$\开始{数组}{c} & \压裂{0}{0},& \压裂{\ infty} {\ infty},四维\ cdot \ infty,四维^ 0 & \ infty ^ 0 & 1 ^ {\ infty}, & \ infty - \ infty \{数组}结束$

对于适当选择的函数，它们都可以取任何值(对于 $\压裂{\ infty} {\ infty}$如上所示)。

这些考虑，其中函数在无穷处求值，形成了微积分．

的基数的集是它所包含元素的数量。例如，集合 $\{1, 2, 3, 4、5、6 \}$， $\{\pi， \pi^2, e, e^2, i， -1\}$, $颜色\ {\ {# D61F06}{红}}{\文本,颜色\ {# EC7300}{\文本{橙色}},{# CEBB00} \颜色{黄色}}{\文本,颜色\ {# 20 a900}{绿}}{\文本,颜色\ {# 3 d99f6}{蓝}}{\文本,颜色\ {# 69047 e}{\文本{紫色}}\}$它们都有基数6。显示这一点的一种方法是简单地计算每个集合中的元素，但这对于更大的集合可能很难(对于无限个集合则不可能)。一般来说，集合的基数可以通过使用一对一的对应关系(也称为双射)，这本质上意味着配对两个集合的元素:

这表明这组颜色的基数是6。这种方法很有用，例如，可以快速找到集合的基数 $\{10,20,30,40,50,60 \}$．

具有无限个元素的集合具有无限个基数。例如，正整数的集合

$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10， \ldots\}$

具有无限的基数。类似地，的集合有理数的集合也有无限的基数实数偶数的集合，等等。

直观地说，自然数的集合似乎比偶数自然数的集合有更多的元素，因为前者包含后者:

$\ {2, 4, 6, 8, \ ldots \} \子集\ {1,2,3,4,5,6,7,8,\ ldots \},$

但实际上这两个集合都有相同基数。这可以从上面的一对一对应方法中看到(因为计算每个集合中的元素数量是不可能的):

事实上，它也可以显示这个集合有理数和自然数的集合有相同的基数，但是实数有更大的基数大于自然数的集合。

这意味着一个相当违反直觉的结果:

有几种不同的类型无穷大的。

这一点在集理论以及数学的形式化，比如连续统假设．

虽然无限的概念看起来很简单，但它的含义可能会导致高度违反直觉的结果。其中最著名的是芝诺悖论，其中主要有三种:

1.阿喀琉斯和乌龟

阿基里斯(一个非常快的战士)和乌龟在比赛。因为阿喀琉斯比乌龟快得多，他让乌龟领先了100米。过了一段时间，阿基里斯跑了100米，而乌龟只跑了10米。但是在阿喀琉斯跑完下一个10米之后，乌龟又跑完了1米。当阿喀琉斯到达那个点时，乌龟会再次向前移动，每次阿喀琉斯到达乌龟之前的位置都会发生这种情况。因此阿喀琉斯永远也追不上乌龟。

2.二分法悖论

假设阿基里斯跑向一个固定的点(例如终点线)。首先，他必须走到终点的一半距离。然后他会走剩下距离的一半，再走剩下距离的一半，以此类推。但是他必须完成无数的步骤才能到达终点线，所以阿喀琉斯永远不会到达最终的目的地。

3.阿罗悖论

想象一支飞行中的箭。在任何时候，箭头都处于某个固定的位置，它不能移动:

• 到另一个点，因为没有时间让它移动，
• 因为它已经在那里了，

因此，在任何时候都不会发生任何运动，箭头根本无法完成任何运动。

所有这三个结论显然都是荒谬的(因为运动每天都有规律地发生)，但芝诺推理中的缺陷并没有立即显现出来。事实上，解决这些矛盾需要一个更加健全的框架命题逻辑而且微积分尤其是正式场合 $\ε- \三角洲$的定义限制．

涉及无限的其他悖论包括罗素悖论而且伽利略的悖论，其中指出

有相同数量的广场因为有数字，虽然大多数数字不是平方。

这(在现代语言中)是关于基数从前一节。

• 集理论
• 微积分概述
• 限制
• 无限的钱