下确界/上确界
已经有账户了吗?<一个href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/infimium/" class="ax-click" data-ax-id="clicked_signup_modal_login" data-ax-type="link">日志在这里。一个>
有关……
- 微积分年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="chevron">>年代p一个n>
的<年代trong>下确界年代trong>而且<年代trong>上确界年代trong>概念在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/mathematical-analysis/" class="wiki_link" title="数学分析gydF4y2Ba" target="_blank">数学分析一个>概括了的概念<年代trong>最低年代trong>而且<年代trong>最大年代trong>有限集。它们被广泛地应用于实分析中,包括实数的公理化构造和的形式定义<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/riemann-integral/" class="wiki_link" title="黎曼积分gydF4y2Ba" target="_blank">黎曼积分一个>.利用实数数列部分的极值和极值的极限,研究了实数数列部分的极限<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/convergence-tests/" class="wiki_link" title="收敛性测试gydF4y2Ba" target="_blank">收敛性测试一个>特别是,在收敛域的计算中<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/power-series/" class="wiki_link" title="幂级数gydF4y2Ba" target="_blank">幂级数一个>.
定义
极限值和极限值可以在一般语境下定义。<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/partially-ordered-set/" class="wiki_link" title="半序集gydF4y2Ba" target="_blank">半序集一个>),但它们最常用于子集和函数的上下文中<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/real-numbers/" class="wiki_link" title="实数gydF4y2Ba" target="_blank">实数一个>.
让<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n>年代p一个n>成为实数的子集<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> R年代p一个n>年代p一个n>.然后<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 正年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n>年代p一个n>是<年代trong>下确界年代trong>的元素<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n>年代p一个n>,如果它存在;也就是说,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 正年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n>年代p一个n>最大的是实数吗<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> t年代p一个n>年代p一个n>这样<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> t年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">年代年代p一个n>年代p一个n>对所有<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">年代年代p一个n>年代p一个n>.同样的,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 吃晚饭年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n>年代p一个n>是<年代trong>最小上界年代trong>的元素<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n>年代p一个n>,如果它存在;也就是说,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 吃晚饭年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n>年代p一个n>最小的是实数吗<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n>年代p一个n>这样<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">r年代p一个n>年代p一个n>对所有<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">年代年代p一个n>年代p一个n>.
<!-- end-definition -->备注:年代trong>
(1)如果<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n>年代p一个n>是有限的,那么<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 正年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 吃晚饭年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n>年代p一个n>的最小和最大元素<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>分别。
(2)注意<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 正年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 吃晚饭年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n>年代p一个n>不能躺在<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n>年代p一个n>一般来说。例如,如果<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>,然后<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 正年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 吃晚饭年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
(3)极大和至上如果存在就是唯一的。
(4)如果<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n>年代p一个n>没有下界,写得合理吗<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 正年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">∞年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>如果<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n>年代p一个n>没有上限,写得合理吗<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 吃晚饭年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∞年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
(5)极值与极值是通过联系起来的<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 正年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord text">吃晚饭年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.05764em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> −年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.05764em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">{年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace nobreak">:年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">}年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>这对于证明通常是很方便的。
属性
下面的性质是一组实数的极值和极值的一个有用的描述。
让<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
年代年代p一个n>年代p一个n>是一组实数。
gydF4y2Ba假设<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
x年代p一个n>年代p一个n>的下限是<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>然后<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">正年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n>年代p一个n>当且仅当,为每一个<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
ϵ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>,有一个<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">年代年代p一个n>年代p一个n>这样<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">ϵ年代p一个n>年代p一个n>.
gydF4y2Ba假设<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
y年代p一个n>年代p一个n>的上限是多少<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>然后<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
y年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">吃晚饭年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n>年代p一个n>当且仅当,为每一个<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
ϵ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>,有一个<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">年代年代p一个n>年代p一个n>这样<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">y年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">ϵ年代p一个n>年代p一个n>.
这两个表述的证明或多或少是相同的<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> (年代p一个n>年代p一个n>并可通过上述注释(5)正式相互翻译<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> )年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>这是第一个表述的证明。如果<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">正年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>然后<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">ϵ年代p一个n>年代p一个n>不能是的下界<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n>年代p一个n>,所以一定有一个元素<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n>年代p一个n>这比它更大。另一方面,如果<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n>年代p一个n>如果下界不是极值,那么下界就更大了<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">”年代p一个n>年代p一个n>为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n>年代p一个n>.让<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ϵ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">”年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">x年代p一个n>年代p一个n>;那么就没有了<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">年代年代p一个n>年代p一个n>这样<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">ϵ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">”年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">□年代p一个n>年代p一个n>
极值和极值的概念可以推广到实数上的函数:
如果<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>一个实值函数是否定义在一个子集上<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> D年代p一个n>年代p一个n>的实数,定义
<年代p一个ncl一个年代s="katex-display">
正年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.10764em;">f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>吃晚饭年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.10764em;">f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">正年代p一个n>年代p一个n>{年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.10764em;">f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace nobreak">:年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">D年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">}年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">吃晚饭年代p一个n>年代p一个n>{年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.10764em;">f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace nobreak">:年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">D年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">}年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
然后<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
正年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.10764em;">f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">g年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≥年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">正年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.10764em;">f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">正年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">g年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
吃晚饭年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.10764em;">f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">g年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">吃晚饭年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.10764em;">f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">吃晚饭年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">g年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
(证明留作练习。)
实数的完备性
构建<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/real-numbers/" class="wiki_link" title="实数gydF4y2Ba" target="_blank">实数一个>从零开始是导论分析中的一个标准主题。一种方法是从<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/integers/" class="wiki_link" title="整数gydF4y2Ba" target="_blank">整数一个>,然后创建<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/rational-numbers/" class="wiki_link" title="有理数gydF4y2Ba" target="_blank">有理数一个>,然后传递到实数,把它们看作是某种有理数序列的极限。这个过程叫做
实数满足的基本性质称为
每个具有上界的实数的非空子集都有一个上界。
如果用这个符号<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 吃晚饭年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∞年代p一个n>年代p一个n>对于上面注释(4)中没有上界的集合,这可以重新表述为“每个实数的非空子集都有一个上界(可能是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ∞年代p一个n>年代p一个n>)。”
gydF4y2Ba注意,这个性质对于有理数是不成立的:所有小于的有理数的集合<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 2年代p一个n>年代p一个n> 有一个理性的上界(例如2),但没有最不理性的上界<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> (年代p一个n>年代p一个n>有小于的有理数<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 2年代p一个n>年代p一个n> +年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">ϵ年代p一个n>年代p一个n>对于任何<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ϵ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">)年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
最小上界性质暗示了许多用于分析的实数的基本事实。
的<年代trong>介值定理年代trong>州,如果<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> f年代p一个n>年代p一个n>连续函数是开着的吗<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> [年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> y年代p一个n>年代p一个n>是介于<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>还有一些<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">[年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>这样<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">y年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
为了证明这个定理是由最小上界性质推导出来的,在不失一般性的前提下假设<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>并考虑<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> 年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">{年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">[年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">]年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace nobreak">:年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.04398em;">z年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">y年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord text">对所有年代p一个n>年代p一个n>z年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">[年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">]年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">}年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>然后<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n>年代p一个n>非空的,因为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>它有一个上界<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> (年代p一个n>年代p一个n>即<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>所以存在一个最小上界。称之为最小上界<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
假设<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">y年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>然后让<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ϵ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">y年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>通过连续性,有一个<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> δ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>这样<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ∣年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">∣年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">δ年代p一个n>年代p一个n>意味着<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ∣年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.10764em;">f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">∣年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">ϵ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>但<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ∣年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.10764em;">f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">∣年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">ϵ年代p一个n>年代p一个n>意味着<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">y年代p一个n>年代p一个n>对所有<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n>年代p一个n>在这个范围内,所以没有<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n>年代p一个n>在那个范围内<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>所以<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">δ年代p一个n>年代p一个n>的上限是多少<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n>年代p一个n>以及,这是一个矛盾的“最小”<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
假设<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">y年代p一个n>年代p一个n>.然后让<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ϵ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">y年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>通过连续性,有一个<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> δ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>这样<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ∣年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">∣年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">δ年代p一个n>年代p一个n>意味着<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ∣年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.10764em;">f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">∣年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">ϵ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>但<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ∣年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.10764em;">f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">∣年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">ϵ年代p一个n>年代p一个n>意味着<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">y年代p一个n>年代p一个n>对所有<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n>年代p一个n>在这个范围内,所以每<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n>年代p一个n>在那个范围内<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>所以,例如,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n>年代p一个n>δ年代p一个n>年代p一个n>是在<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n>年代p一个n>,这是一个矛盾,因为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> c年代p一个n>年代p一个n>是一个上限。
gydF4y2Ba结论是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">y年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>根据需要。
<!-- end-example -->Lim inf和Lim sup
让<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是一个实数序列。对于任何<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>让<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">{年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>:年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≥年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">}年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>然后
<年代p一个ncl一个年代s="katex-display"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm" style="margin-right:0.07778em;">f年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">u年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">p年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord text">正年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord text">吃晚饭年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
让<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>的序列<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">3.年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">4年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">5年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">...年代p一个n>年代p一个n>.然后<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 正年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">ℓ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ℓ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">⌈年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>k年代p一个n>年代p一个n>⌉年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 吃晚饭年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight">米年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">⌊年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>⌋年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>这两个表达式的极限为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">→年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∞年代p一个n>年代p一个n>是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>这也是这个数列的极限。所以
<年代p一个ncl一个年代s="katex-display"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm" style="margin-right:0.07778em;">f年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">u年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">p年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
请注意,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 正年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">3.年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 吃晚饭年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
让<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>的序列
<年代p一个ncl一个年代s="katex-display"> 2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">3.年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">4年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">5年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">6年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">...年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">.年代p一个n>年代p一个n>
的价值是什么
<年代p一个ncl一个年代s="katex-display"> 在<年代p一个n年代tyle="margin-right:0.07778em;">f年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm" style="margin-right:0.07778em;">f年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">u年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">p年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">吃晚饭年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>?年代p一个n>年代p一个n>
符号:年代trong>的选择,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> DNE年代p一个n>年代p一个n>意思是“不存在”。
属性:年代trong>
(1)与数列的极限不同的是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm" style="margin-right:0.07778em;">f年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">u年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">p年代p一个n>年代p一个n>永远存在,只要我们允许<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> −年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">∞年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> +年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">∞年代p一个n>年代p一个n>可能的值。这是因为顺序<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> t年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">正年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>是非递减序列吗<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> (年代p一个n>年代p一个n>同样的<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 吃晚饭年代p一个n>年代p一个n>序列是无添加<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> )年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>所以它的极限要么存在,要么等于<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ±年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">∞年代p一个n>年代p一个n>.
(2)限制<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>存在当且仅当<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm" style="margin-right:0.07778em;">f年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">u年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">p年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>;年代p一个n>年代p一个n>如果极限存在,那么三个值都相等。
(3.)如果<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">u年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">p年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>那么它就是最小的实数<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n>年代p一个n>这样,对于任何<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ϵ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>序列中只有有限的元素是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> >年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">ϵ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>注意,可能不是只有有限的序列元素是这样的<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> >年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n> (年代p一个n>年代p一个n>例如,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">u年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">p年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">)年代p一个n>年代p一个n>所以"每一个数大于<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">u年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">p年代p一个n>年代p一个n>是一个最终的上限。”类似地,每一个小于的数<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm" style="margin-right:0.07778em;">f年代p一个n>年代p一个n>是最终的下界。
让<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> p年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">th年代p一个n>年代p一个n>质数一个>.然后
<年代p一个ncl一个年代s="katex-display"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">u年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">p年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">p年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">p年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∞年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
证明:年代trong> k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">!年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">!年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">...年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">!年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">k年代p一个n>年代p一个n>都是合成的吗<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≥年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>所以对于任何<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>有无限多个值<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n>年代p一个n>这样<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> p年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">p年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>≥年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n>年代p一个n>.<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> (年代p一个n>年代p一个n>取<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> p年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>小于的最大质数<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">!年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n>年代p一个n>,在那里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≥年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">k年代p一个n>年代p一个n>;那么下一个质数至少是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n>年代p一个n>整数。<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> )年代p一个n>年代p一个n>所以<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n>年代p一个n>不能是一个最终的上界,所以它不大于<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">u年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">p年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>因为这对所有人都是正确的<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> k年代p一个n>年代p一个n>,结果如下。
gydF4y2Ba另一方面,
<年代p一个ncl一个年代s="katex-display"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm" style="margin-right:0.07778em;">f年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">p年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">p年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>
目前还不清楚。的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/twin-primes/" class="wiki_link" title="孪生质数gydF4y2Ba" target="_blank">孪生质数一个>猜想与它等于的表述是等价的<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>但目前所知的只是,它至多是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>(直到2013年,人们甚至不知道它是有限的!)
<!-- end-example -->幂级数的应用
让<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">0年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>z年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是一个幂级数<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-numbers/" class="wiki_link" title="复杂的gydF4y2Ba" target="_blank">复杂的一个>系数。让
<年代p一个ncl一个年代s="katex-display"> R年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">u年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">p年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight">n年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
(年代p一个n>年代p一个n>如果分母是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>让<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> R年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∞年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>如果分母是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ∞年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>让<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> R年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>那么级数收敛于<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ∣年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.04398em;">z年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">∣年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">R年代p一个n>年代p一个n>和发散<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ∣年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.04398em;">z年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">∣年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">R年代p一个n>年代p一个n>.<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> (年代p一个n>年代p一个n>如果<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> R年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∞年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>级数总是收敛的。<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> )年代p一个n>年代p一个n>
在这种背景下,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> R年代p一个n>年代p一个n>称为级数的“收敛半径”。
该系列
<年代p一个ncl一个年代s="katex-display"> z年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">z年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">z年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">4年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">z年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">8年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">z年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">6年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋯年代p一个n>年代p一个n>
具有收敛半径<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>因为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">u年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">p年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight">n年代p一个n>年代p一个n>=
<年代p一个ncl一个年代s="katex-display"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">u年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathrm">p年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">...年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
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