反常积分
一个反常积分是一种<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/definite-integrals/" class="wiki_link" title="定积分" target="_blank">定积分一个>其中被积函数在一个或两个端点上无定义。严格地说,它是定积分在区间接近其期望大小时的极限。
反常积分可以通过求被积函数的不定积分的极限来求得。然而,这个值只有在反常积分首先收敛时才有意义。
反常积分在研究概率分布、渐近行为和一般微积分中经常出现。为了正确地计算它们,重要的是准确地理解这些积分的含义。
定义
反常积分的一种类型是其中一个端点(接近)无穷。例如,
另一种反常积分是两个端点都(接近)无穷大的积分。例如,
是用积分吗<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/normal-distribution/" class="wiki_link" title="高斯分布" target="_blank">高斯分布一个>.
第三种反常积分是渐近线出现在一个(或两个)端点上的积分。例如,
第四类反常积分是一种没有正确定义的积分:被积函数在积分区间内的所有值上都没有定义。例如,
是未定义的,因为函数 在整个积分区间都没有定义,即使它的不定积分 在整个积分区间内定义。这个概念被称为柯西主值允许对积分的重新解释
为了给它赋一个值来确定它的值,只要每个积分是收敛的。一般来说,柯西主值将反常积分的积分区间分割成闭区间,在闭区间内定义被积函数。
收敛
如果被积函数定义在积分区间内的所有点(与上述第四种可能性相反)和其中一个端点上,反常积分就可以得到明确的解释。对于这样的反常积分,其值可以存在且是有限的,发散为 ,或发散到没有特定值。
例如, 发散到没有特定值,因为余弦函数是振荡的。
注意,像这样的反常积分是不可能明确定义的 其中被积函数在两端均无定义。在这种情况下,柯西主值是 ,但表达式本身是未定义的。
反常积分在其极限存在(且是有限的)时收敛。这可以通过考虑被积函数的不定积分的极限行为来决定,但没有必要考虑不定积分。证明存在是可能的,将积分作为一个几何表述,所讨论的面积是有界的,并且极限行为是单调的(严格递增或严格递减)。
确定是否反常积分
的存在。
所讨论的函数定义为所有实数。观察这个不定积分 是有限的:
因此不定积分的极限存在,从而使得反常积分存在。
另一方面,被积函数对所有实数都是正的,所以极限行为是严格递增的。此外,比较左黎曼和得到不等式
由于极限是有界的,并且是递增的,所以它必然存在,反常积分也必然存在。