隐分化GyD.F4.y2Ba

隐分化GyD.F4.y2Ba是采取的方法GyD.F4.y2Ba衍生品GyD.F4.y2Ba使用该GyD.F4.y2Ba连锁规则GyD.F4.y2Ba为了避免对变量的一个明确的解决。例如，如果GyD.F4.y2Ba $Y + 3×= 8，GyD.F4.y2Ba$我们可以直接采取衍生物的每个术语的相对于GyD.F4.y2Ba $XGyD.F4.y2Ba$获得GyD.F4.y2Ba $\压裂{DY} {DX} + 3 = 0，GyD.F4.y2Ba$所以GyD.F4.y2Ba $\压裂{DY} {DX} = -3。GyD.F4.y2Ba$

隐函数微分是它难以尤其有用GyD.F4.y2Ba隔离GyD.F4.y2Ba在给定的关系的变量之一。例如，如果GyD.F4.y2Ba $Y = X ^ 2 + Y ^ 2，GyD.F4.y2Ba$求解GyD.F4.y2Ba $yGyD.F4.y2Ba$然后取衍生物将是痛苦的。取而代之的是，使用隐式分化直接采取衍生物相对于GyD.F4.y2Ba $XGyD.F4.y2Ba$给GyD.F4.y2Ba

$\压裂{DY} {DX} = 2X + 2Y \压裂{DY} {DX}，GyD.F4.y2Ba$

所以GyD.F4.y2Ba $\压裂{DY} {DX} = \压裂{2×} {1-2y}。GyD.F4.y2Ba$这可能是在像场特别有用GyD.F4.y2Ba物理GyD.F4.y2Ba其中变量之间的关系往往是已知的，但一个不错的封闭形式，无法达到。GyD.F4.y2Ba

给予GyD.F4.y2Ba $X ^ 2 + X + Y ^ 2 = 15GyD.F4.y2Ba$， 什么是GyD.F4.y2Ba $\压裂{DY} {DX}GyD.F4.y2Ba$在点GyD.F4.y2Ba $（2，3）？GyD.F4.y2Ba$

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自从GyD.F4.y2Ba $X ^ 2 + X + Y ^ 2 = 15GyD.F4.y2Ba$，差异化，我们有GyD.F4.y2Ba

$\ BEGIN {对齐} 2×+ 1 + 2Y \左（\压裂{DY} {DX} \右）= 0 \\ \压裂{DY} {DX}＆= - \压裂{2X + 1} {2Y}。\结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

因此GyD.F4.y2Ba $\压裂{DY} {DX}GyD.F4.y2Ba$在点GyD.F4.y2Ba $（2，3）GyD.F4.y2Ba$是GyD.F4.y2Ba $- \压裂{2（2）+1} {2（3）} = - \压裂{5} {6}GyD.F4.y2Ba$。GyD.F4.y2Ba $_\正方形GyD.F4.y2Ba$

或者，我们可以用事实，如果GyD.F4.y2Ba $R（X，Y）= 0GyD.F4.y2Ba$， 然后GyD.F4.y2Ba $\压裂{DY} {DX} = - \压裂{\ HSPACE {3毫米} \压裂{\局部R} {\部分X} \ HSPACE {3毫米}} {\压裂{\局部R} {\部分Y}}。GyD.F4.y2Ba$重写功能，GyD.F4.y2Ba

$X ^ 2 + X + Y ^ 2 - 15 = 0。GyD.F4.y2Ba$

应用上面给出的方法，GyD.F4.y2Ba

$\ BEGIN {对齐} \压裂{DY} {DX}＆= - \压裂{\压裂{\局部} {\部分X}（X ^ 2 + X + Y ^ 2 - 15）} {\压裂{\局部} {\部分Y}（X ^ 2 + X + Y ^ 2 - 15）} \\\\＆= - \ dfrac {2×1} {2Y}。\结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

因此GyD.F4.y2Ba $\压裂{DY} {DX}GyD.F4.y2Ba$在点GyD.F4.y2Ba $（2，3）GyD.F4.y2Ba$是GyD.F4.y2Ba $- \压裂{2（2）+1} {2（3）} = - \压裂{5} {6}GyD.F4.y2Ba$。GyD.F4.y2Ba $_\正方形GyD.F4.y2Ba$

隐分化GyD.F4.y2Ba是可用于未在的形式给出分化方程的技术GyD.F4.y2Ba $Y = F（X）。GyD.F4.y2Ba$例如，分化GyD.F4.y2Ba $的x ^ 2 + Y ^ 2 = 1GyD.F4.y2Ba$看起来很硬朗使用到目前为止，我们已经学到的分化技术做（这是GyD.F4.y2Ba明确分化GyD.F4.y2Ba技术），因为它不是在的形式给出GyD.F4.y2Ba $Y = F（X）。GyD.F4.y2Ba$注意，术语GyD.F4.y2Ba方程式GyD.F4.y2Ba在第一个句子中使用。事实上，隐式分化可用于不匹配的标准是一个函数分化方程。GyD.F4.y2Ba

主要关键隐含分化牢记相对于哪个变量我们正在分化。下面是它是如何做一个简单的解释：GyD.F4.y2Ba

当相对于隐式差分方程GyD.F4.y2Ba $X，GyD.F4.y2Ba$我们应该GyD.F4.y2Ba

（1）GyD.F4.y2Ba添加GyD.F4.y2Ba $\压裂{d} {DX}GyD.F4.y2Ba$所有条款的;GyD.F4.y2Ba
（2）GyD.F4.y2Ba应用迭代链规则未在来表示任何条款GyD.F4.y2Ba $X。GyD.F4.y2Ba$

第一个步骤是一个等式的两边相对于分化的过程中GyD.F4.y2Ba $X。GyD.F4.y2Ba$第二步给出了解决方案而言不是由描述GyD.F4.y2Ba $X。GyD.F4.y2Ba$记住这一点GyD.F4.y2Ba迭代链式法则GyD.F4.y2Ba还是这里是一个快速的提醒：GyD.F4.y2Ba

$\压裂{DZ} {DX} = \压裂{DZ} {DY} \ CDOT \压裂{DY} {DX}。GyD.F4.y2Ba$

隐分化可以为了方便区分有理函数中使用。虽然最合理的功能在的形式给出GyD.F4.y2Ba $Y = F（X），GyD.F4.y2Ba$明确区分这些将需要使用GyD.F4.y2Ba商法则GyD.F4.y2Ba，这是相当烦人。轻微修改等式（这在大多数情况下，将被乘以商双方）和隐式分化的应用将缓和获得衍生物。这里有些例子：GyD.F4.y2Ba

找到的衍生GyD.F4.y2Ba $Y = \压裂{1} {X + 1}GyD.F4.y2Ba$使用隐式分化。GyD.F4.y2Ba

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为了避免使用商法则，我们可以改变双方的倒数：GyD.F4.y2Ba

$\压裂{1} {Y} = X + 1。GyD.F4.y2Ba$

然后，我们区分双方：GyD.F4.y2Ba

$\ BEGIN {对齐} \压裂{d} {DX} \压裂{1} {Y}＆= \压裂{d} {DX}（X + 1）\\ \压裂{d} {DX} \压裂{1} {Y}＆= 1，\ {端对齐}GyD.F4.y2Ba$

并应用链式法则：GyD.F4.y2Ba

$\ BEGIN {对齐} \压裂{d} {DX} \压裂{1} {Y}＆= 1 \\ \压裂{d} {DY} \压裂{1} {Y} \ CDOT \压裂{DY} {DX}＆= 1个\\ - \压裂{1} {Y ^ 2} \ CDOT \压裂{DY} {DX}＆= 1 \\ \ RIGHTARROW \压裂{DY} {DX}＆= - Y 1 2 \\＆= - \压裂{1} {（X + 1）^ 2} \ _ \平方\ {端对齐}。GyD.F4.y2Ba$

找到的衍生GyD.F4.y2Ba $Y = \压裂{2X-1} {+ 3×2}GyD.F4.y2Ba$使用隐式分化。GyD.F4.y2Ba

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首先，我们乘双方通过GyD.F4.y2Ba $3X + 2GyD.F4.y2Ba$摆脱商数：GyD.F4.y2Ba

$Y（3×+ 2）= 2X-1。GyD.F4.y2Ba$

然后，我们区分等式的两边。显然，产品的规则应该被用于左侧：GyD.F4.y2Ba

$\开始{对齐} Y（3×+ 2）＆= 2X-1 \\？\压裂{d} {DX} \大（Y（3×+ 2）\大）= \压裂{d} {DX}（2×-1）\\ \左（\压裂{d} {DX} Y \右）\ CDOT（3×+ 2）+ 3Y＆= 2 \\ \压裂{DY} {DX}＆= \压裂{2-3y}{3×+ 2}。\结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

如果你不喜欢术语GyD.F4.y2Ba $yGyD.F4.y2Ba$在回答，您可以插入GyD.F4.y2Ba $Y = \压裂{2X-1} {+ 3×2}，GyD.F4.y2Ba$这使GyD.F4.y2Ba

$\压裂{DY} {DX} = \压裂{2X-3Y-1} {+ 3×2} = \压裂{2X-3 \ CDOT \压裂{2X-1} {3×+ 2} -1} {+ 3倍2} = \压裂{7} {（3×+ 2）^ 2}。GyD.F4.y2Ba$

然而，这个过程是没有必要的，因为我们总能找到价值GyD.F4.y2Ba $yGyD.F4.y2Ba$当给定的值GyD.F4.y2Ba $X。GyD.F4.y2Ba$

当然，使用明确的分化通过应用商法则也将导致同样的答案。自己试试吧。GyD.F4.y2Ba $_\正方形GyD.F4.y2Ba$

找到的衍生GyD.F4.y2Ba $Y = \压裂{X ^ 3 + 2} {X ^ 2-2x-4}GyD.F4.y2Ba$使用隐式分化。GyD.F4.y2Ba

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我们有GyD.F4.y2Ba

$\开始{对齐} Y'= \压裂{X ^ 3 + 2} {X ^ 2-2x-4} \\（X ^ 2-2x-4）Y＆= X ^ 3 + 2 \\？\压裂{d}{DX} \大（（X ^ 2-2x-4）Y \大）= \压裂{d} {DX}（X ^ 3 + 2）\\（2X-2）Y +（X ^ 2-2x-4）\ CDOT \压裂{DY} {DX}＆= 3×^ 2 \\？\ RIGHTARROW \压裂{DY} {DX}＆= \压裂{3×^ 2-（2X-2）Y} {X ^ 2-2x-4}。\ _ \平方\ {端对齐}GyD.F4.y2Ba$

找到相切的曲线GyD.F4.y2Ba $Y = \压裂{3×-7} {的x ^ 2-4x + 1}GyD.F4.y2Ba$在GyD.F4.y2Ba $X = 0。GyD.F4.y2Ba$

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首先，我们应该找到切线的斜率，这等于GyD.F4.y2Ba $\左\压裂{DY} {DX} \右|。_ {X = 0}。GyD.F4.y2Ba$我们有GyD.F4.y2Ba

$\开始{对齐} Y'= \压裂{3×-7} {的x ^ 2-4x + 1} \\（X ^ 2-4x + 1）Y＆= 3X-7 \\（2X-4）Y +（X ^2-4x+1)\cdot\frac{dy}{dx}&=3\\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}&=\frac{3-(2x-4)y}{x^2-4x+1}. \end{aligned}$

自从GyD.F4.y2Ba $\剩下。Y \右| _ {X = 0} = - 7，GyD.F4.y2Ba$我们有GyD.F4.y2Ba

$\左\压裂{DY} {DX} \右| _ {X = 0} = \压裂{3-28} {1} = - 25。GyD.F4.y2Ba$

因此，切线方程为：GyD.F4.y2Ba

$\开始{对齐} Y'= - 25（X-O）-7 \\ Y'= - 25X-7 \ _ \平方\ {端对齐}。GyD.F4.y2Ba$

找到的衍生GyD.F4.y2Ba $的x ^ 2 + Y ^ 2 = 1。GyD.F4.y2Ba$

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首先，我们添加GyD.F4.y2Ba $\压裂{d} {DX}GyD.F4.y2Ba$等式的两边，这给GyD.F4.y2Ba

$\开始{对齐} \压裂{d} {DX}的x ^ 2 + \压裂{d} {DX} Y 1 2＆= \压裂{d} {DX} 1个\\ 2X + \压裂{d} {DX}ÿ^ 2＆= 0。\结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

然后我们用链式法则来解决GyD.F4.y2Ba $\压裂{d} {DX} Y 1 2：GyD.F4.y2Ba$

$\开始{对齐} 2X + \压裂{d} {DX} Y 1 2＆= 0 \\ 2X + \压裂{d} {DY} Y 1 2 \ CDOT \压裂{DY} {DX}＆= 0 \\ 2X +2Y \ CDOT \压裂{DY} {DX}＆= 0 \\ \ RIGHTARROW \压裂{DY} {DX}＆= - \压裂{X} {Y}。\结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

请注意，答案可能含有比其他变量GyD.F4.y2Ba $X，GyD.F4.y2Ba$它会是麻烦的只使用一个变量表达式。GyD.F4.y2Ba $_\正方形GyD.F4.y2Ba$

找到的衍生GyD.F4.y2Ba $2Y ^ 3-Y ^ 2 = X ^ 5 + 3×^ 2。GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba

$\ BEGIN {对齐} \压裂{d} {DX} 2Y ^ 3- \压裂{d} {DX} Y 1 2＆= \压裂{d} {DX}的x ^ 5 + \压裂{d} {DX} 3X^ 2 \\？\压裂{d} {DY} 2Y ^ 3 \ CDOT \压裂{DY} {DX} - \压裂{d} {DY} Y 1 2 \ CDOT \压裂{DY} {DX}＆= 5×^ 4 + 6×\\？\压裂{DY} {DX} \ CDOT（6Y ^ 2-2y）= 5×^ 4 + 6×\\？\ RIGHTARROW \压裂{DY} {DX}＆= \压裂{5倍^ 4+ 6X} {6Y ^ 2-2y}。\ _ \平方\ {端对齐}GyD.F4.y2Ba$

找到的衍生GyD.F4.y2Ba $\ LN Y + E 1 Y = \罪Y 1 2-3 \ COS X。GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba

$\开始{对齐} \压裂{d} {DX} \ LN Y + \压裂{d} {DX} E 1 Y'= \压裂{d} {DX} \罪Y 1 2- \压裂{d} {DX}3 \ COS X \\？\压裂{d} {DY} \ LN Y \ CDOT \压裂{DY} {DX} + \压裂{d} {DY} E 1 Y \ CDOT \压裂{DY} {DX}＆= \压裂{d} {DY} \罪Y 1 2 \ CDOT \压裂{DY} {DX} 3 \的SiNx \\？\压裂{DY} {DX} \左（\压裂{1} {Y}+E.^y-2y\cos y^2\right)&=3\sin x\\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}&=\frac{3\sin x}{\frac{1}{y}+e^y-2y\cos y^2}.\ _\square \end{aligned}$

找到相切的曲线GyD.F4.y2Ba $\ SQRT {X} + \ SQRT {Y} = 1GyD.F4.y2Ba$在GyD.F4.y2Ba $\左（\压裂{1} {4}，\压裂{1} {4} \右）。GyD.F4.y2Ba$

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首先，我们发现斜率等于GyD.F4.y2Ba $\左\压裂{DY} {DX} \右|。_ {X = \压裂{1} {4}}。GyD.F4.y2Ba$区分双方相对于GyD.F4.y2Ba $XGyD.F4.y2Ba$给GyD.F4.y2Ba

$\ BEGIN {对齐} \压裂{d} {DX} \ SQRT {X} + \压裂{d} {DX} \ SQRT {Y}＆= \压裂{d} {DX} 1 \\ \压裂{1}{2 \ SQRT {X}} + \压裂{d} {DY} \ SQRT {Y} \ CDOT \压裂{DY} {DX}＆= 0 \\ \压裂{1} {2 \ SQRT {X}}+\frac{1}{2\sqrt{y}}\cdot\frac{dy}{dx}&=0\\ \frac{dy}{dx}&=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}. \end{aligned}$

因此，切线的斜率是GyD.F4.y2Ba

$\左\压裂{DY} {DX} \右|。_ {X = \压裂{1} {4}} = \左.- \压裂{\ SQRT {Y}} {\ SQRT {X}} \右| _ {X = \压裂{1} {4}} = - 1。GyD.F4.y2Ba$

由于切线穿过点GyD.F4.y2Ba $\左（\压裂{1} {4}，\压裂{1} {4} \右）GyD.F4.y2Ba$切线方程GyD.F4.y2Ba

$\开始{对齐} Y'= - \左（X- \压裂{1} {4} \右）+ \压裂{1} {4} \\＆= - X + \压裂{1} {2} \ _\平方\ {端对齐}GyD.F4.y2Ba$

找GyD.F4.y2Ba $\压裂{DY} {DX}GyD.F4.y2Ba$如果GyD.F4.y2Ba $Y 1 2 = X ^ 2 + \罪（XY）。GyD.F4.y2Ba$

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使用隐式分化，GyD.F4.y2Ba

$\ BEGIN {对齐} \ dfrac {d} {DX} \大（Y ^ 2 \大）= \ dfrac {d} {DX} \大（X ^ 2 \大）+ \ dfrac {d} {DX}（\罪XY）\\ 2Y \ dfrac {DY} {DX}＆= \ dfrac {d} {DX} \大（X ^ 2 \大）+（\ COS XY）\ {dfrac d} {DX}（Xy）\\ 2y\dfrac{dy}{dx}&=2x+(\cos xy)\left(y+x\dfrac{dy}{dx}\right)\\ 2y\dfrac{dy}{dx}-(\cos xy)\left(x\dfrac{dy}{dx}\right)&=2x+\cos (xy)y\\ (2y-x\cos xy)\dfrac{dy}{dx}&=2x+\cos (xy)y\\ \dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{2x+\cos (xy)y}{2y-x\cos xy}.\ _\square \end{aligned}$

我们还可以使用隐分化找到的反三角函数的衍生物，只要这些功能都是可微。GyD.F4.y2Ba

找到的衍生GyD.F4.y2Ba $Y = \罪^ { - 1} XGyD.F4.y2Ba$使用隐式分化。GyD.F4.y2Ba

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自从GyD.F4.y2Ba $Y = \罪^ { - 1}（x）中，GyD.F4.y2Ba$我们有GyD.F4.y2Ba $X = \罪Y，GyD.F4.y2Ba$在哪里GyD.F4.y2Ba $- \压裂{\ PI} {2} \当量Y \当量\压裂{\ PI} {2}。GyD.F4.y2Ba$

隐含区分，我们有GyD.F4.y2Ba

$\ COS Y \ dfrac {DY} {DX} = 1 \意味着\ dfrac {DY} {DX} = \ dfrac {1} {\ COS Y}。GyD.F4.y2Ba$

自从GyD.F4.y2Ba $- \压裂{\ PI} {2} \当量Y \当量\压裂{\ PI} {2}GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $\ COS Y \ GEQ 0，GyD.F4.y2Ba$使用GyD.F4.y2Ba $\ COS Y = \ SQRT {1- \罪^ 2 Y} = \ SQRT {1-x ^ 2}，GyD.F4.y2Ba$

我们有GyD.F4.y2Ba $\压裂{d} {DX} \大（\罪^ { - 1} X \大）= \压裂{1} {\ SQRT {1-x ^ 2}}。GyD.F4.y2Ba$ $_\正方形GyD.F4.y2Ba$

隐函数微分法是采取使用链式法则，以避免对变量的一个明确的解决衍生品的方法。GyD.F4.y2Ba

如果GyD.F4.y2Ba $Y 1 6 - E 1 {XY} = X，GyD.F4.y2Ba$什么是GyD.F4.y2Ba $\压裂{DY} {} DX？GyD.F4.y2Ba$

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以每术语的衍生物相对于GyD.F4.y2Ba $XGyD.F4.y2Ba$给我们GyD.F4.y2Ba

$\ BEGIN {对齐} 6Y ^ 5 \左（\压裂{DY} {DX} \右） - E 1 {XY} \左（\压裂{d} {DX}（XY）\右）= 1 \\6Y ^ 5 \左（\压裂{DY} {DX} \右） - E 1 {XY} \左（Y + X \压裂{DY} {DX} \右）= 1。\结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

现在，我们可以隔离所有的GyD.F4.y2Ba $\压裂{DY} {DX}GyD.F4.y2Ba$在左边：GyD.F4.y2Ba

$\ BEGIN {对齐} 6Y ^ 5 \左（\压裂{DY} {DX} \右） - XE ^ {XY} \左（\压裂{DY} {DX} \右）= 1 +咋^ {XY} \\ \左（\压裂{DY} {DX} \右）\左（6Y ^ 5 - XE ^ {XY} \右）= 1 +咋^ {XY} \\ \压裂{DY} {DX}＆= \压裂{1个+咋^ {XY}} {6Y ^ 5 - XE ^ {XY}}。\ _ \平方\ {端对齐}GyD.F4.y2Ba$

圆的面积由下式给出GyD.F4.y2Ba $A = \ PI R ^ 2。GyD.F4.y2Ba$如果半径和面积是时间微函数GyD.F4.y2Ba $T，GyD.F4.y2Ba$找到与方程GyD.F4.y2Ba $\压裂{DA} {} dt的GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $\压裂{博士} {DT}。GyD.F4.y2Ba$

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让我们区分表达GyD.F4.y2Ba $A = \ PI R ^ 2GyD.F4.y2Ba$关于GyD.F4.y2Ba $T，GyD.F4.y2Ba$所以我们得到：GyD.F4.y2Ba

$\开始{对齐} \ {dfrac DA} {DT}＆= \ PI \ dfrac {博士} {DT}（2R）\\＆= 2 \ PI r \ dfrac {博士} {DT}。\ _ \平方\END {对齐}GyD.F4.y2Ba$