如果F(x)是F(x)的不定积分 $b \ int_a ^$f (x) dx = f (b) - f () ?

这是关于常见的误解．

真或假?

如果 $F (x)$是的不定积分吗 $f (x),$是真的吗 $函数f(x) -F(a)?$

为什么有些人认为这是真的:这是我在学校学到的计算固有积分的方法。你只要应用微积分第二基本定理．当我被要求计算的时候 $\ int_1 ^ 2 x \ dx,$我用了这个公式，得到了正确的答案 $\压裂{3}{2}。$

为什么有些人说它是错误的:函数在整个区间内可能不是连续的。

该声明是 $颜色\ {# D61F06} {\ textbf{假}}$．这个结论成立的当且仅当被积函数在的整个区域是连续的 $(a, b)$．这是一个重要的条件，在你应用微积分第二基本定理．

反驳:下面的例子是正确的:

$dx = left。\压裂{1}{2}x ^ 2 \ | _1 ^ 2 = \压裂{3},{2}$

所以它对所有的积分都成立。根据微积分第二基本定理，我们的结论一定是正确的。

回答:在反驳中使用的整合是正确的，仅仅是因为 $f (x) = x$区间是连续的吗 $(1、2)$．这就是为什么我们可以这样积分。换句话说，我们只证明了它在特定情况下是成立的。如果函数在一个区间内不是连续的，比如 $f (x) = \压裂{1}{x}$在时间间隔 $(1,1)$ $\大($请注意, $f (0)$是未定义的 $\大),$微积分基本定理不能应用。

反驳:如果你不能使用微积分第二基本定理，那该怎么做呢做你计算有不连续的积分?

回答:如果被积函数在区间内存在不连续，则该积分是无定义的。然而，这个积分可以解释为a柯西主值通过求反常积分．例如,

$\ int_{1} ^{1} \压裂{1}{x} \ dx。$

被积函数有一个不连续点在 $x = 0,$因此积分是无定义的。然而，柯西主值将被计算为反常积分的和:

$PV \ \ \{对齐}开始int_{1} ^{1} \压裂{1}{x} \ dx & = \ int_{1} ^{0} \压裂{1}{x} \ dx + \ int_{0} ^{1} \压裂{1}{x} \ dx \\ \\ &= \ 离开了。\ lim_ {\ rightarrow 0 ^ -} \ ln | x | \ | _{1} ^{一}+ \离开了。一\ \ lim_ {rightarrow 0 ^ +} \ ln | x | \ | _{一}^ {1 } \\ \\ &= \ 左(\ lim_ {x \ rightarrow 0 ^ +} \ ln (x) \右)- 0 + 0 -左(\ \ lim_ {x \ rightarrow 0 ^ +} \ ln (x) \ ) \\ \\ &= \ lim_ {x \ rightarrow 0 ^ +} \大(\ ln (x) - \ ln (x) \大 ) \\ \\ &= 0。结束\{对齐}$

在这种情况下，柯西主值符合我们的期望如果它是一个真积分。然而，情况并非总是如此。更多的例子，请参阅反常积分页面柯西主值．

想确定你已经理解了这个概念吗?试试这些问题:

另请参阅

• 常见误解清单
• 微积分基本定理