如果一个数列的极限是0，这个数列收敛吗?

这是关于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/common-misconceptions/" class="wiki_link" title="常见的误解" target="_blank">常见的误解．

常见的误解是什么?

如果一个数列的项越来越小，是否保证整个数列的和是某个有限的数?例如，这个简单的级数 $0$其和收敛于2:

$1 + \压裂{1}{2}+ \压裂{1}{4}+ \压裂{1}{8}+ \压裂{1}{16}+ \ cdots + \压裂{1}{2 ^ n} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \压裂{1}{2 ^ n} = 2。$

这个观察结果可以推广吗?为了更正式地问这个问题，让 $A_n \geq 0, n \in \{1,2,3, ldots \}$表示一个正数序列 $A_1 a_2 a_3 ldots$

这是对的还是错的?

$\lim_{n \rightarrow \ inty} a_n = 0 \包含\sum_{n = 1}^{\ inty} a_n < \ inty$

为什么有些人认为这是真的:当一个数列的项越来越接近于0时，这个和收敛于某个特定的有限值。因此，只要这些项足够小，总和就不会发散。

为什么有些人说它是错误的:一个和并不仅仅因为它的项很小而收敛。

的声明 $\lim\limits_{n \rightarrow \ inty} a_n = 0 \包含\sum\limits_{n = 1}^{\ inty} a_n < \ inty$是 $颜色\ {# D61F06} {\ textbf{假}}$．

反例1:
考虑集 $左\ \{\压裂{1}{n} \右\}_ {n \ \ mathbb {n} _0} = \左\{1,\压裂{1}{2},\压裂{1},{3}\ ldots \右\}$．很明显，我们看到了 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0，$但众所周知 $\ \和limits_ {n = 1} ^ {n} \压裂{1}{n}$发散, $N \ rightarrow \ infty。$（<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/discussions/thread/on-divergence-of-series/">在这里看到的证据。）

反例2:
我们也可以有目的地构造一个级数，它显然不会收敛于有限和，尽管级数的高级项任意接近于0。考虑一下这个系列:

$1 + \压裂{1}{2}+ \压裂{1}{2}+ \压裂{1}{3}+ \压裂{1}{3}+ \压裂{1}{3}+ \压裂{1}{4}+ \压裂{1}{4}+ \压裂{1}{4}+ \压裂{1}{4}+ \压裂{1}{5}+ \ cdots。$

通过将相似项集合起来，我们可以知道这个和不会收敛:

$1 + \离开(\压裂{1}{2}+ \压裂{1}{2}\右)+ \离开(\压裂{1}{3}+ \压裂{1}{3}+ \压裂{1}{3}\右)+ \离开(\压裂{1}{4}+ \压裂{1}{4}+ \压裂{1}{4}+ \压裂{1}{4}\右)+ \离开(\压裂{1}{5}+ \ cdots \右)+ \ cdots = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + \ cdots = \ infty。$

反驳:
级数的第一个定理是 $\lim\limits_{n \右tarrow \ inty} a_n \neq 0 \包含\sum\limits_{n = 1}^{n} a_n \text{发散为}n \右tarrow \ inty。$因此，如果 $an$是0，那么和应该收敛。

回答:
是的，关于无穷级数你学到的第一件事就是如果级数的项不趋向于0，那么级数不可能收敛。这是正确的。然而，相反的说法是不正确的:正如上面证明的，即使级数的各项趋近于0，也不能保证其和收敛。

在你的声明中也有一种正确的方式来“逆转”这个陈述，但这是一个语法上的逆转，创建第二个陈述，在逻辑上等同于第一个陈述。“如果级数的各项不趋近于0，那么这个级数就不可能收敛”这句话在逻辑上等价于“如果级数收敛，那么它保证级数的各项趋近于0”这句话。更正式,

$\sum\limits _{n=1}^{n} a_{n} \text{收敛为}n\right tarrow \infty \暗示\lim\limits _{n\right tarrow \infty} a_{n}=0。$

如果你的老师说原始陈述的“颠倒”也是正确的，这种颠倒很可能就是他或她的意思。

另请参阅

• 常见误解清单