周期性运动GydF4y2Ba

在力学中，我们对描述物理物体的运动感兴趣，因为这样我们可以随时知道给定粒子的位置。也就是说，我们试图找到一个粒子的位置作为时间的函数。GydF4y2Ba

如果对象沿着特定路径重复其运动，则在固定间隔内沿某个路径重复一定点，这种对象的运动被称为GydF4y2Ba周期性运动GydF4y2Ba. 周期运动的例子有钟摆的运动、弹簧的运动、吉他弦的振动、地球绕其轴线的旋转、地球绕太阳旋转、太阳绕银河系中心旋转等等。GydF4y2Ba

其中一种运动重复自身所需的时间称为周期GydF4y2Ba $TGydF4y2Ba$.在数学上，定义如下：GydF4y2Ba

让这个位置GydF4y2Ba $\vec{r}=\vec{r}（t）GydF4y2Ba$是时间的函数。那么我们说GydF4y2Ba $\ vec {r}（t）GydF4y2Ba$是一个GydF4y2Ba周期函数GydF4y2Ba如果存在GydF4y2Ba $t \ gt0.GydF4y2Ba$以致GydF4y2Ba

$\vec{r}（t）=\vec{r}（t+t）GydF4y2Ba$

对于任何价值GydF4y2Ba $TGydF4y2Ba$.最低可能的价值GydF4y2Ba $TGydF4y2Ba$被称为GydF4y2Ba函数的周期GydF4y2Ba.GydF4y2Ba

悬挂在枢轴上的任何重量，并且在从静止位置移位时可以自由摆动，可以描述为aGydF4y2Ba钟摆GydF4y2Ba。你必须遇到许多摆动体的情况，它们都可以被描述为摆锤：例如，摆动，摆动吊灯或摆锤上的人。在本文中，我们将讨论名为简单摆锤的钟摆的理想化数学模型。GydF4y2Ba

A.GydF4y2Ba单摆GydF4y2Ba是一种理想化的机械模型，包括由无麻或不伸长的弦悬挂的点质量（也称为鲍勃）。当一个简单的摆锤被拉到一侧并释放时，它振荡在其平衡位置GydF4y2Ba简单的谐波运动GydF4y2Ba.GydF4y2Ba

摆锤从一定角度释放后GydF4y2Ba $\西塔GydF4y2Ba$，由它追踪的路径是圆圈的弧形，提供恢复力。恢复力始终朝向均衡位置行动，在我们的情况下是轨迹的最低点。在上面的摆锤模型中，恢复力GydF4y2Ba $F_{\theta}GydF4y2Ba$是净力的切向组成部分：GydF4y2Ba

$f _ {\ theta} = - mg \ sin（\ theta）。GydF4y2Ba$

我们假设距离GydF4y2Ba $xGydF4y2Ba$远离平均位置作为正坐标。对于动作是简单的谐波，恢复力必须与之成比例GydF4y2Ba $\西塔GydF4y2Ba$或者GydF4y2Ba $xGydF4y2Ba$ $(GydF4y2Ba$作为GydF4y2Ba $x=L \θ）。GydF4y2Ba$它是？GydF4y2Ba

不，它与温度成正比GydF4y2Ba $\ sin \ thetaGydF4y2Ba$，这意味着运动并不简单谐波。但是，如果我们假设位移角度GydF4y2Ba $\西塔GydF4y2Ba$为了小，我们可以使用近似GydF4y2Ba

$\lim{\theta\to 0}\sin\theta=\theta。GydF4y2Ba$

满足所需条件，我们可以应用近似。虽然GydF4y2Ba $\西塔GydF4y2Ba$不一定要非常小，它可以大到5或6度。现在，恢复力变小了GydF4y2Ba

$F_{\theta}=-mg\theta=-mg\frac{x}{L}。GydF4y2Ba$

具有上述等式，我们可以计算角频率：GydF4y2Ba

$\omega=\sqrt{\frac{\\\frac{mg}L}{m}\\}=\sqrt{\frac{g}{L}。GydF4y2Ba$

我们知道GydF4y2Ba $\text{time period}=\frac{2\pi}{\omega}GydF4y2Ba$，我们可以写GydF4y2Ba

$\text{Time Period}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}。GydF4y2Ba$

正如你所注意到的，时间周期完全独立于振幅，我们使用简单摆的这种性质或性质来使用摆作为计时器。但当振幅变大时会发生什么呢？GydF4y2Ba

简谐运动GydF4y2Ba（SHM）是一种特殊类型的振荡运动，当物体受到与其从平均位置或平衡位置的位移成正比的力时，物体会执行这种振荡运动，并趋向于将其加速至平均位置。最简单的例子是弹簧块系统。GydF4y2Ba

因此，我们可以导出SHM的必要条件GydF4y2Ba

$（\text{Acceleration}）\propto（-\text{Displacement}）。GydF4y2Ba$

$$SHM的等式GydF4y2Ba

我们知道Shm的必要条件是GydF4y2Ba $F\propto-x，GydF4y2Ba$即GydF4y2Ba

$ma \ propto-x，GydF4y2Ba$

哪里GydF4y2Ba $A.GydF4y2Ba$是加速度,，GydF4y2Ba $MGydF4y2Ba$是质量和质量GydF4y2Ba $xGydF4y2Ba$是平均位置的位移。这给了我们GydF4y2Ba

$a = - \ frac {k} {m} x，GydF4y2Ba$

哪里GydF4y2Ba $\分形{k}{m}GydF4y2Ba$是一个比例常数。GydF4y2Ba

让GydF4y2Ba $\分形{k}{m}=\omega^2，GydF4y2Ba$然后GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} v \ frac {dv} {dx}＆= - \ oomega ^ 2 x \\ \ int v \，dv＆= - \ oomega ^ 2 \ int x \，dx \\ \ frac {v ^ 2} {2}＆= \ \ frac { - \ omega ^ 2 x ^ 2} {2} + c \\ v ^ 2＆= 2c- \ omega ^ 2 x ^ 2 \\ dx＆= \ sqrt {2c - \ omega ^2.x^2} dt\\ \int \frac{dx}{\sqrt{2c -\omega^2 x^2}}&=\int dt\\ \int \frac{dx}{\sqrt{\left(\sqrt{\frac{2c}{\omega^{2}}} \right)^{2} -x^{2}}}&=\omega \int dt\\ \Rightarrow \sin^{-1} \left(\frac{x}{\sqrt{\frac{2c}{\omega^2}}}\right)&=\omega t+\phi. \end{aligned}$

让GydF4y2Ba $\ sqrt {\ frac {2c} {\ omega ^ 2}} = aGydF4y2Ba$，然后这是SHM的幅度。所以，GydF4y2Ba

$\sin^{-1}\left（\frac{x}{A}\right）=\omega t+\phi~\Rightarrow~\boxed{x=A\sin（\omega t+\phi）}，GydF4y2Ba$

这意味着上述方程是SHM方程。GydF4y2Ba

$$速度方程GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} v＆= a \ oomega \ cos（\ oomega t + \ phi）\\＆\ hspace {1.2cm} \ text {或} \\ v＆= \ pm \ omega \ sqrt {a ^ 2-x ^2}。\结束{对齐}GydF4y2Ba$

$$加速式方程GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} a＆= - a \ omega ^ 2 \ sin（\ oomega t + \ phi）\\＆\ hspace {1.2cm} \ text {或} \\ a＆= - \ oomega ^ 2 x。\结束{对齐}GydF4y2Ba$

$$与SHM相关的术语GydF4y2Ba

• 振幅GydF4y2Ba $（A）GydF4y2Ba$：它是来自平均位置的身体的最大距离。GydF4y2Ba
• 角频率GydF4y2Ba $（\omega）GydF4y2Ba$：在我们研究SHM的相图后，我会定义它。GydF4y2Ba
• 运动频率：是线性频率，即每秒振荡数量。GydF4y2Ba
• 相位常数GydF4y2Ba $（\ phi）GydF4y2Ba$：它告诉我们对象的初始位置。GydF4y2Ba

$$SHM相量GydF4y2Ba

我们观察到，当我们投射粒子在其直径上做圆周运动时，在直径上的运动是SHM。SHM的圆周运动表示为相图或相量，该圆周运动的角速度为GydF4y2Ba $\ omega.GydF4y2Ba$.GydF4y2Ba

..GydF4y2Ba

上面是一个相量示例，其中GydF4y2Ba $\ phi.GydF4y2Ba$是初始相位角或相位常数。GydF4y2Ba

请看下面的示例：GydF4y2Ba

SHMGydF4y2Ba

$$SHM能量GydF4y2Ba

$$动能GydF4y2Ba

我们知道GydF4y2Ba

$\{{对齐}{{{{{{{{}}}{{{{{{对齐}{{{{}}}}开始开始可能{{{{{{{对齐}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{1}}{{{{1}{{{1}}{{{{1}}}}{{{{{{{1}}{{{{{{{{{1}}}}}{{{{{{1}{{{{{{1}}{{{{1}{{{2}{1}}}}}}}{2}{2}{{2}2}学校学校学校学校学校学校学校......可能可能可能可能可能.....文字{{{{{{{{{{{{{{{{{\big（一个^2-x^2\big）\结束{对齐}GydF4y2Ba$

因为我们在平均位置有最大动能（因此没有势能），能量守恒，所以最大动能等于总能量。GydF4y2Ba

因此GydF4y2Ba

$\ text {（总能量）} = \ frac {1} {2} m v_ \ text {max} ^ {2}。GydF4y2Ba$

最大速度可由上述方程式计算得出，因此GydF4y2Ba

$\ text {（总能量）} = \ frac {1} {2} m（a \ omega）^ {2}。GydF4y2Ba$

注GydF4y2Ba：平均动能是GydF4y2Ba $\ frac {1} {4} m a ^ 2 \ omega ^ {2}。GydF4y2Ba$

$$势能GydF4y2Ba

$\文本{（潜在能量）} = \ text {（总能量）} - \ text {（动能）}。GydF4y2Ba$

注GydF4y2Ba：平均位置的潜在能量不一定为零，但在平均位置总是最小的。GydF4y2Ba

下图显示了能量的变化。请注意，总能量是恒定的。GydF4y2Ba

..GydF4y2Ba

一个质量GydF4y2Ba $5\text{kg}GydF4y2Ba$执行SHM，其等式给出GydF4y2Ba $$

$x=8\cos\left（-20 t+\frac{\pi}{6}\right）。GydF4y2Ba$

找到以下内容：GydF4y2Ba

• Shm的幅度GydF4y2Ba
• 角频率GydF4y2Ba
• 初始相位常数GydF4y2Ba
• 时刻的速度GydF4y2Ba $t=20\text{sec}GydF4y2Ba$
• 加速度在时间GydF4y2Ba $t=10\text{sec}GydF4y2Ba$
• SHM的能量。GydF4y2Ba

大块GydF4y2Ba $MGydF4y2Ba$正在与幅度进行SHMGydF4y2Ba $A.GydF4y2Ba$.当它到达一个极端时，另一个质量块GydF4y2Ba $MGydF4y2Ba$保持在前一个块上。在不考虑任何滑移的情况下，计算新的SHM振幅。GydF4y2Ba