胡克定律GydF4y2Ba

弹簧的恢复力与向下拉动物体的重力相反[2]。GydF4y2Ba

胡克定律GydF4y2Ba是一个经验物理定律，描述了弹簧施加的恢复力与弹簧偏离平衡长度的距离之间的线性关系。遵守胡克定律的弹簧被称为弹簧GydF4y2Ba胡克GydF4y2Ba. 除了弹簧外，胡克定律通常是任意物理系统的一个很好的模型，这些系统在扰动后会很快恢复到平衡状态。GydF4y2Ba

如果一个钩子弹簧被一些位移压缩或延伸GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$从平衡状态开始，弹簧将在相反方向上施加与该位移成比例的力：GydF4y2Ba

$f = -kx。GydF4y2Ba$

比例常数GydF4y2Ba $K.GydF4y2Ba$， 叫做GydF4y2Ba弹簧常数GydF4y2Ba，取决于GydF4y2Ba刚性GydF4y2Ba弹簧的速度又取决于其形状和制造弹簧的材料。GydF4y2Ba

如何利用胡克定律来确定物体的质量？GydF4y2Ba

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给定一个虎克弹簧的弹簧常数GydF4y2Ba $K.GydF4y2Ba$，将弹簧的一端固定在天花板上，另一端到另一端。在平衡中，弹簧力将平衡对象上的头部的向下力，这允许计算质量GydF4y2Ba $M.GydF4y2Ba$从位移GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$春天的春天。GydF4y2Ba

重力施加力量GydF4y2Ba $f_g = mg.GydF4y2Ba$向下成比例与质量GydF4y2Ba $M.GydF4y2Ba$物体的形状，与弹簧力完美匹配GydF4y2Ba $F_s=-kxGydF4y2Ba$在平衡中，负符号表示弹簧力以相反的方向作用。通过设置这些力等于：GydF4y2Ba

$m = \ frac {kx} {g}。\ _ \ squareGydF4y2Ba$

胡克定律的线性关系实证仅适用于小型位移GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$．对于大变形，弹簧或其他卷起可以永久地扭曲并且具有非线性恢复力。GydF4y2Ba

在一维中，弹簧的势能可通过积分从胡克定律获得：GydF4y2Ba

$U=-\int F\，dx=\int kx\，dx=\frac12 kx^2。GydF4y2Ba$

如果弹簧被压缩或拉伸，然后释放，它将振荡（如果忽略摩擦，它将无限期振荡；否则，弹簧最终将恢复平衡）。质量的振动GydF4y2Ba $M.GydF4y2Ba$在春天可以直接从中衍生GydF4y2Ba牛顿的第二律法律GydF4y2Ba运动，GydF4y2Ba $f = ma.GydF4y2Ba$．由于加速是速度的第二阶导数，因此设定等于弹簧力的力GydF4y2Ba $F=-kxGydF4y2Ba$产量GydF4y2Ba

$m\ddot{x}=ma=F=-kx。GydF4y2Ba$

所以春天的质量运动的方程是GydF4y2Ba

$\ ddot {x} + \ frac {k} {m} x = 0，GydF4y2Ba$

其中点表示时间导数。系数GydF4y2Ba $\ frac {k} {m}GydF4y2Ba$通常表示为GydF4y2Ba $\ omega_0 ^ 2GydF4y2Ba$，即GydF4y2Ba固有频率GydF4y2Ba春季振荡。这是因为对此运动方程的一般解决方案是GydF4y2Ba

$x（t）=A\cos（\omega\u0t）+B\sin（\omega\u0t）GydF4y2Ba$

对于某些常数GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$取决于初始条件。GydF4y2Ba

上面的运动方程通常称为物体的运动方程GydF4y2Ba简谐振荡器GydF4y2Ba因此，符合上述类似运动方程的系统被称为GydF4y2Ba简谐运动GydF4y2Ba．GydF4y2Ba

大量GydF4y2Ba $M.GydF4y2Ba$由两个弹簧固定的弹簧悬挂GydF4y2Ba $K.GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

弥撒GydF4y2Ba $MGydF4y2Ba$由两个弹簧悬挂，每个弹簧常数GydF4y2Ba $K.GydF4y2Ba$如图所示，向上压缩一个位移GydF4y2Ba $L.GydF4y2Ba$从弹簧的平衡长度开始，并允许在重力的影响下下落。找出随时间变化的后续位移。GydF4y2Ba

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质量服从简谐振子的运动方程，其中系数GydF4y2Ba $K.GydF4y2Ba$被替换为GydF4y2Ba $2KGydF4y2Ba$由于有两个弹簧力直接作用在质量上。流离失所GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$因此，遵循这个方程GydF4y2Ba

$x（t）= \ \ cos \ left（\ sqrt {\ frac {2k} {m}} t \ over）+ b \ sin \ left（\ sqrt {\ frac {2k} {m}} t \ revaly）GydF4y2Ba$

对于常数GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$由初始条件确定。这些初始条件是GydF4y2Ba

$x（0）=L\quad\dot{x}（0）=0。GydF4y2Ba$

堵塞上面的一般解决方案，这些初始条件产量GydF4y2Ba

$x（0）=A=L\quad\dot{x}（0）=B\sqrt{\frac{2k}{m}}=0\表示B=0。GydF4y2Ba$

因此，解决方案是唯一固定的GydF4y2Ba

$x（t）= l \ cos \ left（\ sqrt {\ frac {2k} {m}} t \右）。\ _ \ squareGydF4y2Ba$

显示一个带有的电路GydF4y2Ba电感器GydF4y2Ba和GydF4y2Ba电容器GydF4y2Ba，叫做GydF4y2BaLC电路GydF4y2Ba，遵守简单的谐波振荡器方程。GydF4y2Ba

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根据GydF4y2BaKirchoff的法律GydF4y2Ba，闭环周围的电压必须总和为零。电容器上的电压是GydF4y2Ba $v_c = q / c，GydF4y2Ba$在哪里GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$是电容和GydF4y2Ba $问：GydF4y2Ba$电容器上的充电是存储在电容上。电感器两端的电压是GydF4y2Ba $V=L\frac{dI}{dt}，GydF4y2Ba$在哪里GydF4y2Ba $一世GydF4y2Ba$是电路中的电流和GydF4y2Ba $L.GydF4y2Ba$是电感。从现在起GydF4y2Ba $i = \ frac {dq} {dt}GydF4y2Ba$是电容器上电荷的时间变化率，基尔霍夫环路规则简化为GydF4y2Ba

$0 = -l \ frac {di} {dt} - \ frac {q} {c}} \意味着l \ ddot {q} + \ frac {1} {c} q = 0。GydF4y2Ba$

这是电感的简单谐振子方程GydF4y2Ba $L.GydF4y2Ba$起到质量的作用和电容的倒数GydF4y2Ba $\分形{1}{C}GydF4y2Ba$扮演弹簧常数的角色。随着电容器上存储电荷的增加，线性电压响应类似于胡克定律，通过电路的电流变化率类似于加速度。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

上面运动方程的解，用余弦和正弦表示，将永远继续振荡。然而，真正的振子最终会回到一个稳定的平衡。这是因为真正的振荡器感觉GydF4y2Ba阻尼力量GydF4y2Ba从系统中删除能量。GydF4y2Ba

当略微从平衡略微移位时，Hooke的定律几乎任何具有稳定均衡状态的物理系统。看看为什么，考虑是有用的GydF4y2Ba潜在的能量图GydF4y2Ba，图形方式显示不同状态的系统的潜在能量。GydF4y2Ba

蓝色是一些物理系统的势能图。红色表示关于稳定平衡点的谐振子势近似。GydF4y2Ba

上图用蓝色标出了势能GydF4y2Ba $U（x）GydF4y2Ba$一些系统作为位置的函数GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$．该系统中足够低的总能量的状态将没有足够的动能，以逃避最小的潜力GydF4y2Ba $U（x）GydF4y2Ba$. 最低限度GydF4y2Ba $X_0.GydF4y2Ba$属于GydF4y2Ba $U（x）GydF4y2Ba$因此是一种平衡状态。而且，是的GydF4y2Ba稳定的GydF4y2Ba：如果系统在以下位置启动：GydF4y2Ba $X_0.GydF4y2Ba$如果受到轻微的干扰，它将倾向于对GydF4y2Ba $X_0.GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

因此GydF4y2Ba泰勒扩张GydF4y2Ba关于最小产率的势能GydF4y2Ba

$U（x）\ \ upply u（x_0）+ \左。FRAC12（X-X_0）^ 2 \ FRAC {D ^ 2 U} {DX ^ 2} \右| _ {x = x_0}。GydF4y2Ba$

第一届,，GydF4y2Ba $U（x_0）GydF4y2Ba$，只是一个恒定的能量转移。二次项是描述GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$改变GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$．这个二次电势与弹簧电势的形式完全匹配GydF4y2Ba $U\U s=\frac12 kx^2GydF4y2Ba$．因此，在均衡点附近GydF4y2Ba $X_0.GydF4y2Ba$，物理系统的行为可以很好地近似于简单的简谐运动，即服从胡克定律的力。上图中，电势最小值的二次近似值用红色表示。GydF4y2Ba

对于具有多个交互群体的系统，定义了一个系统GydF4y2Ba减少质量GydF4y2Ba $\亩GydF4y2Ba$经过GydF4y2Ba

$\frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}+\cdots。GydF4y2Ba$

振荡的频率GydF4y2Ba $\ omega_0.GydF4y2Ba$然后，关于潜力的最小值，类似于钩子弹簧，GydF4y2Ba

$\ omega_0 ^ 2 = \ sqrt {\ frac {1} {\ mu} \ left。\ frac {d ^ 2 u} {dx ^ 2} \右| _ {x = x_0}}。GydF4y2Ba$

这GydF4y2BaLennard-Jones 6,12潜力GydF4y2Ba用于模拟两个中性原子之间的相互作用。潜力包含一个有吸引力的因素GydF4y2Ba $\ frac {1} {r ^ 6}GydF4y2Ba$术语为GydF4y2Ba范德华相互作用GydF4y2Ba和一个令人厌恶的人GydF4y2Ba $\分形{1}{r^{12}GydF4y2Ba$术语模拟交换力的术语GydF4y2Ba保利排除原则GydF4y2Ba：GydF4y2Ba

$u = \ epsilon \ left [\ left（\ frac {r_m} {r} \ other）^ {12} - 2 \ left（\ frac {r_m} {r}右）^ 6 \ rectle]，GydF4y2Ba$

在哪里GydF4y2Ba $εGydF4y2Ba$控制潜在井的深度GydF4y2Ba $拉姆GydF4y2Ba$是潜在井的最小值。找到关于两个质量原子的平衡的振荡频率GydF4y2Ba $M.GydF4y2Ba$谁的交互是通过这种潜力建模的。GydF4y2Ba

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泰勒的扩张GydF4y2Ba $U（r）GydF4y2Ba$关于GydF4y2Ba $拉姆GydF4y2Ba$到二阶是GydF4y2Ba

$大约-\epsilon+36\frac{\epsilon}{r\U m^2}（r-r\m）^2。GydF4y2Ba$

减少的系统质量是GydF4y2Ba $\mu=\frac{m}{2}GydF4y2Ba$. 因此，关于平衡的振荡频率是GydF4y2Ba

$\ omega_0 ^ 2 = \ sqrt {\ frac {2} {m} 72 \ frac {\ epsilon} {r_m ^ 2}} = \ frac {12} {r_m} \ sqrt {\ frac {\ epsilon} {m}}。\ _\正方形GydF4y2Ba$

[1] D.Klepper和R.Kolenkow，GydF4y2Ba力学介绍GydF4y2Ba．McGraw-Hill，1973年。GydF4y2Ba

[2] 来自https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5a/Mass-spring-system.png 根据知识共享许可证进行重用和修改。GydF4y2Ba