均匀线性微分方程

一种均匀线性微分方程是A.微分方程每个术语都是表格 $y ^ {（n）} p（x）$即衍生物 $y$倍数 $X$．通常，这些非常难以使用，但在所有常数是系数的情况下，它们可以完全解决。在这种情况下，微分方程看起来像 $a_ {n} \ dfrac {d ^ ny} {dx ^ n} + a_ {n-1} \ dfrac {d ^ {n-1} y} {dx ^ {n-1}}} {dx ^ {n-1}}} {dx ^ {n-1}}} {dx ^ {n-1}}} {dx ^ {n-1}}} {dx ^ {n-1}}} {dx ^ {n-1}} + \ cdots + a_ {1} \ dfrac {dy} {dx} + a_ {0} y = 0，$和 $a_ {0}，a_ {1}，a_ {n-1}，\ ldots，a_ {n}$是实常数，几乎类似于多项式。事实上，看这个相关多项式的根就能得到微分方程的解。

对解决方案的合理猜测 $A_NY ^ {（n）} + \ cdots + a_0y$是 $y = e ^ {rx}$- 这被称为ansatz.．请注意, $\ dfrac {d ^ ky} {dx ^ k} e ^ {rx} = r ^ k e ^ {rx}，$因此对于 $e ^ {rx}$成为一个解决方案，它必须满足 $一种_{n} r^n e^{rx} + a_{n-1} r^{n-1} e^{rx} + \cdots + a_{1} r e^{rx} + a_{0} e^{rx} = 0.$自从 $e ^ {rx} \ neq 0$，一定是这种情况 $a_ {n} r ^ n + a_ {n-1} r ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} r + a_ {0} = 0. \ qquad（3）。$因此， $e ^ {rx}$解决微分方程 $R.$是这个多项式的根。

对于微分方程 $a_ {n} \ dfrac {d ^ ny} {dx ^ n} + a_ {n-1} \ dfrac {d ^ {n-1} y} {dx ^ {n-1}}} {dx ^ {n-1}}} {dx ^ {n-1}}} {dx ^ {n-1}}} {dx ^ {n-1}}} {dx ^ {n-1}}} {dx ^ {n-1}} + \ cdots + a_ {1} \ dfrac {dy} {dx} + a_ {0} y = 0，$相关的特征方程式是 $a_nr ^ n + cdots + a_1r + a_0 = 0$．

根据特征多项式的根源的性质，微分方程具有略微不同的解决方案。

当根本是真实的且不同的时，解决方案只是线性组合 $e ^ {rx}$对于不同的根源 $R.$．

如果是 $N.$根 $r_1，r_2，\ ldots，r_ {n}$特征方程是真实的和截然不同的，然后 $Y（x）= c_1 e ^ {r_1x} + c_2e ^ {r_2x} + \ cdots + c_ne ^ {r_nx}$是等式的一般解决方案 $(1)，$和 $c_1，c_2，\ ldots，c_n$常数。

解决 $$

$\ begin {array} {c}＆y''+ 2y' - 8y = 0，＆y（0）= 5，＆y'（0）= - 2. \结束{array}$

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我们需要解决特征方程 $R ^ 2 + 2R - 8 = 0。$

遵守这一点 $r = 2，-4$是这个方程的根源。然后 $Y（x）= c_1 e ^ {2x} + c_2 e ^ { - 4x}$是一般解决方案， $Y'（x）= 2 c_1 e ^ {2x} - 4 c_2 e ^ { - 4x}$．现在，使用初始条件，我们有 $y（0）= c_1 + c_2 = 5，y'（0）= 2c_1 - 4c_2 = -2 \ lightarrow c_1 = 3，c_2 = 2。$

其所需的特定解决方案是 $Y（x）= 3e ^ {2x} + 2e ^ { - 4x}。\ _\正方形$

当特征多项式重复根时，前定理不再适用。

如果特征方程具有重复的真实根 $R.$多重 $k，$然后对应于的微分方程的一般解的一般解 $R.$在等式中是表格 $（c_1 + c_ {2} x + c_ {3} x ^ 2 + \ cdots + c_ {k} x ^ {k-1}）\ cdot e ^ {rx}。$

找到一般的解决方案 $$ $y ^ {（4）} + 3 \ cdot y ^ {（3）} + 3 \ cdot y''+ y'= 0。$

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微分方程的特征方程为 $R ^ 4 + 3 \ cdot r ^ 3 + 3 \ cdot r ^ 2 + r = r \ cdot（r + 1）^ 3 = 0$．

它有单根 $r_1 = 0，$这给了解决方案 $Y_1 = C_1$到一般解决方案，以及三根根 $（k = 3）$ $r_2 = -1，$这给了 $y_2 =（c_2 + c_ {3} x + c_ {4} x ^ 2）\ cdot e ^ { - x}。$因此，微分方程的一般解是 $y（x）= c_1 +（c_2 + c_ {3} x + c_ {4} x ^ 2）\ cdot e ^ { - x}。\ _\正方形$

由于微分方程及其特征方程的系数都是实数，因此任意根复出现在复共轭对中 $一个\ PM BI，$在哪里 $一种$和 $B.$是真实的，我= $\ sqrt {-1}。$

如果特征方程有一对复杂根，则不重复 $a \ pm bi$，然后对它们的一般方程解决方案的相关部件具有表单 $E ^{ax} \cdot (c_1 \cos bx + c_2 \sin bx)$．

解决 $Y'' - 4Y'+ 5Y = 0。$

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特征方程是 $r ^ 2 - 4r + 5 = 0，$谁的根部是 $2 \ PM I。$因此，一般解决方案是 $y（x）= e ^ {2x} \ cdot（c_1 \ cos x + c_2 \ sin x）。$

当有重复的复杂根时，它们可以以与重复的真实根相同的方式计算。

找到一般的解决方案 $Y ^ {（4）} + 4 \ CDOT Y ^ {（3）} + 12 \ CDOT Y''+ 16Y'+ 16Y = 0。$

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特征方程是 $（r ^ 2 + 2r + 4）^ 2 = 0，$谁的根部是 $-1 \ pm i \ cdot \ sqrt {3}$多重 $2。$因此，一般解决方案是 $y（x）= e ^ { - x} \ cdot \ left（c_1 \ cos x \ sqrt {3} + d_1 \ sin x \ sqrt {3} \右）+ xe ^ { - x} \ cdot \ left（c_2 \ cos x \ sqrt {3} + d_2 \ sin x \ sqrt {3} \右）。$