曲棍球球棍的身份

这曲棍球棒身份是关于总和的身份二项式系数．

为整数 $N$和 $R \ (n \ge R)，$

$k = r \ sum_ {} ^ {n} \ binom {k} {r} = \ binom {n + 1} {r + 1}。\ _ \广场$

曲棍球棒身份通过它所代表的方式获得其名称帕斯卡三角形．

在帕斯卡三角形中，对角线上各元素的和 $1$等于对角方向相反的下一个元素。把这些元素圈起来就形成了一个“曲棍球棒”形状:

$1 + 3 + 6 + 10 = 20。$

曲棍球棒身份是一个特殊的案例范德蒙的身份．当问题需要您计算从不同大小的组中选择相同数量对象的方法的数量时，它很有用。它在涉及到的一些问题中也很有用自然数量的总和．

曲棍球棍身份通常用于计算问题，在这些问题中，从不同大小的组中选择相同数量的物体。

将下图中的每一个球区分对待，从同一水平排中选择3个球有多少种方法?

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最小的行有3个球，最大的行有9个球。从同一行中选择3个球的方法的数量可以表示为二项式系数的总和。然后可以通过曲棍球棒标识计算，

$\ \和limits_ {k = 3} ^ {9} \ binom {k} {3} = \ binom{10}{4} = 210。$

所以,有 $颜色\ {# D61F06} {210}$方法选择3球从同一行。 $_\正方形$

您可能已经注意到Pascal的三角形包含对角线中的所有正整数。

这些元素中的每一个对应于二项式系数 $\ binom {n} {1},$在哪里 $N$就是帕斯卡三角形的那行。所有正整数的和 $N$被称为 $n ^ \文本{th}$三角形．它可以表示为

$\ \和limits_ {k = 1} ^ {n} {k} = \ \ limits_总和{k = 1} ^ {n} \ binom {k}{1}。$

这两个表达式是等价的 $k = \ binom {k}{1}。$由于这个和可以表示为二项式系数的和，它可以用曲棍球棒恒等式计算:

第一个的总和 $N$正整数是

$\ \和limits_ {k = 1} ^ {n} {k} = \ \ limits_总和{k = 1} ^ {n} \ binom {k} {1} = \ binom {n + 1}{2}。\ _ \广场$

这就引出了更广为人知的三角数公式。

第一个的总和 $N$正整数是

$\ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} {k} {k} {k} = \ binom {n + 1} {2} = \ frac {（n + 1）！} {（n-1）！（2）！}= \ frac {n（n + 1）} {2}。\ _ \ square$

由于每个三角形数可以用二项式系数表示，因此可以使用曲棍球棒标识来计算三角形数量的总和。

第一个的总和 $N$三角形的数量是

$\ \和limits_ {k = 1} ^ {n} \总和\ limits_ {j = 1} ^ {k} {j} = \ \ limits_总和{k = 1} ^ {n} \ binom {k + 1} {2} = \ binom {n + 2}{3}。\ _ \广场$

这也可以代数代数。

第一个的总和 $N$三角形的数量是

$\总和\ limits_ {K = 1} ^ {N} \总和\ limits_ {J = 1} ^ {K} {Ĵ} = \ binom {N + 2} {3} = \压裂{（N + 2）！} {（n-1）！（3）！} = \ frac {n（n + 1）（n + 2）} {6}。\ _ \ square$

曲棍球棒恒等式可以用来发展恒等式自然数量的总和．

第一个的正方形的总和 $N$正整数是

$\ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} {k ^ 2} = \ frac {n（n + 1）（2n + 1）} {6} = 2 \ binom {n + 2} {3} -\ binom {n + 1} {2}。\ _ \ square$

从前面的例子中召回的是第一个总和的身份 $N$正整数是

$\ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} k = \ binom {n + 1} {2} = \ frac {n（n + 1）} {2}。$

第一个的总和 $N$三角数可以表示为

$\ \和limits_ {k = 1} ^ {n} \压裂{k (k + 1)}{2} = \压裂{1}{2}\ sum_ {k = 1} ^ {n} {k ^ 2} + \压裂{1}{2}\总和\ limits_ {k = 1} ^ {n} {k}。$

第一个的总和 $N$之前使用曲棍球棍恒等式发现了三角数:

$\ \和limits_ {k = 1} ^ {n} \压裂{k (k + 1)}{2} = \压裂{n (n + 1) (n + 2)}{6}。$

代替这些身份，第一件的身份 $N$正整数可以发展为:

$\开始{对齐}\压裂{n (n + 1) (n + 2)}{6} & = \压裂{1}{2}\ sum_ {k = 1} ^ {n} {k ^ 2} + \压裂{1}{2}\离开(\压裂{n (n + 1)}{2} \) \ \ \ \ \压裂{1}{2}\ sum_ {k = 1} ^ {n} {k ^ 2} & = \压裂{n (n + 1) (n + 2)}{6} - \压裂{n (n + 1)} {4} \ \ \ \ \ sum_ {k = 1} ^ {n} {k ^ 2} & = \压裂{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}。\结束{对齐}$

这也可以根据二项式系数编写：

$\ \和limits_ {k = 1} ^ {n} {k ^ 2} = 2 \ binom {n + 2} {3} - \ binom {n + 1}{2}。\ _ \广场$

这种方法可以无限期地继续，以便为自然数的任何力量的总和开发身份。

第一个立方体的总和 $N$自然数量是

$\ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} {k ^ 3} = \ frac {n ^ 2（n + 1）^ 2} {4} = 6 \ binom {n + 3} {4} -6\ binom {n + 2} {3} + \ binom {n + 1} {2}。\ _ \ square$

考虑正整数的正方形之和上以前的身份：

$\ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} {k ^ 2} = \ frac {n（n + 1）（2n + 1）} {6} = 2 \ binom {n + 2} {3} -\ binom {n + 1} {2}。$

现在考虑正整数平方和的和:

${对齐}\总和\ \开始limits_ {k = 1} ^ {n} \ \ limits_总和{j = 1} ^ {k} {k ^ 2} & = \ \ limits_总和{k = 1} ^ {n} \压裂{k (k + 1) (2 k + 1)} {6 } \\ \\ &= \ 压裂{1}{3}\ \ limits_总和{k = 1} ^ {n} {k ^ 3} + \压裂{1}{2}\ \ limits_总和{k = 1} ^ {n} {k ^ 2} + \压裂{1}{6}\ \ limits_总和{k = 1} ^ {n} {k}。\结束{对齐}$

该总和可以使用二项式系数和曲棍球棒标识来计算：

$\开始{对齐}\ \ limits_总和{k = 1} ^ {n} \ \ limits_总和{j = 1} ^ {k} {k ^ 2} & = \ \ limits_总和{k = 1} ^ {n}左\ [2 \ binom {k + 2} {3} - \ binom {k + 1} {2} \ ] \\ \\ &= 2 \ binom {n + 3}, {4} \ binom {n + 2} {3 } \\ \\ &= \ 压裂{n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}{12} - \压裂{n (n + 1) (n + 2)} {6 } \\ \\ &= \ 压裂{n (n + 1) ^ 2 (n + 2)}{12}。\结束{对齐}$

替代这些身份给出

$\ begin {对齐} \ frac {n（n + 1）^ 2（n + 2）} {12}＆= \ frac {1} {3} \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} {k^ 3} + \ frac {n（n + 1）（2n + 1）} {12} + \ frac {n（n + 1）} {12} \\\\＆= \ frac {1} {3}\ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} {k ^ 3} + \ frac {2n（n + 1）^ 2} {12} \\\\\ \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} {k ^ 3}＆= \ frac {n ^ 2（n + 1）^ 2} {4}。\结束{对齐}$

这也可以用二项式系数表示:

$\ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} {k ^ 3} = 6 \ binom {n + 3} {4} -6 \ binom {n + 2} {3} + \ binom {n + 1}{2}。\ _ \ Square$

归纳证明曲棍球棍身份:

基本情况： $r = n$

我们有

${对齐}\ \开始sum_ {k = n} ^ {n} \ binom {k} {n} = \ binom {n} {n} & = 1 \ \ \ \ \ binom {n + 1} {n + 1} & = 1。\结束{对齐}$

归纳步骤：

假设为整数 $N$和 $r \（n \ ge r），$

$k = r \ sum_ {} ^ {n} \ binom {k} {r} = \ binom {n + 1} {r + 1}。$

然后,

${对齐}\ \开始sum_ {k = r} ^ {n + 1} \ binom {k} {r} & = \ binom {n + 1} {r + 1} + \ binom {n + 1} {r } \\ \\ &= \ 压裂{(n + 1) !} {(n-r) ! (r + 1) !} + \压裂{(n + 1) !} {(n-r + 1) r !} \\ \\ &= \ 压裂{(n-r + 1) (n + 1) !} {(n-r + 1) ! (r + 1) !} + \压裂{(r + 1) (n + 1) !} {(n-r + 1) ! (r + 1) !}{(n-r+1)!(r+1)!} \\ \\ &= \binom{n+2}{r+1}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

组合使用证明相同的物体进入不同的垃圾箱

想象一下 $m$要分发到的相同对象 $问：$不同的垃圾箱，使得一些垃圾箱可以留空。使用上面的链接Wiki页面上概述的恒星和条形方法，这可以完成 $\ displaystyle \ binom {m + q-1} {q-1}$的方式。

现在考虑一种稍微不同的方法来计算相同的结果。分发 $j$第一个对象 $q1$然后分配剩下的 $m j$对象放入最后一个容器。这可以在 $\ displaystyle \ binom {j + q2} {q2}$每个价值的方式 $j。$计算所有可能的值之间的所有分布 $j$取决于 $m$：

$\ \和limits_ j = {0} ^ {m} \ binom {j + q2} {q2}。$

这两种计算分布的方法 $m$相同的对象 $问：$bin是等价的，因此给出结果的表达式是相等的:

$\ Sum \ limits_ {j = 0} ^ {m} \ binom {j + q-2} {q-2} = \ binom {m + q-1} {q-1}。$

让 $k = j + q-2，$让 $r = q2,$然后让 $n = m + q2。$将这些变量代入上面的恒等式，就得到了曲棍球棍恒等式:

$\ sum \ limits_ {k = r} ^ {n} \ binom {k} {r} = \ binom {n + 1} {r + 1}。\ _ \ square$