无理数的历史
无理数是具有十进制展开的数字,它既不显示周期性(某种模式递归)也不终止。让我们来看看他们的历史。
Metapontum的希帕苏斯,毕达哥拉斯学派的希腊哲学家,被广泛认为是第一个认识到存在的人无理数.据说,他想用老师的著名的定理 求单位正方形对角线的长度。这表明正方形的边长与其对角线是不可公约数的,这个长度不能表示为两个整数的比值。由于其他毕达哥拉斯学派认为只有正有理数才能存在,接下来发生的事情几个世纪以来一直是人们猜测的主题。简而言之,希帕苏斯可能因为他的发现而死。
那么,希帕苏斯到底发生了什么?可能没有人知道确切的答案,但下面是一些更广为人知的故事。
- 有些人认为毕达哥拉斯对不可通约性的概念非常恐惧,以至于他们在一次航海中把希帕苏斯扔到海里,并发誓要保守无理数存在的秘密。
- 希帕苏斯发现了无理数,毕达哥拉斯学派排斥他,众神对他的发现非常厌恶,甚至把他的船凿沉在公海上。
- 希帕苏斯发现了无理数,然后在一次海上航行中死于一次自然事故(大海是一个危险的地方)。尽管如此,他的同事们仍然对他的发现非常不满,他们希望自己是把他扔到海里的人。
另一种可能性是,上面的故事都不是真的,它们都是为了说明历史上一个关键时刻而编造和修饰的故事。
然而,如果希帕苏斯确实发现了无理数,就不清楚他用了什么方法。对于好奇的人,Brilliant总结页面上有理数累积到欧几里德几何学的不合理的证据 .这是希帕苏斯可能做的一种方式。然而,许多学者认为欧几里得的方法(写于希帕苏斯之后300年)比希帕苏斯所能做到的更先进。
不管实际发生了什么,很难想象有一个时代,证明无理数的存在是一种道德上的违背。
至少在有记载的历史上,人类都有数字。我们最早的数字和数学基础来源于计算和测量事物的实际需要。直观地看到,正的、非零的自然数是如何从计数过程中“自然地”产生的。我们也很容易看出,测量如何把不能被分成整数单位的东西表示出来,或者它的尺寸介于整数之间。发明分数是有实际意义的,就像自然数的比率一样。发现正有理数可能是非常直观的。
数字可能源于纯粹的实际需要,但对毕达哥拉斯学派来说,数字也是他们哲学和宗教的精神基础。毕达哥拉斯的宇宙学、物理学、伦理学和灵性都建立在“一切都是数字”的前提之上。他们相信,所有的事物——天空中星星的数量、音阶的音高,甚至美德的品质——都可以用有理数来描述和理解。
这是一个 世纪对毕达哥拉斯学派庆祝日出的描绘(费奥多尔·布朗尼科夫)。毕达哥拉斯学派把神秘的意义归功于他们在任何事物中都能感知有理数的存在,无论是日出还是音乐和声。
认为正有理数可以构成宇宙中所有事物的基础的一个原因是它们的数量是无限的。从直觉上看,无限多的数字足以描述任何可能存在的东西,这似乎是合理的。沿着数轴,有理数是深不可测的“密集”。两者之间没有太多的“空间” 而且 但如果你需要描述这两个数字之间的某个数,你可以毫不费力地找到它们之间的分数。
数轴上有无限密集的有理数。无理数的存在意味着,尽管有无限的密度,数轴上仍然有洞,不能用两个整数的比值来描述。
毕达哥拉斯学派可能曾经手工测量过单位正方形的对角线。他们可能认为这个测量值是一个近似值,接近于一个精确的有理数,而这个有理数一定是对角线的真实长度。在希帕苏斯之前,他们没有理由怀疑存在逻辑上的实数,而这些实数不仅在实践中不能被测量或计算。
如果你相信所有的数字都是有理数,有理数是宇宙中所有事物的基础,那么发现一个不能用两个整数之比表示的东西就像发现宇宙中有一个巨大的空白。在这个看似有序的世界里,无理数是无意义的标志。毕达哥拉斯学派希望数字是你可以依赖的东西,并且所有的东西都可以作为有理数来计算。无理数的发现证明了宇宙中存在着有理数无法理解的事物,这不仅威胁到了毕达哥拉斯的数学,也威胁到了他们的哲学。