海伦的公式

海伦的公式是一个公式，可以用来计算三角形的面积，当给定它的三个边长时。它可以应用于任何形状的三角形，只要我们知道它的三个边长。公式如下:

三角形的面积，其边长为 $a、b$而且 $c$是由

$= \√6 {s(年代)(sb) (s-c)},$

在哪里 $S =\dfrac{(\text{三角形的周长})}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}$三角形的半周长。

其他有用的表格有

$\{对齐}一开始= \压裂1 4 \√{(a + b + c) (a + c) (a - b + c) (a + b + c)} \ \ \ \一个= \压裂1 4 \√{大\ [(a + b + c)大(a + c) \] \ * \大\[大(+ (a - b) + c \大)、大(- (a - b) + c \大)大\]}\ \一个= \压裂1 4 \√{大\ [(a + b) ^ 2 c ^ 2大\]\ \ \倍大(c ^ 2 - (a - b) ^ 2 \]大}\ \ \ \一个= \压裂{1}{4}\√6 ^ 2 b ^ 2 - 4{\大(^ ^ 2 + b 2 c ^ 2 \大)^ 2}\ \一个= \压裂{1}{4}\√6{2左\ (^ 2 b c ^ 2 + 2 ^ ^ ^ 2 + b 2 c ^ 2 \右)- \离开(4 ^ + ^ 4 b + c ^ 4 \右)}\ \一个= \压裂{1}{4}\√6{\离开(^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 \右)^ 2 - 2 \离开(4 ^ + ^ 4 b + c ^ 4 \右)}。结束\{对齐}$

虽然这看起来有点棘手(事实上确实如此)，但当我们需要计算三角形的面积时，它可能会派上用场，而我们除了三角形的三个边长外没有其他信息。

这个公式由面积公式推导而来 $= \压裂{1}{2}ab罪\ C$．

由余弦定理， $\因为C = \压裂{a ^ 2 + ^ 2 C ^ 2} {2 ab}$．

替换到毕达哥拉斯的身份 $罪\ C = \ sqrt {1 - \ cos ^ 2 C}$得到了赫伦公式(经过一系列的代数运算)。 $_ \广场$

求下面三角形的面积。

Imgur

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因为三个边长都等于6，所以半周长是 $s = \压裂{6 + 6 + 6}{2}= 9$．因此三角形的面积是

$大概{9 = \ \ *(因)\ *(因)\ *(因)}= 9 \ sqrt{3}。\ _ \广场$

求下面三角形的面积。

Imgur

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因为三个边长分别是4,5,7，所以半周长是 $s = \压裂{4 + 5 + 7}{2}= 8$．因此三角形的面积是

$大概{- 8 = \ \ *(8 - 4)\ *(8 - 5)\ *(以8:7)}= 4 \ sqrt{6}。\ _ \广场$

边长为13,14,15的三角形的面积是多少?

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因为三个边长分别是13,14,15，所以半周长是 $s = \压裂{13 + 14 + 15}{2}= 21$．因此三角形的面积是

$大概{21 = \ \ *(21-13)\ *(18)\ *(-)}= 84。\ _ \广场$

求下面三角形的面积。

Imgur

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因为三个边长分别是6,8和10，所以半周长是 $s = \压裂{6 + 8 + 10}{2}= 12$．因此三角形的面积是

$大概{12 = \ \ *(曾)\ *(负)\ *(成员)}= 24。\ _ \广场$

求一个边长为三角形的面积 $4、13$而且 $15$．

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我们有 $= 4, b = 13, c = 15$而且 $s = \压裂{4 + 13 + 15}{2}= 16$．因此,

$A = \ root{16(16-4)(16-13)(16-15)} = 24。\ _ \广场$

找出三角形的黑色轮廓区域。

图像

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我们可以用勾股定理求出边长是 $5、\根管{29}，2 \根管{10}$．
如果我们用的直接形式 $A = \sqrt{s (s- A)(s-b)(s-c)}$我们很快就会陷入混乱因为这些长度不是整数。

相反，我们将使用Heron公式的另一种形式:

$\开始{对齐}& = \压裂{1}{4}\ sqrt{2 \大(^ 2 b c ^ 2 + 2 ^ ^ ^ 2 + b 2 c ^ 2 \大)——\大(4 ^ + ^ 4 b + c ^ 4 \大 )} \\ & = \ 压裂{1}{4}\ sqrt{2(25 \×29 + 25 \ * 40 + 29 \ * 40)- 25 ^ 2 - 29 40 ^ ^ 2 - 2所示 } \\ & = \ 压裂{1}{4}\ sqrt {2704 } \\ & = 13。\ \ _ \广场结束{对齐}$

注意:这个三角形出现在综合数据这是一种更简单的方法。

求下面三角形的面积。

Imgur

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因为三个边长都等于6，所以半周长是 $s = \压裂{6 + 6 + 6}{2}= 9$．因此三角形的面积是

$大概{9 = \ \ *(因)\ *(因)\ *(因)}= 9 \ sqrt{3}。\ _ \广场$

求下面三角形的面积。

Imgur

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因为三个边长分别是4,5,7，所以半周长是 $s = \压裂{4 + 5 + 7}{2}= 8$．因此三角形的面积是

$大概{- 8 = \ \ *(8 - 4)\ *(8 - 5)\ *(以8:7)}= 4 \ sqrt{6}。\ _ \广场$

边长为13,14,15的三角形的面积是多少?

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因为三个边长分别是13,14,15，所以半周长是 $s = \压裂{13 + 14 + 15}{2}= 21$．因此三角形的面积是

$大概{21 = \ \ *(21-13)\ *(18)\ *(-)}= 84。\ _ \广场$

求下面三角形的面积。

Imgur

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因为三个边长分别是6,8和10，所以半周长是 $s = \压裂{6 + 8 + 10}{2}= 12$．因此三角形的面积是

$大概{12 = \ \ *(曾)\ *(负)\ *(成员)}= 24。\ _ \广场$