海森堡不确定性原理gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba海森堡不确定性原理gydF4y2Ba是某些类型的物理变量之间的关系，比如位置和动量，这大概说明你永远不可能同时准确地知道这两个变量。通俗地说，这意味着在量子力学中，粒子的位置和动量永远不可能被准确地知道。gydF4y2Ba

在数学上，海森堡测不准原理是共轭变量对的不确定性乘积的下界。最著名的表达式是将位置和动量作为共轭变量:gydF4y2Ba

$\sigma_x \sigma_p \geq \frac{\hbar}{2}。gydF4y2Ba$

假设一个粒子的位置已知得非常精确，所以gydF4y2Ba $\ sigma_xgydF4y2Ba$非常小。然后用测不准原理证明gydF4y2Ba $\ sigma_pgydF4y2Ba$必须是大的，即动量是不精确的。此外，不确定性不可能消失，因此位置和动量都不可能被精确测量。gydF4y2Ba

上图:位置不确定性高的状态(红色)有一个小的动量不确定性(蓝色)，反之(底部)。gydF4y2Ba

在海森堡测不准原理中饱和不等式的状态被称为gydF4y2Ba挤压状态gydF4y2Ba，其中相干态，如激光中的光子态是其中的一个子类。gydF4y2Ba

不确定原理涉及两个标准偏差gydF4y2Ba共轭变量gydF4y2Ba，它是任意两个相互关联的变量gydF4y2Ba傅里叶变换gydF4y2Ba．例如,gydF4y2Ba波函数gydF4y2Ba为:gydF4y2Ba

$\ Psi (x, t) = \压裂{1}{\ sqrt{2 \π\百巴}}\ int_ {- \ infty} ^ {\ infty}{\φ(p)} {e} ^{我(px-Et) / \百巴}dp,gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $\φ(p)gydF4y2Ba$是确定动量的状态，即。gydF4y2Ba态下gydF4y2Ba动量算符。gydF4y2Ba

如果我们让gydF4y2Ba $\φ(p、t) ={\φ(p)} {e} ^{专业/ \百巴}gydF4y2Ba$，积分变成gydF4y2Ba

$\ Psi (x, t) = \压裂{1}{\ sqrt{2 \π\百巴}}\ int_ {- \ infty} ^ {\ infty}{\φ(p t)} {e} ^ {ipx / \百巴}dp。gydF4y2Ba$

因此，位置空间波函数gydF4y2Ba $\ Psi (x, t)gydF4y2Ba$实际上是另一个波函数的傅里叶变换，它依赖于动量。这一波函数,gydF4y2Ba $\φ(p、t)gydF4y2Ba$，称为动量空间波函数。gydF4y2Ba

对于位置空间波函数，可以通过傅里叶反变换恢复动量空间波函数:gydF4y2Ba

$\φ(p、t) = \压裂{1}{大概{2 \π\百巴}}\ \ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ Psi (x, t)} {e} ^ {ipx / \百巴}dx。gydF4y2Ba$

这种傅里叶分析获得了显示两个变量之间的直接关系的有趣结果gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $pgydF4y2Ba$在不同的空间描述相同的波包。在这个例子中，一个自由粒子在位置空间中被测量gydF4y2Ba $\ Psi (x, t)gydF4y2Ba$，但在动量空间中由gydF4y2Ba $\φ(p、t)gydF4y2Ba$．无论人们选择哪个空间来测量粒子，其物理性质都不会改变。因此，这种共轭变量的关系使得在物理实验中可以用两种方法来测量粒子。事实上，许多晶体学和固体物理学依赖于动量空间而不是位置空间的测量。gydF4y2Ba

标准偏差gydF4y2Ba $\ sigma_xgydF4y2Ba$一些变量gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$被定义为gydF4y2Ba

$∑_{x}^{2} =左角{(x-\角x \角)}^{2}右角=左角x^2右角-角x^2gydF4y2Ba$

也就是说,gydF4y2Ba $\ sigma_x ^ 2gydF4y2Ba$给出与均值差的平方gydF4y2Ba $\ langle x \捕杀gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

测不准原理适用于任何量子力学状态gydF4y2Ba $| \ Psi \捕杀gydF4y2Ba$．因此，推导不确定原理需要考虑的期望值gydF4y2Ba $(x -角x)^2gydF4y2Ba$在任意状态下gydF4y2Ba $| \ Psi \捕杀gydF4y2Ba$．这个期望值由:gydF4y2Ba

${\σ}_ {x} ^{2} = \左左| \ langle \ Psi \ \离开(\帽子{x} - {x} \ langle \帽子\纠正\右)^ 2 \右| \ Psi \ \捕杀。gydF4y2Ba$

自gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$埃尔米特,设置gydF4y2Ba $f =(\帽子{x} - {x} \ langle \帽子\纠正)\ PsigydF4y2Ba$给了gydF4y2Ba ${\σ}_ {x} ^ {2} = \ langle | f \捕杀gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

同理，动量不确定性为:gydF4y2Ba

$p{\σ}_{}^{2}= \左左| \ langle \ Psi \ \离开帽子(\ p{} -帽子\ langle \ p{} \纠正\右)^ 2 \右| \ Psi \ \捕杀= \ langle g | g \捕杀,gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $帽子g = (\ p{} -帽子\ langle \ p{} \纠正)\ PsigydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

巧妙的应用gydF4y2Bacauchy - schwarz不平等gydF4y2Ba给出了海森堡测不准原理的大致形式:gydF4y2Ba

${\σ}_ {x} ^{2}{\σ}_ {p} ^ {2} = \ langle | f \纠正\ langle g | g \纠正\通用电气{| \ langle f | g \捕杀|}^{2}。gydF4y2Ba$

为了得到最后的表达式，计算右边gydF4y2Ba $\ langle f | g \捕杀gydF4y2Ba$上图:gydF4y2Ba

$\开始{对齐}\ langle f | g \纠正& = \ langle(\帽子{x} - {x} \ langle \帽子\纠正)\ Psi |(\帽子{p} -帽子\ langle \ p{} \纠正)\ Psi \纠正\ \ & = \ langle \ Psi |(\帽子{x} - {x} \ langle \帽子\纠正)(\帽子{p} -帽子\ langle \ p{} \纠正)\ Psi \纠正\ \& = \ langle \ Psi | ({x} \ \帽子帽子{p} - {x} \ \帽子帽子langle \ p{} \纠正)——帽子帽子\ p {} \ langle \ {x} \纠正+ \ langle \帽子帽子{x} \纠正\ langle \ p{} \纠正)\ Psi \纠正\ \ & = \ langle \ Psi | {x} \ \帽子帽子p {} \ Psi \纠正——\ langle p \纠正\ langle \ψ| \帽子{x} \ \纠正——\ langle x \纠正\ langle \ψ| \帽子{p} \ \纠正+ \ langle x \纠正\ langle p \纠正\ langle \ψ| \ \纠正\ \& = \ langle \帽子帽子{x} \ p{} \纠正——\ langle \帽{p} \纠正\ langle \帽{x} \纠正——\ langle \帽子帽子{x} \纠正\ langle \ p{} \纠正+ \ langle \帽子帽子{x} \纠正\ langle \ p{} \纠正\ \ & = \ langle \帽子帽子{x} \ p{} \纠正——\ langle \帽{p} \纠正\ langle \帽{x} \捕杀。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

取复共轭，gydF4y2Ba

$\ langle g | f \捕杀= \ langle \帽子{p} \帽子{x} \纠正——\ langle \帽子帽子{x} \纠正\ langle \ p{} \捕杀。gydF4y2Ba$

利用复数的下列性质:gydF4y2Ba ${z} ^ {*} z \通用电气{\离开[\压裂{1}{2}我(z - z{} ^{*}) \右]}^ {2},gydF4y2Ba$

替换gydF4y2Ba $zgydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $\ langle f | g \捕杀gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba ${z} ^ {*}gydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $\ langle g | f \捕杀gydF4y2Ba$收益率gydF4y2Ba

${\σ}_ {x} ^{2}{\σ}_ {p} ^{2} \通用电气{\离开[\压裂{1}{2}我(\ langle f | g \纠正- \ langle g | f \捕杀)\右]}^{2}。gydF4y2Ba$

代回之前计算的所有内积，这就变成了gydF4y2Ba

${\σ}_ {x} ^{2}{\σ}_ {p} ^{2} \通用电气{\左| \压裂{1}{2}我左\ \ langle [{x} \帽子,帽子\ p{}] \ \纠正\权利|}^{2}。gydF4y2Ba$

这就是广义海森堡测不准原理。注意，以上推导的任何部分都没有使用以下事实gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $pgydF4y2Ba$表示位置和动量，只是因为它们是共轭变量。因此，上述不等式对任意两个共轭变量都成立。gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba规范对易关系gydF4y2Ba给了gydF4y2Ba $[{x} \帽子,帽子\ p{}] =我\百巴gydF4y2Ba$．代入上面的式子，然后取平方根，就得到了海森堡测不准原理最著名的形式:gydF4y2Ba

${\σ}_ {x}{\σ}_ {p} \通用电气\压裂{\百巴}{2}。gydF4y2Ba$

在量子力学的讨论中经常提到的另一个不确定关系是gydF4y2Baenergy-time不确定性原理gydF4y2Ba，gydF4y2Ba

$\sigma_E \sigma_t \geq \frac{\hbar}{2}。gydF4y2Ba$

很容易将这个方程解释为:在足够短的时间尺度内，系统的能量可以以任意大的量波动。这种解释通常被描述为粒子-反粒子的产生和湮灭，粒子和它的反粒子在碰撞和回到真空之前通过“借来”的能量自发地从真空中短暂出现。然而，这种解释不是很精确，给定的不等式在量子力学中不是很明确，尽管有很好的物理解释。它没有明确定义的原因是，在量子力学中没有对应于时间测量的算符，尽管哈密顿量是对应于能量的算符。然而，正如本节所解释的，通过考虑任意算符的测量如何随时间变化，有一些方法可以理解能量-时间不确定性原理。gydF4y2Ba

由于时间不是一个算符，所以时间是如何进入量子力学的根本就不清楚。答案是，时间被纳入gydF4y2Ba薛定谔方程gydF4y2Ba，它描述了波函数的时间变化率。身体上,时间的流逝记录的注意的是,某些物理观察随时间变化:例如,也许一个粒子的位置变化,哪一种解释是运动随着时间的推移,或粒子的动量变化,这一解释,加速或减速。gydF4y2Ba

要量化这一表述，请考虑gydF4y2Ba埃伦定理gydF4y2Ba控制运算符期望值的动力学gydF4y2Ba ${一}\帽子gydF4y2Ba$用哈密顿量换位子来表示:gydF4y2Ba

$\frac{d}{dt}\left\ angle\hat{A}\right\rangle =\frac{i}{\hbar}\left\ angle\left[\hat{H}，\hat{A}}\right\rangle +\left\ angle\frac{partial \hat{A}}{partial t}\right\rangle。gydF4y2Ba$

假设gydF4y2Ba ${一}\帽子gydF4y2Ba$不明确地依赖于时间(这是典型的情况)，第二项消失和gydF4y2Ba $\ \ langle \离开离开[\帽子{H},{} \ \帽子正确)\ \捕杀gydF4y2Ba$通常是零。因此,gydF4y2Ba $帽子\ {H}gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba ${一}\帽子gydF4y2Ba$满足广义海森堡不确定性关系:gydF4y2Ba

$\ sigma_H ^ 2 \ sigma_A ^ 2 \组的左|{\ \压裂{1}{2我}\离开\ langle \[\帽子{H},{} \ \帽子正确]\ \纠正\权利|}^{2}={\左| \压裂{1}{2我}\压裂{\百巴}{我}\压裂{d \左右\ langle \帽子{一}\ \捕杀}{dt} \右|}^{2}= \压裂{\百巴^ 2}{4}\左| \压裂{d \左右\ langle \帽子{一}\ \捕杀}{dt} \右| ^ 2gydF4y2Ba$

值得注意的是，由于哈密顿量是能量算符，gydF4y2Ba $\ sigma_HgydF4y2Ba$对应于能量的不确定性。gydF4y2Ba

取平方根可以得到以下关系式:gydF4y2Ba

${sigma_H \sigma_A \geq \frac{\hbar}{2} \left|\frac{d\left langle \hat{A} \right\rangle}{dt} right|。gydF4y2Ba$

定义gydF4y2Ba $\ sigma_tgydF4y2Ba$的关系:gydF4y2Ba

${sigma_A = left|\frac{d\left angle \hat{A} \right\rangle}{dt} \right| \sigma_t。gydF4y2Ba$

换句话说,gydF4y2Ba $\ sigma_tgydF4y2Ba$对应于它所花费的测量值的时间gydF4y2Ba $\ \ langle \离开帽子{}\ \捕杀gydF4y2Ba$将由gydF4y2Ba $\ sigma_AgydF4y2Ba$,因为gydF4y2Ba任何运营商gydF4y2Ba ${一}\帽子gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

根据这个定义，代入in得到如下关系:gydF4y2Ba

$\sigma_H \sigma_t \geq \frac{\hbar}{2}，gydF4y2Ba$

这是能量-时间测不准原理的更严格的表达。在形式上，使用的是gydF4y2Ba $\ sigma_tgydF4y2Ba$我们可以看到，如果能量变化缓慢，那么任何可观测算符的所有期望值的变化率也一定是缓慢的。这是有意义的，因为如果能量(即哈密顿量)变化缓慢，由哈密顿量演化而来的波函数本身也会变化缓慢，因此对应于波函数测量值的可观测值也必然会变化缓慢。gydF4y2Ba

大卫·J·格里菲斯gydF4y2Ba量子力学概论gydF4y2Ba．第二版。皮尔森:上马鞍河，新泽西州，2006年。gydF4y2Ba