谐波进展

一个谐波级数一个实数序列是由an的倒数组成的吗算术进展．等效，它是一系列实数，使得序列中的任何术语是谐波意味着它的两个邻居。

序列 $1,2,3,4,5,6，\ ldots$是等差数列，它的倒数是多少 $\压裂{1}{1},\压裂{1}{2},\压裂{1},{3}\压裂{1},{4}\ ldots$是一个谐波的进展。

序列 $an$是a谐波级数(HP)，如果序列中任意项是其两个相邻项的调和均值。 $_ \广场$

一个数列是调和级数当且仅当它的项是等差级数的倒数，而等差级数不包含 $0。$ $_ \广场$

的调和平均值 $\ frac1 {a +（n-1）d}$和 $\ frac1 {+ (n + 1)维}$是

$\ frac2 {+ (n - 1) d + + (n + 1)维}= \ frac2 {2 + 2} = \ frac1 {+ nd},$

这就证明了这句话的"如果"“只有如果”部分与之相似，作为练习:将前两项写成 $\ frac1{一}$和 $\ frac1 {a + d}，$证明第三项是 $\ frac1 {a + 2d}，$第四项是 $\ frac1 {+ 3 d},$以此类推。 $_ \广场$

如果 $3 ^ \文本{rd}$惠普的术语是 $3.$和 $10 ^ \文本{th}$term of the same HP is $10$， HP的最大可能长度是多少?

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HP的倒数构成一个等差数列 $A，A + D，A + 2D，\ LDOTS$．然后 $A + 2d = \frac{1}{3}$和 $A + 9d = \frac{1}{10}。$

这给了 $= \压裂{2}{5}$， $d = - \ frac {1} {30}。$请注意, $+ 12 d = 0,$所以算术进展只能有 $12$包含之前的条款 $0。$所以答案是 $12.$ $_ \广场$

$（$练习:如果 $m ^ \ text {th}$项是 $米$和 $n ^ \ text {th}$项是 $n，$答案是 $m + n - 1)。$

如果第一个 $2$调和级数的项 $an$是 $\压裂{1}{19}$和 $\压裂{1}{17},$求最大部分和 $\ \和limits_ {n = 1} ^ k an。$

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惠普的条款是

$\ frac {1} {19}，\ \ frac {1} {17}，\ \ frac {1} {15}，\ \ ldots，\ \ \ \ \ \ frac {1} {3}，\ \ frac {1} {1}，\ \ FRAC {1} { - 1}，\ \ FRAC {1} { - 3}，\ \ LDOTS。$

所以最大部分总和是

$\ \压裂{1}{19}+压裂{1}{17}+ \压裂{1}{15}+ \ cdots + \压裂{1}{1}\约2.13。\ _ \广场$

下一节将给出调和级数的部分和的一般近似。

如果第一个的和 $2$惠普的条件是 $\压裂{17}{70}$，下一个的和 $2$术语是 $\ frac {5} {4}$，以及以下总和 $2$术语是 $\ frac {-7} {10}$，找到以下总和 $2$(再一次)。

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根据问题陈述，

${对齐}\ \开始压裂{1}{}+ \压裂{1}{(+ d)} & = \压裂{17}{70}& \ qquad(1) \ \ \压裂{1}{(+ 2 d)} + \压裂{1}{(+ 3 d)} & = \压裂{5}{4}& \ qquad(2) \ \ \压裂{1}{(a + 4 d)} + \压裂{1}{(+ 5 d)} & = \压裂{7}{10}。& \ qquad(3)结束\{对齐}$

解决任何两个 $（1），（2），$和 $（3）$同时给予 $一个= 10$和 $d = 3$．

因此，答案是

$\ frac {1} {（a + 6d）} + \ frac {1} {（a + 7d）} = \ frac {-19} {88}。\ _ \ square$

调和级数的部分和常常是令人感兴趣的。例如,谐波数是调和级数的部分和吗 $1、\ fr12， \ fr13， \ldots$．下面对调和级数的部分和的近似是由Brillianteer推导出来的Aneesh茶室．

目标是找到总和 $S_N.$的条款 $\ frac1{一},\ frac1 {+ d}, \ ldots \ frac1 {+ d (n - 1)},$在哪里 $d > 0$．

考虑到功能 $f (x) = \压裂{1}{x}$,并考虑黎曼和矩形的宽度 $d$从 $x =一个$来 $x = a + (n - 1) d$．

在这里, $我^ \文本{th}$矩形的长度 $\ frac1 {a +（i-1）d}$，每个矩形的宽度是常数 $d$．所以这些矩形的面积之和近似等于曲线下的面积。

也就是曲线下的面积 $x = a - \压裂{d} {2}$来 $x = a + (n - \压裂{1}{2})d$大约是 $\ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {d} {a +（i-1）d}：$

$\ begin {对齐} \ int_ {a- \ frac {1} {2}} ^ {a + \ big（n- \ frac {1} {2} \ big）d} \ frac1 {x} \，\ mathrm {d} x＆≈\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {d} {a +（i-1）d} \\ \ int_ {a- \ frac {1} {2}} ^ {a + \b我g(n-\frac{1}{2}\big)d} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x &≈ d \sum_{i=1}^{n} \frac1{a+(i-1)d}\\ d S_n &≈ \int_{a-\frac{1}{2}}^{a+\big(n-\frac{1}{2}\big)d} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x\\ S_n &≈ \left. \frac1{d} \ln(x) \right |_{a-\frac{1}{2}}^{a+\big(n-\frac{1}{2}\big)d}\\ S_n &≈ \frac1{d} \ln \left(\frac{2a+(2n-1)d}{2a-d} \right), \end{aligned}$

在哪里 $2 d≠$和 $d≠0$．

此公式何时提供良好的近似 $n$与之相比是非常大的吗 $d。$

上一节的示例涉及到计算 $左(\ \压裂{1}{19}+ \压裂{1}{17}+ \ cdots + \压裂{1}{3}\右)+ 1。$将公式应用于括号中的和，并重新排列项，以便 $d$是积极的，即 $= 3, d = 2, n = 9。$

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给的公式

$\{对齐}开始S_n &≈1 + \压裂{1}{2}\ ln \离开(\压裂{2(3)+(2(9)(1)(2)}{2(3)-(2)}\)\ \ &≈1 + \压裂{1}{2}\ ln \离开(\压裂{40}{4}\)\ \ &≈1 + \压裂{1}{2}\ ln(10) \ \ &≈2.15。结束\{对齐}$

这确实是上面给出的精确值的一个合理的近似。 $_ \广场$

另一个很好的近似 $S_N.$可以通过以下方式获得：

采取 $b = \压裂{一}{d}$,请注意

$\ begin {对齐} \ lim_ {n \ to \ infty} \ left（s_n- \ frac {1} {d} \ l left（\ frac {a + dn} {a + d}右）\右）＆\ frac {1} {d} \ lim_ {n \ to \ infty} \ left [\ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {1} {b + k} - \ ln \ left（\ frac {b+n}{b+1}\right)\right]\\ &=\frac{1}{d}\lim_{n\to \infty}\left[\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{b+k}-\frac{1}{k}\right)+\ln n-\ln\left(\frac{b+n}{b+1}\right)+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n\right]\\ &=-\frac{1}{d}\lim_{n\to \infty}\left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{b+k}\right)+\frac{\ln(b+1)}{d}+\frac{1}{d}\lim_{n\to \infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n\right). \end{aligned}$

第一项可以从Digamma功能作为

$\ psi (s + 1) = - \伽马+ \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \离开(\压裂{1}{k} - \压裂{1}{s + k} \右),$

在哪里 $\γ$是个欧拉 - Mascheroni常数，它被定义为

$\ lim_ {n \ \ infty} (H_n - \ n ln) = \伽马\约0.57722,$

在哪里 $H_n$是个谐波数量，从而简化了第三项。因此,我们得到

$\ lim_ {n \ to \ infty} \ left（s_n- \ frac {1} {d} \ l left（\ frac {a + dn} {a + d} \右）\ other）= \ frac {1} {d} \ big [ - \ gamma- \ psi（b + 1）+ \ ln（b + 1）+ \ gamma \ big] = \ frac {\ ln \ left（1+ \ frac {a} {d} \右） - \ psi \ left（1+ \ frac {a} {d} \ revent）} {d}。$

因此,对于大 $n$，我们得到近似值 $d S_n \大约\压裂{1}{}\离开(\ ln \左(n + \压裂{一}{d} \右)- \ psi(1 + \压裂{一}{d}) \右)$．

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