平面上的每个方向
R2有一个对应的单位向量,可以认为是圆上的一个点
年代1={(x,y)∈R2:x2+y2=1}.对于每个方向
米=(因为(θ),罪(θ))∈年代1有一条独特的线
ℓ(米)与边坡
棕褐色(θ)划分了区域
K1切成面积相等的两块。
此外,行
ℓ(米)分
R2分成两个区域,我们任意表示积极的一面
P(米)和消极的一面
N(米).定义一个函数
f:年代1→R通过
f(米):=区域(K2∩P(米)).也就是说,
f(米)等于部分的面积
K2正面的位于…的正面的
ℓ(米).自
f是一个连续函数,我们可以用
1维空间Borsuk-Ulam定理.这意味着存在一些问题
n∈年代1这样
f(n)=f(−n).
请注意,
f(−n)正是
区域(K2∩N(n)),自积极的一面
ℓ(−n)到底是负面的一面吗
ℓ(n).因此,
区域(K2∩P(n))=区域(K2∩N(n)).这意味着
ℓ(n)平分
K2.但是我们建造
ℓ这
ℓ(米)平分
K1对所有
米∈年代1.因此,线
ℓ(n)同时平分
K1而且
K2!
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