美术馆的问题gydF4y2Ba
考虑到博物馆的布局,守卫博物馆中每个点所需的最少守卫人数是多少?这个问题,常被称为gydF4y2Ba美术馆的问题gydF4y2Ba,是几个领域的交叉问题的一个例子,包括几何、离散数学和优化。通过解决这个问题,人们可以探索不同数学领域的想法,并看看如何将这些想法结合起来解决现实世界的问题!gydF4y2Ba
警卫和布局gydF4y2Ba
首先,让我们从数学上定义什么是保卫博物馆。在这个问题中,守卫必须保持在固定的位置,但能够通过旋转从他们的位置看到每个角度。用一个点来表示gydF4y2Ba 在博物馆里gydF4y2Ba可见gydF4y2Ba如果线段从一个保护点到另一个保护点gydF4y2Ba 位于博物馆内或沿着边界。gydF4y2Ba
博物馆左边的警卫可以从他所处的位置看到所有的点。右边博物馆的守卫看不清墙(用黑色遮挡),所以博物馆右下角没有守卫。gydF4y2Ba
我们假设我们的博物馆有直墙,所以博物馆的平面平面是一个多边形(这个分析不适用于像弗兰克·盖里的毕尔巴鄂古根海姆博物馆)。一个多边形gydF4y2Ba凸gydF4y2Ba如果连接多边形中任意两点的整个线段位于该多边形中。让我们从一个三角形开始,它是最简单的凸多边形。gydF4y2Ba
由于三角形是凸的,在博物馆的任何地方设置一个守卫,直线与博物馆中任何其他点之间的线段就在博物馆中。这适用于任何凸形状,因此任何凸多边形都可以由单个守卫来保护。相反的方向也是正确的吗?gydF4y2Ba
找到守卫的数量gydF4y2Ba
守卫一个平面为多边形的博物馆最少需要多少守卫gydF4y2Ba 墙吗?注意,为了回答这个问题,我们需要显示gydF4y2Ba
- 博物馆里有守卫的位置,所以博物馆里的每一个点都有守卫gydF4y2Ba
- 博物馆里守卫每一个点的警卫人数不会少。gydF4y2Ba
首先,我们定义floor函数gydF4y2Ba 对于任何实数gydF4y2Ba 是小于或等于的最大整数gydF4y2Ba .把底函数考虑为舍入到最接近的整数。例如,gydF4y2Ba
艺术画廊定理:gydF4y2Ba任何博物馆gydF4y2Ba 墙最多只能被守卫gydF4y2Ba 警卫。gydF4y2Ba
这个问题是由Vasek Chvatal在1975年及以下首次解决的,我们将给出Steve Fisk在1978年的完美证明。事实上,菲斯克对这个定理的证明是gydF4y2Ba有建设性的gydF4y2Ba,给出一个算法(或步骤序列),告诉我们在哪里放置守卫。为了证明定理的界限是紧密的,考虑博物馆gydF4y2Ba 梳子形状的墙壁。gydF4y2Ba
然后后卫为点gydF4y2Ba 必须位于带顶点的阴影三角形内gydF4y2Ba ,后卫负责得分gydF4y2Ba 必须位于带顶点的阴影三角形内gydF4y2Ba 等。因为这些三角形至少没有重叠gydF4y2Ba 警卫是必要的。但是根据画廊定理,gydF4y2Ba 守卫也是足够的,我们可以通过将守卫放置在每个阴影三角形的左下角来观察。一般来说,梳子博物馆布局给出了一个博物馆的例子gydF4y2Ba 这些墙需要gydF4y2Ba 它表明定理的界是可能的最好的。gydF4y2Ba
概括gydF4y2Ba
梳子博物馆最糟糕的例子似乎出现了,因为那里有非常尖锐的“角落”,限制了警卫的位置。如果我们考虑那些墙壁以直角相交的博物馆,那会怎么样呢gydF4y2Ba 角落里吗?这些平面图对应于正交的多边形,而由Kahn-Klawe-Kleitman、Lubiw和Sack-Toussaint给出的三个证明表明,总是存在一种构型gydF4y2Ba 守卫会守卫整个博物馆。gydF4y2Ba
应用程序gydF4y2Ba
计算几何的问题也很自然地出现在电子游戏编程中,通常需要基于虚拟世界进行计算,以创造真实的用户体验。想到一个游戏你发挥了虚拟世界和游戏必须解决的挑战,如检测物体发生碰撞时,代表虚拟世界的表面或地形,从您的输入检测运动游戏,确定对象的外观/能见度在您浏览这个世界。所有这些问题都涉及到计算几何、计算机图形学、计算机科学和算法。gydF4y2Ba
计算几何的其他应用包括gydF4y2Ba
- GPS的路线规划:确定位置、速度和方向gydF4y2Ba
- 集成电路设计gydF4y2Ba
- 设计和制造诸如汽车、轮船和飞机之类的物体gydF4y2Ba
- 计算机视觉,用于确定视线和设计电影中的特殊效果gydF4y2Ba
- 机器人技术,用来规划运动和能见度gydF4y2Ba
画廊定理的证明gydF4y2Ba
我们将通过一系列的声明来证明这个定理。首先,一个gydF4y2Ba三角测量gydF4y2Ba多边形的分解是通过在顶点对之间画不相交的对角线将多边形分解成三角形。gydF4y2Ba
权利要求1:gydF4y2Ba任何多边形gydF4y2Ba 可以是三角形。gydF4y2Ba
我们用这个数字的归纳法来证明这个说法gydF4y2Ba 的顶点。为gydF4y2Ba ,多边形gydF4y2Ba 是一个三角形,已经三角化了。为gydF4y2Ba ,我们会找到一条对角线(即,一条线段位于gydF4y2Ba 连接一对顶点),它将多边形分成两个更小的部分。然后将两个不同部分的三角剖分粘贴在一起,得到整个多边形的三角剖分。因为内角的和gydF4y2Ba 是gydF4y2Ba ,有一个顶点gydF4y2Ba 的gydF4y2Ba 内角小于gydF4y2Ba .让gydF4y2Ba 的相邻顶点gydF4y2Ba 在多边形。如果线段gydF4y2Ba 位于多边形内,那么这条线段就是所需的对角线。否则,三角形gydF4y2Ba 包含其他顶点。移动线段gydF4y2Ba 对gydF4y2Ba 直到到达最后一个顶点gydF4y2Ba 在三角形gydF4y2Ba .然后线段gydF4y2Ba 位于多边形内,可以作为所需的对角线,证明了这一说法。gydF4y2Ba
我们的第二个要求涉及到用以下方法着色三角形多边形的顶点:给定一个三角形多边形,agydF4y2Ba三色gydF4y2Ba是顶点的着色,这样每个三角形都有3个不同颜色的顶点。gydF4y2Ba
要求2:gydF4y2Ba任何三角形多边形都是3色的。gydF4y2Ba
我们将通过对多边形顶点数的归纳来继续。为gydF4y2Ba ,这个多边形是一个三角形,我们可以为这三个顶点选择三种不同的颜色。现在,考虑任意的三角多边形gydF4y2Ba 顶点。取任意两个顶点gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 由对角线连接的(即,由三角剖分中的一条边连接,但不在原多边形中)。我们可以用边将多边形分割成两个三角多边形gydF4y2Ba 通过归纳,这两个三角形多边形是3色的。设(红、蓝、绿)为第一个三角剖分的颜色gydF4y2Ba ,让gydF4y2Ba 做第二次三角测量的颜色gydF4y2Ba .然后识别颜色gydF4y2Ba 在第一次三角剖分时给号码标号gydF4y2Ba 在二次三角剖分中,识别出颜色gydF4y2Ba 在第一次三角剖分时给号码标号gydF4y2Ba 在第二次三角测量中。最后,在两个三角形中相互识别最后剩下的颜色。gydF4y2Ba
然后通过保留第一次三角剖分中所有顶点的颜色,并使用所确定的颜色,得到整个三角剖分的着色gydF4y2Ba 对于第二次三角剖分中的顶点。这给出了整个三角形多边形的3色,并证明了权利要求2。gydF4y2Ba
要求3:gydF4y2Ba对于三角剖分的任何三色,都存在一种颜色,使得这种颜色的顶点数为gydF4y2Ba ,在这些顶点上放置守卫将守卫整个博物馆。gydF4y2Ba
不失一般性,假设顶点的颜色是红,绿,蓝这样的数gydF4y2Ba 小于或等于红色顶点的个数gydF4y2Ba 绿色顶点,小于等于这个数gydF4y2Ba 蓝色的顶点。顶点的总数是gydF4y2Ba ,所以gydF4y2Ba 如果gydF4y2Ba ,然后gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 也会严格大于gydF4y2Ba 和身份gydF4y2Ba 不能满足。因此,gydF4y2Ba 现在,通过在每个用红色标记的顶点上放置一个守卫,观察三角剖分中的每个三角形都有一个红色节点,因此,正好有一个守卫。此外,任何时候gydF4y2Ba 在博物馆中是包含在一个三角形中的三角形多边形,并且gydF4y2Ba 从红色三角形的顶点可见。这给出了一个最多的位置gydF4y2Ba 守卫着整个博物馆,证明了第3条。gydF4y2Ba
权利要求1、2和3一起给出了画廊定理的证明。gydF4y2Ba
因为有许多不同的三角法和三色法,所以可能有多种放置守卫的方法,但每一种选择的结果都是最多的gydF4y2Ba 守卫着整个博物馆。gydF4y2Ba