组织行为gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba群体行动gydF4y2Ba是a元素的表示吗gydF4y2Ba集团gydF4y2Ba作为一个集合的对称。许多群体都有一种天生的群体行为;例如，二面体群gydF4y2Ba $D_4gydF4y2Ba$作用于一个正方形的顶点，因为该群是作为一个正方形的对称集给出的。群体对集合的群体作用是对这一思想的抽象概括，它可以用来推导关于群体和它所作用的集合的有用事实。gydF4y2Ba

形式上，是一群人的一群行动gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$在一组gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$是一个函数gydF4y2Ba $f(冒号)G (X) ^ XgydF4y2Ba$满足下列性质:gydF4y2Ba

(1）gydF4y2Ba $f (e_G x) = xgydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $x x \gydF4y2Ba$

（2）gydF4y2Ba $f (gh, x) = f \大(g、f (h, x) \大)gydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $g, g h \gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $在x x \。gydF4y2Ba$

当动作清楚时，作用就大了gydF4y2Ba $f (g, x)gydF4y2Ba$经常被写成gydF4y2Ba $g \ cdot x。gydF4y2Ba$有了这个符号，公理就变成了gydF4y2Ba

(1）gydF4y2Ba $e_G \cdot x = xgydF4y2Ba$

（2）gydF4y2Ba $G \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot xgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

集体行动的标准例子是whengydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$等于gydF4y2Ba对称群gydF4y2Ba $S_ngydF4y2Ba$ $（gydF4y2Ba$或一个子群gydF4y2Ba $S_n)gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $X = \ {1, 2 \ ldots n \}gydF4y2Ba$．然后gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$作用于gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$由公式gydF4y2Ba $G \cdot x = G (x)gydF4y2Ba$其属性很清楚:gydF4y2Ba $E \cdot x = E (x) = xgydF4y2Ba$当gydF4y2Ba $egydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $S_n,gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $g \ cdot (h \ cdot x) = g \ cdot h (x) = g \大(h (x) \大)= (g \保监会h) (x)。gydF4y2Ba$

以下是几个与群体行为相关的基本概念。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$做一个在片场表演的团队gydF4y2Ba $X。gydF4y2Ba$

一个gydF4y2Ba不动点gydF4y2Ba的一个元素gydF4y2Ba $在g g \gydF4y2Ba$是一种元素gydF4y2Ba $x x \gydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $G \cdot x = x。gydF4y2Ba$
的gydF4y2Ba稳定剂gydF4y2Ba $G_xgydF4y2Ba$的一个点gydF4y2Ba $x x \gydF4y2Ba$是元素的集合吗gydF4y2Ba $在g g \gydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$的固定点是gydF4y2Ba $g。gydF4y2Ba$
的gydF4y2Ba轨道gydF4y2Ba的一个元素gydF4y2Ba $x x \gydF4y2Ba$是元素的集合吗gydF4y2Ba $在X y \gydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $G \c·x = ygydF4y2Ba$对于一些gydF4y2Ba $g \ g。gydF4y2Ba$

让gydF4y2Ba $G = {mathbb Z}_2 = {e, G \}gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $X = {mathbb Z}。gydF4y2Ba$
让gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$采取行动gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$由公式gydF4y2Ba $E (c·x) = xgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $G \cdot x = -x。gydF4y2Ba$

求每个元素的不动点gydF4y2Ba $G。gydF4y2Ba$
找到每个元素的稳定剂gydF4y2Ba $X。gydF4y2Ba$
求元素的轨道gydF4y2Ba $X。gydF4y2Ba$

---

每个元素的gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$的固定点是gydF4y2Ba $e,gydF4y2Ba$但gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$有一个不动点，即gydF4y2Ba $0.gydF4y2Ba$

的稳定剂gydF4y2Ba $0gydF4y2Ba$是所有的gydF4y2Ba $克,gydF4y2Ba$而是任何其他元素的稳定器gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$是平凡子群吗gydF4y2Ba $\ \} {egydF4y2Ba$的gydF4y2Ba $G。gydF4y2Ba$

的轨道gydF4y2Ba $0gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $\ \ {0},gydF4y2Ba$和其他元素的轨道gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$是二元集合吗gydF4y2Ba $\ {- x, x \}。gydF4y2Ba$ $_ \广场gydF4y2Ba$

请注意,gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$被分割成不同的和不相交的轨道的联合。一般来说是这样的;这个关系是由gydF4y2Ba $x \ sim ygydF4y2Ba$如果gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$在…的轨道上gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba等价关系gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

与这些定义相关的某些公共属性出现在许多组操作中。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$做一个在片场表演的团队gydF4y2Ba $X。gydF4y2Ba$

行动是gydF4y2Ba传递gydF4y2Ba如果只有一个轨道:对于任何轨道gydF4y2Ba $在x, x, y \gydF4y2Ba$有一个元素gydF4y2Ba $在g g \gydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $G \c·x = y。gydF4y2Ba$
行动是gydF4y2Ba忠实的gydF4y2Ba如果是稳定器的交集gydF4y2Ba $G_xgydF4y2Ba$为gydF4y2Ba $x x \gydF4y2Ba$只由微不足道的元素组成gydF4y2Ba $e_G。gydF4y2Ba$

集体行动的公理给出了一个gydF4y2Ba群同态gydF4y2Ba $G \ \文字{Sym} (X),gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba ${Sym} \文本(X)gydF4y2Ba$元素的一组排列gydF4y2Ba $X。gydF4y2Ba$因此，一个忠实的行为就是这个同态所对应的行为gydF4y2Ba内射gydF4y2Ba,因为它gydF4y2Ba内核gydF4y2Ba是微不足道的。gydF4y2Ba

有很多这样的例子gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$作用于有关的物体上gydF4y2Ba $G。gydF4y2Ba$下面是一些例子:gydF4y2Ba

(1)每一组以左乘法作用于自己:gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$作用于gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$通过这个公式gydF4y2Ba $G \cdot x = gx。gydF4y2Ba$这是一种传递性的、忠实的行为;有一个轨道，实际上是任何元素的稳定器gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$很简单:gydF4y2Ba $gx = xgydF4y2Ba$当且仅当gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$是身份。gydF4y2Ba

(2)每个群体以gydF4y2Ba动词的词形变化gydF4y2Ba：gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$作用于gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$通过这个公式gydF4y2Ba $G \cdot x = gxg^{-1}。gydF4y2Ba$这种作用的轨道叫做gydF4y2Ba共轭性类gydF4y2Ba，是一种元素的稳定剂gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$被称为gydF4y2Ba扶正器gydF4y2Ba $C_G (x)。gydF4y2Ba$

(3)如果gydF4y2Ba $HgydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba子群gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $克,gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$行动的集合gydF4y2Ba叠合组gydF4y2Ba $G / HgydF4y2Ba$离开了乘法。动作是传递的，因为gydF4y2Ba $\大(公斤^{1}\大)(gH) = kHgydF4y2Ba$对于任何gydF4y2Ba $在g g、k \。gydF4y2Ba$这就形成了一张地图gydF4y2Ba $G \ \文字{Sym} (G / H)gydF4y2Ba$哪个核等于所有共轭的交点gydF4y2Ba $H,gydF4y2Ba$哪个正规子群是最大的gydF4y2Ba $H。gydF4y2Ba$因此,如果gydF4y2Ba $HgydF4y2Ba$不包含任何非平凡的正规子组，动作是可信的。这种结构在分析……时很有用gydF4y2Ba简单的组gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba ${\ mathbb P} ^ 1 _ {\ mathbb C}gydF4y2Ba$是射影复数线:这可以被认为是复数加上点的集合gydF4y2Ba $\ infty。gydF4y2Ba$然后该组织gydF4y2Ba $GL_2 ({\ mathbb C})gydF4y2Ba$的可逆的gydF4y2Ba $2 \ * 2gydF4y2Ba$具有复杂项的矩阵起作用gydF4y2Ba ${\ mathbb P} ^ 1gydF4y2Ba$通过这个公式gydF4y2Ba

$\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix} cdot z = frac{az+b}{cz+d}，gydF4y2Ba$

理解到gydF4y2Ba $- d / cgydF4y2Ba$映射到gydF4y2Ba $\ inftygydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $\ inftygydF4y2Ba$映射到gydF4y2Ba $a / c。gydF4y2Ba$ $（gydF4y2Ba$如果gydF4y2Ba $c = 0,gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba $\ inftygydF4y2Ba$映射到gydF4y2Ba $\ infty。)gydF4y2Ba$

检查这是一个集体行动归结为以下第二个公理的计算:gydF4y2Ba

$\开始{对齐}\ {pmatrix}开始结束方式\ \建发\ {pmatrix} \ cdot \离开(\ {pmatrix}开始结束e和f \ \ g和h \ {pmatrix} \ cdot z \右)& = \ {pmatrix}开始方式\ \建发\ {pmatrix} \ cdot \压裂结束{ez + f}{广州+ h} \ \ & = \压裂{\离开(\压裂{ez + f}{广州+ h} \右)+ b} {c \离开(\压裂{ez + f}{广州+ h} \右)+ d} \ \ & = \压裂{(ez + f) + b(广州+ h)} {c (ez + f) + d(广州+ h)} \ \ & =z \压裂{(ae + bg) + (af + bh)} {(ce + dg) z + (cf + dh )} \\ &= \ 开始{pmatrix} ae + bg和af + bh \ \ ce + dg和cf + dh \ {pmatrix}结束\ cdot z \ \ \{对齐}结束gydF4y2Ba$

和矩阵gydF4y2Ba $\begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}gydF4y2Ba$是产品gydF4y2Ba $\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e&f\\g&h \end{pmatrix}，gydF4y2Ba$这表明这是一个集体行动。gydF4y2Ba

注意这个矩阵gydF4y2Ba $\begin{pmatrix} a&0 \\ 0a \end{pmatrix}gydF4y2Ba$在投影线上微不足道地起作用gydF4y2Ba $\压裂{az} {} = z。gydF4y2Ba$所以gydF4y2Ba $GL_2 ({\ mathbb C})gydF4y2Ba$变成了一种行动gydF4y2Ba $GL_2 ({} \ mathbb C) / N,gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $NgydF4y2Ba$是恒等矩阵的常数倍矩阵的子群。这个基团叫做gydF4y2Ba射影gydF4y2Ba一般线性群gydF4y2Ba $PGL_2 ({\ mathbb C});gydF4y2Ba$的作用gydF4y2Ba $PGL_2 ({\ mathbb C})gydF4y2Ba$是忠实的，也是可及的。(事实上，它是3-transitive:任何包含三个不同点的列表都可以发送到任何其他包含三个不同点的列表。)gydF4y2Ba

轨道和群体作用的稳定器之间有一种自然的关系。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$做一个在片场表演的团队gydF4y2Ba $X。gydF4y2Ba$修复一个点gydF4y2Ba $x x \gydF4y2Ba$考虑这个函数gydF4y2Ba $f_x \: G \到XgydF4y2Ba$给出的gydF4y2Ba $G \映射到G \cdot x。gydF4y2Ba$实际上，这给出了一个函数gydF4y2Ba $h_x \冒号G/G_x \到XgydF4y2Ba$由同样的公式给出，其中gydF4y2Ba $G_xgydF4y2Ba$是…的稳定器gydF4y2Ba $x。gydF4y2Ba$在这里gydF4y2Ba $G / G_xgydF4y2Ba$是的左陪集吗gydF4y2Ba $G_x。gydF4y2Ba$请注意,gydF4y2Ba $G_xgydF4y2Ba$不一定是gydF4y2Ba正规子群gydF4y2Ba．所以gydF4y2Ba $G / G_xgydF4y2Ba$只是一组陪集，而不是一个gydF4y2Ba商集团gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

这个函数gydF4y2Ba $h_xgydF4y2Ba$是内射的，而它的像恰好是gydF4y2Ba $x。gydF4y2Ba$结论如下:gydF4y2Ba

这两个集合之间有一个对射gydF4y2Ba $G / G_xgydF4y2Ba$轨道gydF4y2Ba $x。gydF4y2Ba$

当轨道gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$是有限的，这给出了下面的公式:gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$做一个在片场表演的团队gydF4y2Ba $X。gydF4y2Ba$让gydF4y2Ba $G_xgydF4y2Ba$是一种元素的稳定剂gydF4y2Ba $在x x \。gydF4y2Ba$假设轨道gydF4y2Ba $O_xgydF4y2Ba$的gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$是有限的。然后该指数gydF4y2Ba $[G: G_x]gydF4y2Ba$是有限的还是相等的gydF4y2Ba $| O_x |。gydF4y2Ba$如果gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$是有限的,那么gydF4y2Ba

$|G_x| \cdot |O_x| = |G|。gydF4y2Ba$

这个定理在群论中被用来证明许多有用的事实，包括gydF4y2Ba伯恩赛德引理gydF4y2Ba和gydF4y2Ba类公式gydF4y2Ba．这里有两个应用该定理的显式例子。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $G = S_ngydF4y2Ba$,让gydF4y2Ba $X = {1, ldots,n\}。gydF4y2Ba$让gydF4y2Ba $x = n。gydF4y2Ba$的轨道gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$是所有的gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$(动作是可传递的)，所以定理说指数gydF4y2Ba $[G: G_x]gydF4y2Ba$等于gydF4y2Ba $n。gydF4y2Ba$的确,gydF4y2Ba $G_xgydF4y2Ba$是同构的gydF4y2Ba $S_ {n},gydF4y2Ba$的一组排列gydF4y2Ba $\{1， \ldots, n-1 \}。gydF4y2Ba$所以gydF4y2Ba $| G | = n !，gydF4y2Ba$ $| G_x | = (n - 1) !，gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $[G:G_x] = |G|/|G_x| = n!/(n-1)!= n。gydF4y2Ba$

一个立方体有多少个旋转对称?(额外加分:这个立方体的对称群是什么?)gydF4y2Ba

---

这个问题是问在3d空间中通过扭转和旋转(但不反射)立方体来排列顶点(或面或边)的方法的数量。轨道稳定器定理可以用三种不同的方法来解决这个问题。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$是立方体的一组对称。然后gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$在片场行动gydF4y2Ba $FgydF4y2Ba$立方体的各个面。有六个面，运动是可传递的，所以轨道的大小gydF4y2Ba $O_fgydF4y2Ba$一个给定的脸是gydF4y2Ba $6.gydF4y2Ba$稳定剂的顺序gydF4y2Ba $G_fgydF4y2Ba$一个面是4，因为一个立方体有4个旋转来固定一个面(围绕垂直于面的轴旋转)。根据轨道稳定器定理，gydF4y2Ba $|G| = 4 \cdot 6 = 24gydF4y2Ba$

但gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$也作用于立方体的顶点。有8个顶点，同样这个动作是可传递的。稳定器的顺序是什么gydF4y2Ba $G_xgydF4y2Ba$一个顶点吗?使一个顶点固定的立方体的旋转只有三次gydF4y2Ba $120240年,gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $360gydF4y2Ba$立方体对角线周围的度。所以gydF4y2Ba $| G_x | = 3gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $| O_x | = 8,gydF4y2Ba$根据轨道稳定器定理gydF4y2Ba $|G| = 3\cdot 8 = 24。gydF4y2Ba$

和gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$也作用于立方体的边缘。有12条边，动作是传递的。的稳定剂gydF4y2Ba $G_egydF4y2Ba$边的阶为2;这就是身份gydF4y2Ba $克,gydF4y2Ba$和独特的元素gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$它改变了边的顶点。所以gydF4y2Ba $|G| = 2 \cdot 12 = 24。gydF4y2Ba$ $_ \广场gydF4y2Ba$

事实上,gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$是同构的gydF4y2Ba对称群gydF4y2Ba $S_4,gydF4y2Ba$同构使用了另一个动作gydF4y2Ba $克,gydF4y2Ba$也就是gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$在身体对角线上，其中有四个。这个动作给出一个同态gydF4y2Ba $G \ S_4,gydF4y2Ba$很容易证明这个同态是单射的(作用是忠实的)，而且群的大小相同，所以它一定是一个同态。gydF4y2Ba

• 伯恩赛德引理gydF4y2Ba

• 共轭性类gydF4y2Ba