物理学中的格林函数
有关……
- 经典力学年代pan>>年代pan>
格林函数年代trong>一个装置是用来解决困难的普通和局部<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/partial-differential-equation-pde/" class="wiki_link" title="微分方程gydF4y2Ba" target="_blank">微分方程一个>这可能是其他方法无法解决的。这个想法是考虑一个微分方程,比如
d年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>2年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>+年代pan>x年代pan>2年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>⟹年代pan>(年代pan>d年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>2年代pan>+年代pan>x年代pan>2年代pan>)年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>⟹年代pan>l年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>.年代pan> 上面的符号<年代pan class="katex">
l年代pan>=年代pan>d年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>2年代pan>+年代pan>x年代pan>2年代pan>被定义为<年代pan class="katex">
l年代pan>是一个<年代trong>微分算子年代trong>;导数算子乘以函数的线性组合。如上所述,微分方程可以用作用于函数的这样一个算子来表示。在这种情况下格林函数是反函数的类似物<年代pan class="katex">
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G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>∼年代pan>l年代pan>−年代pan>1年代pan>∼年代pan>(年代pan>d年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>2年代pan>+年代pan>x年代pan>2年代pan>)年代pan>−年代pan>1年代pan>.年代pan> 它的思想是格林函数逆算子,所以上面的非齐次函数,<年代pan class="katex">
l年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>g年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>,可通过模拟的方法求解<年代pan class="katex">
f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>g年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>.在这种情况下,上述对应关系给出<年代pan class="katex">
l年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>∼年代pan>l年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>g年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>∼年代pan>l年代pan>l年代pan>−年代pan>1年代pan>g年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>g年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>.下面是这个想法背后的形式数学和原因<年代pan class="katex">
G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>是两个变量的函数。
导数的逆加到函数中等等并不是一个定义很好的对象;需要严格的数学来推导和证明一个更精确的结构。因此,构造和求解格林函数通常是一个微妙而困难的过程。
格林函数广泛应用于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/electrodynamics/" class="wiki_link" title="电动力学gydF4y2Ba" target="_blank">电动力学一个>而且<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/quantum-field-theory/?wiki_title=quantum field theory" class="wiki_link new" title="量子场论gydF4y2Ba" target="_blank" rel="nofollow">量子场论一个>,其中相关的微分算子通常很难或不可能精确求解,但可以求解<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/perturbation-theory/" class="wiki_link" title="扰乱性的gydF4y2Ba" target="_blank">扰乱性的一个>使用格林的函数。在场论中,格林函数常被称为<年代trong>宣传者年代trong>或<年代trong>两点相关函数年代trong>因为它与在一个点测量一个场的概率有关,假设它来自于另一个点。
格林函数的定义
形式上,格林函数是任意线性微分算子的逆<年代pan class="katex">
l年代pan>.它是两个变量的函数<年代pan class="katex">
G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>满足方程
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δ年代pan>(年代pan>x年代pan>−年代pan>y年代pan>)年代pan>的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/dirac-delta-function/" class="wiki_link" title="狄拉克函数gydF4y2Ba" target="_blank">狄拉克函数一个>.这就是说格林函数是微分方程的解带有一个由点源给出的强迫项。非正式地说,是相同微分方程的解
u年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>∫年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>f年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>,年代pan> 从那时起
l年代pan>u年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>∫年代pan>l年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>f年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>=年代pan>∫年代pan>δ年代pan>(年代pan>x年代pan>−年代pan>y年代pan>)年代pan>f年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>=年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>.年代pan> 一般来说,格林的函数实际上并不是函数,而是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/distributions/" class="wiki_link" title="分布gydF4y2Ba" target="_blank">分布一个>,这意味着它们可以与函数集成。虽然所得到的积分可能很难或不可能计算,但它们为任意线性微分方程提供了一个即时解,当其他方法可能找不到解时,至少可以用数值方法计算出来。
下面概述了构建Green函数的几种方法。哪种方法是最优的高度依赖于上下文。
直接积分法
如上所述,任意线性微分方程的解可以用格林函数的形式写成
u年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>∫年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>f年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>.年代pan>
因为格林函数解出来了
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函数在点外消失<年代pan class="katex">
x年代pan>=年代pan>y年代pan>,构造格林函数的一种方法是解 这个过程可以更正式地写成如下:
下面,为了简单起见,讨论仅限于一元(先导系数单位)二阶线性微分算子的特殊情况。首先,在两边写出解的一般形式<年代pan class="katex">
x年代pan>=年代pan>y年代pan>:
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c年代pan>1年代pan>,年代pan>c年代pan>2年代pan>,年代pan>d年代pan>1年代pan>,年代pan>d年代pan>2年代pan>都是常数<年代pan class="katex">
G年代pan>1年代pan>,年代pan>G年代pan>2年代pan>是微分方程的两个齐次解。
接下来,施加两个边界条件。这固定了两个常数<年代pan class="katex">
c年代pan>1年代pan>,年代pan>c年代pan>2年代pan>,年代pan>d年代pan>1年代pan>,年代pan>d年代pan>2年代pan>对于另外两个。
第三,强加连续性<年代pan class="katex">
G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>在<年代pan class="katex">
x年代pan>=年代pan>y年代pan>.这就固定了剩下的两个常数中的一个。
最后,要求<年代pan class="katex">
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d年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>2年代pan>在所有可能的项中,Alone被认为是不存在的<年代pan class="katex">
l年代pan>是因为解必须是连续的<年代pan class="katex">
y年代pan>;微分算子中的任何其他项在两边都不变<年代pan class="katex">
y年代pan>当集成。
这个关于导数变化的条件固定了最后一个常数,因此解出了格林函数。
考虑到<年代pan class="katex">
E年代pan>在一定长度的激光腔中电磁波的组成部分<年代pan class="katex">
ℓ年代pan>.年代pan>波是由电流产生的<年代pan class="katex">
J年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>它能渗透到腔内而墙是由一种完美的反射导电材料制成的,所以<年代pan class="katex">
E年代pan>z年代pan>(年代pan>0年代pan>)年代pan>=年代pan>E年代pan>z年代pan>(年代pan>l年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>.年代pan>麦克斯韦方程<年代pan class="katex">
E年代pan>-component(偏振在<年代pan class="katex">
z年代pan>方向)<年代pan class="katex-display">
(年代pan>∂年代pan>x年代pan>2年代pan>∂年代pan>2年代pan>−年代pan>k年代pan>2年代pan>)年代pan>E年代pan>z年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>J年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan> 这里是常数<年代pan class="katex">
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g年代pan>是 求通解<年代pan class="katex">
E年代pan>z年代pan>在墙中间。
格林方法的主要思想是整个电流<年代pan class="katex">
J年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>对场的解有贡献,我们可以把它分成电流的小包,在所有点上用脉冲函数表示<年代pan class="katex">
y年代pan>在墙中间。如果我们能找到对场的贡献<年代pan class="katex">
x年代pan>从一个小包里<年代pan class="katex">
y年代pan>,年代pan>
G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>,然后我们可以把它们加起来,得到整体字段:<年代pan class="katex">
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∂年代pan>x年代pan>2年代pan>∂年代pan>2年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>−年代pan>k年代pan>2年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>δ年代pan>(年代pan>x年代pan>−年代pan>y年代pan>)年代pan> 的<年代pan class="katex">
δ年代pan>函数在<年代pan class="katex">
y年代pan>是一个严重的碰撞它会导致解有一个不连续的导数就像上面提到的。为了自己看看,我们可以对这个方程积分<年代pan class="katex">
y年代pan>.年代pan>
∫年代pan>y年代pan>−年代pan>ε年代pan>y年代pan>+年代pan>ε年代pan>d年代pan>x年代pan>∂年代pan>x年代pan>2年代pan>∂年代pan>2年代pan>G年代pan>∂年代pan>x年代pan>∂年代pan>G年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>x年代pan>=年代pan>y年代pan>+年代pan>ε年代pan>−年代pan>∂年代pan>x年代pan>∂年代pan>G年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>x年代pan>=年代pan>y年代pan>−年代pan>ε年代pan>=年代pan>∫年代pan>y年代pan>−年代pan>ε年代pan>y年代pan>+年代pan>ε年代pan>d年代pan>x年代pan>δ年代pan>(年代pan>x年代pan>−年代pan>y年代pan>)年代pan>+年代pan>∫年代pan>y年代pan>−年代pan>ε年代pan>y年代pan>+年代pan>ε年代pan>d年代pan>x年代pan>k年代pan>2年代pan>G年代pan>=年代pan>1年代pan>+年代pan>k年代pan>2年代pan>∫年代pan>y年代pan>−年代pan>ε年代pan>y年代pan>+年代pan>ε年代pan>d年代pan>x年代pan>G年代pan> 在极限处<年代pan class="katex">
ε年代pan>去<年代pan class="katex">
0年代pan>,年代pan>右边的积分为零,因为连续函数在零范围内的积分为零(<年代pan class="katex">
G年代pan>本身不是<年代pan class="katex">
δ年代pan>-function),我们就得到了导数值的单位跳跃<年代pan class="katex">
x年代pan>=年代pan>y年代pan>.年代pan>在这个积分中,只有二阶项在左边因为其他的都是一个没有值域的连续函数的积分,所以它变成
∂年代pan>x年代pan>∂年代pan>G年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>x年代pan>=年代pan>y年代pan>+年代pan>ε年代pan>=年代pan>1年代pan>+年代pan>∂年代pan>x年代pan>∂年代pan>G年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>x年代pan>=年代pan>y年代pan>−年代pan>ε年代pan> 因为导数的跳跃不连续<年代pan class="katex">
G年代pan>,年代pan>我们期望两边都有不同的解决方案<年代pan class="katex">
x年代pan>=年代pan>y年代pan>,年代pan>在哪里<年代pan class="katex">
δ年代pan>函数是<年代pan class="katex">
0年代pan>.年代pan>的通解<年代pan class="katex">
∂年代pan>x年代pan>2年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>−年代pan>k年代pan>2年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>是<年代pan class="katex-display">
一个年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>e年代pan>k年代pan>x年代pan>+年代pan>B年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>e年代pan>−年代pan>k年代pan>x年代pan>.年代pan>特别地,我们将写左边(当<年代pan class="katex">
x年代pan>在的左边<年代pan class="katex">
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x年代pan><年代pan>y年代pan>)和右(当<年代pan class="katex">
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y年代pan><年代pan>x年代pan>)解决方案,例如<年代pan class="katex-display">
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G年代pan>(年代pan>0年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>G年代pan>(年代pan>ℓ年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>.年代pan>这就引出了<年代pan class="katex">
l年代pan>1年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>−年代pan>l年代pan>2年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>而且<年代pan class="katex">
R年代pan>2年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>−年代pan>e年代pan>2年代pan>k年代pan>ℓ年代pan>R年代pan>1年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>.年代pan> 这就引出了
G年代pan>l年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>G年代pan>R年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>l年代pan>1年代pan>”年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>sinh年代pan>k年代pan>x年代pan>=年代pan>R年代pan>1年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>(年代pan>e年代pan>k年代pan>x年代pan>−年代pan>e年代pan>2年代pan>k年代pan>ℓ年代pan>e年代pan>−年代pan>k年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>R年代pan>1年代pan>”年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>sinh年代pan>k年代pan>(年代pan>x年代pan>−年代pan>ℓ年代pan>)年代pan> 我们在哪里取了一个因式<年代pan class="katex">
2年代pan>e年代pan>−年代pan>k年代pan>l年代pan>成<年代pan class="katex">
R年代pan>1年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>还有一个因子<年代pan class="katex">
2年代pan>成<年代pan class="katex">
l年代pan>1年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>.年代pan>这仍然有两个未知系数<年代pan class="katex">
l年代pan>1年代pan>”年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>而且<年代pan class="katex">
R年代pan>1年代pan>”年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>.年代pan>为了找到这些,我们还有两个约束条件可以利用:
在解方面,这些约束条件是:
l年代pan>1年代pan>”年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>sinh年代pan>y年代pan>k年代pan>R年代pan>1年代pan>”年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>cosh年代pan>k年代pan>(年代pan>y年代pan>−年代pan>ℓ年代pan>)年代pan>=年代pan>R年代pan>1年代pan>”年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>sinh年代pan>k年代pan>(年代pan>y年代pan>−年代pan>ℓ年代pan>)年代pan>=年代pan>1年代pan>+年代pan>k年代pan>l年代pan>1年代pan>”年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>cosh年代pan>k年代pan>y年代pan>.年代pan> 解这两个方程得到
l年代pan>1年代pan>”年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>R年代pan>1年代pan>”年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>k年代pan>1年代pan>sinh年代pan>k年代pan>ℓ年代pan>sinh年代pan>k年代pan>(年代pan>y年代pan>−年代pan>ℓ年代pan>)年代pan>=年代pan>k年代pan>1年代pan>sinh年代pan>k年代pan>ℓ年代pan>sinh年代pan>k年代pan>y年代pan>,年代pan> 这
G年代pan>l年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>G年代pan>R年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>k年代pan>1年代pan>sinh年代pan>k年代pan>ℓ年代pan>sinh年代pan>k年代pan>(年代pan>y年代pan>−年代pan>ℓ年代pan>)年代pan>sinh年代pan>k年代pan>x年代pan>=年代pan>k年代pan>1年代pan>sinh年代pan>k年代pan>ℓ年代pan>sinh年代pan>k年代pan>y年代pan>sinh年代pan>k年代pan>(年代pan>x年代pan>−年代pan>ℓ年代pan>)年代pan> 现在,我们要做的就是将格林函数与当前函数进行积分<年代pan class="katex">
J年代pan>:年代pan>
E年代pan>z年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>∫年代pan>ℓ年代pan>d年代pan>y年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>J年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>∫年代pan>x年代pan>d年代pan>y年代pan>G年代pan>R年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>J年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>+年代pan>x年代pan>∫年代pan>ℓ年代pan>d年代pan>y年代pan>G年代pan>l年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>J年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>∫年代pan>x年代pan>d年代pan>y年代pan>k年代pan>1年代pan>sinh年代pan>k年代pan>ℓ年代pan>sinh年代pan>k年代pan>y年代pan>sinh年代pan>k年代pan>(年代pan>x年代pan>−年代pan>ℓ年代pan>)年代pan>J年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>+年代pan>x年代pan>∫年代pan>ℓ年代pan>d年代pan>y年代pan>k年代pan>1年代pan>sinh年代pan>k年代pan>ℓ年代pan>sinh年代pan>k年代pan>(年代pan>y年代pan>−年代pan>ℓ年代pan>)年代pan>sinh年代pan>k年代pan>x年代pan>J年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan> 我们可以在一些试验电流上进行测试。在下面的图中,<年代pan class="katex">
灰色的年代pan>曲线表示电流<年代pan class="katex">
J年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>,年代pan>的<年代pan class="katex">
蓝色的年代pan>曲线表示结果字段,而<年代pan class="katex">
黑色的年代pan>点表示表达式<年代pan class="katex">
(年代pan>∂年代pan>x年代pan>2年代pan>∂年代pan>2年代pan>−年代pan>k年代pan>2年代pan>)年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>我们期望它等于什么<年代pan class="katex">
J年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>.年代pan> 在第一个例子中,<年代pan class="katex">
J年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>x年代pan>e年代pan>−年代pan>5年代pan>x年代pan>/年代pan>ℓ年代pan>罪年代pan>ℓ年代pan>2年代pan>5年代pan>x年代pan>因为年代pan>ℓ年代pan>x年代pan>而且<年代pan class="katex">
k年代pan>=年代pan>0年代pan>.年代pan>0年代pan>2年代pan>:年代pan>
在第二个例子中,我们使用<年代pan class="katex">
J年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>(年代pan>ℓ年代pan>−年代pan>x年代pan>)年代pan>e年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>/年代pan>ℓ年代pan>2年代pan>而且<年代pan class="katex">
k年代pan>=年代pan>0年代pan>.年代pan>6年代pan>:年代pan>
考虑电磁波在具有电流密度的主动激光介质中一维方向上的极化<年代pan class="katex">
J年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>.麦克斯韦方程<年代pan class="katex">
z年代pan>-这些波的电场分量,然后读取
(年代pan>d年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>2年代pan>−年代pan>κ年代pan>2年代pan>)年代pan>E年代pan>z年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>J年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan> 为<年代pan class="katex">
κ年代pan>一个常数。假设有一个源在<年代pan class="katex">
x年代pan>=年代pan>0年代pan>远处有一个传导镜,所以有效地<年代pan class="katex">
E年代pan>z年代pan>(年代pan>0年代pan>)年代pan>=年代pan>1年代pan>而且<年代pan class="katex">
E年代pan>z年代pan>(年代pan>∞年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>是边界条件。求格林函数<年代pan class="katex">
G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>为<年代pan class="katex">
x年代pan><年代pan>y年代pan>这样就可以确定空间中任何地方的电场。
特征向量展开法
如果知道微分算子的谱,就可以很容易地用公式计算格林函数
G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>n年代pan>∑年代pan>λ年代pan>n年代pan>1年代pan>u年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>u年代pan>n年代pan>∗年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>,年代pan>
在哪里<年代pan class="katex">
λ年代pan>n年代pan>是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/eigenvalues-and-eigenvectors/" class="wiki_link" title="特征值gydF4y2Ba" target="_blank">特征值一个>对应于 这个定义的动机来自于思考微分方程的解是在微分算子的本征函数的基上展开的。检验上述定义是否满足格林函数的条件是很简单的:考虑微分方程<年代pan class="katex">
l年代pan>u年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>,然后
l年代pan>u年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>∫年代pan>l年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>f年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>=年代pan>∫年代pan>l年代pan>n年代pan>∑年代pan>λ年代pan>n年代pan>1年代pan>u年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>u年代pan>n年代pan>∗年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>f年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>=年代pan>n年代pan>∑年代pan>λ年代pan>n年代pan>1年代pan>l年代pan>u年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>∫年代pan>u年代pan>n年代pan>∗年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>f年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>=年代pan>n年代pan>∑年代pan>λ年代pan>n年代pan>1年代pan>λ年代pan>n年代pan>u年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>∫年代pan>u年代pan>n年代pan>∗年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>f年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>.年代pan> 上图中,<年代pan class="katex">
l年代pan>u年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>由<年代pan class="katex">
λ年代pan>n年代pan>u年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>自<年代pan class="katex">
u年代pan>n年代pan>的特征函数是<年代pan class="katex">
l年代pan>.但现在
l年代pan>u年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>n年代pan>∑年代pan>u年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>∫年代pan>u年代pan>n年代pan>∗年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>f年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>=年代pan>n年代pan>∑年代pan>u年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>⟨年代pan>u年代pan>n年代pan>∣年代pan>f年代pan>⟩年代pan>=年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>.年代pan> 在第二个等式中,我们强调了积分只是函数的内积,所以上面的右边实际上就是<年代pan class="katex">
f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>在本征函数的基上展开,所以<年代pan class="katex">
l年代pan>u年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>像预期的那样。因此,格林函数的这个表达式解了给定的微分方程。
在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/quantum-mechanics/" class="wiki_link" title="量子力学gydF4y2Ba" target="_blank">量子力学一个>的波函数运动方程<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/quantum-harmonic-oscillator/" class="wiki_link" title="量子谐振子gydF4y2Ba" target="_blank">量子谐振子一个>是一维的边值特征问题:
(年代pan>d年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>2年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>)年代pan>ψ年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>−年代pan>E年代pan>ψ年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan> 有边界条件<年代pan class="katex">
ψ年代pan>(年代pan>±年代pan>∞年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>而且<年代pan class="katex">
E年代pan>在某些适当的单位系统中粒子的能量,因此所有相关系数都是单位。能量的允许值为<年代pan class="katex">
E年代pan>=年代pan>2年代pan>n年代pan>+年代pan>1年代pan>为<年代pan class="katex">
n年代pan>∈年代pan>{年代pan>0年代pan>,年代pan>1年代pan>,年代pan>2年代pan>,年代pan>...年代pan>}年代pan>;对应的标准正交特征向量是
ψ年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>2年代pan>n年代pan>n年代pan>!年代pan>
1年代pan>π年代pan>−年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>e年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>/年代pan>2年代pan>H年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>,年代pan> 与<年代pan class="katex">
H年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>的
H年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>(年代pan>−年代pan>1年代pan>)年代pan>n年代pan>e年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>x年代pan>n年代pan>d年代pan>n年代pan>(年代pan>e年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>)年代pan>.年代pan> 求出带强迫项的量子谐振子的精确解<年代pan class="katex">
(年代pan>2年代pan>x年代pan>2年代pan>+年代pan>4年代pan>x年代pan>+年代pan>8年代pan>)年代pan>e年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>/年代pan>2年代pan>边界条件<年代pan class="katex">
ψ年代pan>(年代pan>±年代pan>∞年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>,即解
(年代pan>d年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>2年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>)年代pan>ψ年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>(年代pan>2年代pan>x年代pan>2年代pan>+年代pan>4年代pan>x年代pan>+年代pan>8年代pan>)年代pan>e年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>/年代pan>2年代pan> 为<年代pan class="katex">
ψ年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>受这些边界条件的约束。
把强迫项写成特征函数的和<年代pan class="katex">
(年代pan>d年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>2年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>)年代pan>.这需要最低的三个本征函数:
ψ年代pan>0年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>ψ年代pan>1年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>ψ年代pan>2年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>π年代pan>−年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>e年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>/年代pan>2年代pan>=年代pan>(年代pan>4年代pan>π年代pan>)年代pan>−年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>2年代pan>x年代pan>e年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>/年代pan>2年代pan>=年代pan>(年代pan>4年代pan>π年代pan>)年代pan>−年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>(年代pan>4年代pan>x年代pan>2年代pan>−年代pan>2年代pan>)年代pan>e年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>/年代pan>2年代pan>.年代pan> 因此强制项可以写成
(年代pan>2年代pan>x年代pan>2年代pan>+年代pan>4年代pan>x年代pan>+年代pan>8年代pan>)年代pan>e年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>/年代pan>2年代pan>=年代pan>2年代pan>1年代pan>(年代pan>4年代pan>π年代pan>)年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>ψ年代pan>2年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>+年代pan>2年代pan>(年代pan>4年代pan>π年代pan>)年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>ψ年代pan>1年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>+年代pan>9年代pan>π年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>ψ年代pan>0年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>.年代pan> 现在考虑将量子谐振子的格林函数分解为特征向量的和:
G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>n年代pan>∑年代pan>2年代pan>n年代pan>+年代pan>1年代pan>−年代pan>1年代pan>ψ年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>ψ年代pan>n年代pan>∗年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>−年代pan>ψ年代pan>0年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>ψ年代pan>0年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>−年代pan>3.年代pan>1年代pan>ψ年代pan>1年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>ψ年代pan>1年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>−年代pan>5年代pan>1年代pan>ψ年代pan>2年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>ψ年代pan>2年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>+年代pan>⋯年代pan>.年代pan> 进一步的项被省略了,因为它们将不相关:微分算子的本征函数是标准正交的!把通解写成格林函数的形式
ψ年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>∫年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>f年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>=年代pan>−年代pan>ψ年代pan>0年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>∫年代pan>ψ年代pan>0年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>(年代pan>9年代pan>π年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>ψ年代pan>0年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>−年代pan>3.年代pan>1年代pan>ψ年代pan>1年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>∫年代pan>ψ年代pan>1年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>(年代pan>2年代pan>(年代pan>4年代pan>π年代pan>)年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>ψ年代pan>1年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>−年代pan>5年代pan>1年代pan>ψ年代pan>2年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>∫年代pan>ψ年代pan>2年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>(年代pan>2年代pan>1年代pan>(年代pan>4年代pan>π年代pan>)年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>ψ年代pan>2年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>.年代pan> 本征函数的正交性保证了展开式中所有其他积分消失。对特征函数进行归一化得到最终结果:
ψ年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>−年代pan>9年代pan>π年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>ψ年代pan>0年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>−年代pan>3.年代pan>2年代pan>(年代pan>4年代pan>π年代pan>)年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>ψ年代pan>1年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>−年代pan>1年代pan>0年代pan>1年代pan>(年代pan>4年代pan>π年代pan>)年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>ψ年代pan>2年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>(年代pan>−年代pan>9年代pan>−年代pan>3.年代pan>4年代pan>x年代pan>−年代pan>5年代pan>1年代pan>(年代pan>2年代pan>x年代pan>2年代pan>−年代pan>1年代pan>)年代pan>)年代pan>e年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>/年代pan>2年代pan>.年代pan> 解满足给定的边界条件,它必须这样做,因为所有的本征函数也满足边界条件。<!-- end-example --> 下列哪个是格林的功能<年代pan class="katex">
G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>在当时—— 一维随时间变化的自由粒子Schrödinger方程为
−年代pan>2年代pan>米年代pan>ℏ年代pan>2年代pan>∂年代pan>x年代pan>2年代pan>∂年代pan>2年代pan>ψ年代pan>=年代pan>我年代pan>ℏ年代pan>∂年代pan>t年代pan>∂年代pan>ψ年代pan>.年代pan> 注意:年代trong>回想一下,与时间相关的Schrödinger方程的解可以在与时间无关的Schrödinger方程的解的基础上写出
ψ年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>t年代pan>)年代pan>=年代pan>n年代pan>∑年代pan>c年代pan>n年代pan>ϕ年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>e年代pan>−年代pan>我年代pan>E年代pan>n年代pan>t年代pan>/年代pan>ℏ年代pan>,年代pan> 在哪里<年代pan class="katex">
E年代pan>n年代pan>能量是与时间无关的本征函数吗<年代pan class="katex">
ϕ年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>.
符号年代trong>:
经验值年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>表示指数函数,<年代pan class="katex">
经验值年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>e年代pan>x年代pan>.
腹肌年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>表示绝对值函数。
傅里叶变换法
格林函数的最后一种常用计算方法是通过<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/contour-integration/" class="wiki_link" title="轮廓整合gydF4y2Ba" target="_blank">轮廓整合一个>而且<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/cauchy-residue-theorem/" class="wiki_link" title="柯西剩余定理gydF4y2Ba" target="_blank">柯西剩余定理一个>.
柯西剩余定理年代trong>
解析函数的积分<年代pan class="katex"> f年代pan>(年代pan>z年代pan>)年代pan>沿着闭合等高线<年代pan class="katex"> γ年代pan>在复平面上是由
∮年代pan>γ年代pan>f年代pan>(年代pan>z年代pan>)年代pan>d年代pan>z年代pan>=年代pan>2年代pan>π年代pan>我年代pan>一个年代pan>我年代pan>∈年代pan>γ年代pan>∑年代pan>Res年代pan>z年代pan>=年代pan>一个年代pan>我年代pan>f年代pan>(年代pan>z年代pan>)年代pan>,年代pan>
所有极点的总和在哪里<年代pan class="katex"> 一个年代pan>我年代pan>包含在轮廓线内<年代pan class="katex"> γ年代pan>.的<年代trong>残留年代trong>一个简单的杆子<年代pan class="katex"> 一个年代pan>我年代pan>写<年代pan class="katex"> Res年代pan>z年代pan>=年代pan>一个年代pan>我年代pan>f年代pan>(年代pan>z年代pan>)年代pan>,是去掉简极后的函数值。
通常,该方法首先对格林函数进行傅里叶变换然后将微分算子应用于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fourier-transform/" class="wiki_link" title="傅里叶变换gydF4y2Ba" target="_blank">傅里叶变换一个>.格林函数的傅里叶变换通常包含单极。然后通过轮廓积分计算傅里叶反变换,得到位置空间中的格林函数。
求一维时间无关函数的格林函数<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/schrodinger-equation/" class="wiki_link" title="薛定谔方程gydF4y2Ba" target="_blank">薛定谔方程一个>
(年代pan>d年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>2年代pan>+年代pan>k年代pan>2年代pan>)年代pan>ψ年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>ℏ年代pan>2年代pan>2年代pan>米年代pan>V年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>ψ年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>,年代pan>
与<年代pan class="katex"> k年代pan>2年代pan>=年代pan>ℏ年代pan>2年代pan>2年代pan>米年代pan>E年代pan>.用它来构造任意势的Schrödinger方程的通解。
格林函数满足
(年代pan>d年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>2年代pan>+年代pan>k年代pan>2年代pan>)年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>δ年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>,年代pan>
哪里的坐标被改变了<年代pan class="katex"> y年代pan>=年代pan>0年代pan>在上面的标准定义中。取<年代pan class="katex"> G年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>等于它的傅里叶变换的傅里叶反变换<年代pan class="katex"> g年代pan>(年代pan>年代年代pan>)年代pan>:
G年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>2年代pan>π年代pan> 1年代pan>∫年代pan>e年代pan>我年代pan>年代年代pan>x年代pan>g年代pan>(年代pan>年代年代pan>)年代pan>d年代pan>年代年代pan>.年代pan>
还记得狄拉克函数的积分恒等式:
δ年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>2年代pan>π年代pan>1年代pan>∫年代pan>e年代pan>我年代pan>年代年代pan>x年代pan>d年代pan>年代年代pan>.年代pan>
代入格林函数的方程,你会发现
2年代pan>π年代pan> 1年代pan>∫年代pan>(年代pan>−年代pan>年代年代pan>2年代pan>+年代pan>k年代pan>2年代pan>)年代pan>e年代pan>我年代pan>年代年代pan>x年代pan>g年代pan>(年代pan>年代年代pan>)年代pan>d年代pan>年代年代pan>=年代pan>2年代pan>π年代pan>1年代pan>∫年代pan>e年代pan>我年代pan>年代年代pan>x年代pan>d年代pan>年代年代pan>,年代pan>
所以格林函数的傅里叶变换可以被读出:
g年代pan>(年代pan>年代年代pan>)年代pan>=年代pan>2年代pan>π年代pan> 1年代pan>k年代pan>2年代pan>−年代pan>年代年代pan>2年代pan>1年代pan>.年代pan>
格林函数是由傅里叶反变换定义的
G年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>2年代pan>π年代pan>1年代pan>∫年代pan>(年代pan>k年代pan>+年代pan>年代年代pan>)年代pan>(年代pan>k年代pan>−年代pan>年代年代pan>)年代pan>e年代pan>我年代pan>年代年代pan>x年代pan>d年代pan>年代年代pan>.年代pan>
这种积分可以在复合体中通过轮廓积分来实现<年代pan class="katex"> 年代年代pan>飞机。被积函数有两个单极<年代pan class="katex"> 年代年代pan>=年代pan>±年代pan>k年代pan>.所选择的封闭轮廓为上半平面或下半平面的半圆,其半径取无穷大。上半平面或下半平面的选择取决于的符号<年代pan class="katex"> x年代pan>:积分在半圆弧上消失是可取的,因此半平面的选择使<年代pan class="katex"> e年代pan>我年代pan>年代年代pan>x年代pan>格林函数方程中的因子呈指数衰减,随着半径趋于无穷大而消失。因此,总的轮廓积分等于定义格林函数的原始实积分。如何绕过极点的选择很重要,稍后讨论。在这种情况下,每个等高线都只包含一个极点,而哪个极点的选择取决于半圆被封闭在哪个半平面内。
为<年代pan class="katex"> x年代pan>>年代pan>0年代pan>时,封闭杆为<年代pan class="katex"> 年代年代pan>=年代pan>k年代pan>和柯西剩余定理
G年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>−年代pan>2年代pan>π年代pan>1年代pan>∮年代pan>k年代pan>+年代pan>年代年代pan>e年代pan>我年代pan>年代年代pan>x年代pan>年代年代pan>−年代pan>k年代pan>1年代pan>d年代pan>年代年代pan>=年代pan>−年代pan>2年代pan>π年代pan>我年代pan>2年代pan>π年代pan>1年代pan>2年代pan>k年代pan>e年代pan>我年代pan>k年代pan>x年代pan>=年代pan>−年代pan>我年代pan>2年代pan>k年代pan>e年代pan>我年代pan>k年代pan>x年代pan>.年代pan>
执行类似的集成<年代pan class="katex"> x年代pan><年代pan>0年代pan>收益率
G年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>−年代pan>我年代pan>2年代pan>k年代pan>e年代pan>−年代pan>我年代pan>k年代pan>x年代pan>.年代pan>
结合这两个表达式,因此,一维Schrödinger方程的格林函数的最终结果是
G年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>−年代pan>我年代pan>2年代pan>k年代pan>e年代pan>我年代pan>k年代pan>∣年代pan>x年代pan>∣年代pan>.年代pan>
因此,任意势的Schrödinger方程的通解是
ψ年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>ψ年代pan>0年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>+年代pan>ℏ年代pan>2年代pan>2年代pan>米年代pan>∫年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>−年代pan>y年代pan>)年代pan>V年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>ψ年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>=年代pan>ψ年代pan>0年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>−年代pan>ℏ年代pan>2年代pan>k年代pan>我年代pan>米年代pan>∫年代pan>e年代pan>我年代pan>k年代pan>∣年代pan>x年代pan>−年代pan>y年代pan>∣年代pan>V年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>ψ年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>
与<年代pan class="katex"> ψ年代pan>0年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>齐次方程的解。<!-- end-example -->
当进行上述轮廓积分时,如何绕过极点的选择是很重要的。在量子力学和量子场论中<年代trong>费曼处方年代trong>避让用的是杆子。这个公式表示在一个点测量的粒子在以后的另一个点测量的可能性,反之亦然:由于积分轮廓的任意一种选择都包含一个极点,因此可以出现任何一个方向。所得到的格林函数通常被称为<年代trong>费曼宣传者年代trong>或者费曼格林函数。
然而,对于给定的物理环境,这并不总是合适的极点惯例。例如,在电动力学中,人们经常关心在给定源的初始配置的情况下,寻找电磁场的未来传播。场只从电荷源发出辐射;没有反向传播的运行方向。因此,使用了一种不同的极点约定,如果<年代pan class="katex">
x年代pan><年代pan>0年代pan>并且包含两极如果<年代pan class="katex">
x年代pan>>年代pan>0年代pan>,称为<年代trong>迟滞极公约年代trong>.这就产生了另一个格林函数,叫做<年代trong>延迟传播算子年代trong>或者延迟格林函数,这通常是电磁学问题中正确的格林函数。选择对极惯例,它可以绕过两极,如果<年代pan class="katex">
x年代pan>>年代pan>0年代pan>反之亦然<年代trong>先进的传播算子年代trong>或者先进的格林函数,例如在电磁学和场论中,当人们知道一个接近无穷远的系统的状态,并想要推导出有限位置或时间的状态时,它是有用的。
计算格林函数的一个更有效的捷径是取相关的微分算子,将每个导数替换为因子<年代pan class="katex">
我年代pan>k年代pan>,然后取倒数。这立即得到格林函数的傅里叶变换到一个乘法因子以内。在量子场论中,格林函数的傅里叶变换通常更直接有用,这个技巧节省了很多工作。
一个巨大的标量场<年代pan class="katex">
ϕ年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>t年代pan>)年代pan>的质量<年代pan class="katex">
米年代pan>在量子场论中满足<年代trong>克莱因戈登方程年代trong>
(年代pan>□年代pan>+年代pan>米年代pan>2年代pan>)年代pan>ϕ年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>t年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>,年代pan> 在哪里<年代pan class="katex">
□年代pan>表示达朗伯特波算符:
□年代pan>=年代pan>−年代pan>∂年代pan>t年代pan>2年代pan>∂年代pan>2年代pan>+年代pan>∂年代pan>x年代pan>2年代pan>∂年代pan>2年代pan>+年代pan>∂年代pan>y年代pan>2年代pan>∂年代pan>2年代pan>+年代pan>∂年代pan>z年代pan>2年代pan>∂年代pan>2年代pan>.年代pan> 通过傅里叶变换求动量空间中克莱恩-戈登算子的格林函数。请注意,<年代pan class="katex">
k年代pan>=年代pan>(年代pan>E年代pan>,年代pan>k年代pan>
)年代pan>是一个有四个分量的矢量:一个粒子的能量,和它的空间动量的三个分量。
符号年代trong>:<年代pan class="katex">
腹肌年代pan>(年代pan>⋅年代pan>)年代pan>表示绝对值函数。
在量子场论中,对应于特定场的格林函数用费曼图中的内线表示。例如,量子场论中的光子是用场来表示的<年代pan class="katex">
一个年代pan>μ年代pan>它描述了电磁学的电势和磁势。这个场的运动方程是麦克斯韦方程,可以用四维向量表示
(年代pan>g年代pan>μ年代pan>ν年代pan>∂年代pan>2年代pan>−年代pan>∂年代pan>μ年代pan>∂年代pan>ν年代pan>)年代pan>一个年代pan>μ年代pan>=年代pan>j年代pan>ν年代pan>.年代pan> 对应的格林函数
D年代pan>μ年代pan>ν年代pan>(年代pan>k年代pan>)年代pan>=年代pan>k年代pan>2年代pan>−年代pan>我年代pan>(年代pan>g年代pan>μ年代pan>ν年代pan>−年代pan>k年代pan>2年代pan>k年代pan>μ年代pan>k年代pan>ν年代pan>)年代pan>.年代pan> 这对应于每个光子线的费曼图计算中包含的因素:
参考文献
M.T.霍默·里德的课堂讲稿,MIT 18.305
D.V.施罗德和M.E.佩斯金。
[3]大卫·格里菲思。
[4]图片来自https://en.wikipedia.org/wiki/Feynman_diagram#/media/File:Feynman-diagram-ee-scattering.png,基于知识共享许可,允许重复使用和修改。