最大公约数gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba最大公约数gydF4y2Ba，亦称gydF4y2Ba最大的共同因素gydF4y2Ba，两个数中能同时除两个数的最大数。例如，20和15的最大公因数是5，因为5能除20和15，再大的数也没有这个性质。这个概念很容易扩展到两个以上数字的集合:一组数字的GCD是它们各自除以的最大数字。gydF4y2Ba

GCD被用于各种各样的应用gydF4y2Ba数论gydF4y2Ba,尤其是在gydF4y2Ba模运算gydF4y2Ba这样的加密算法gydF4y2BaRSAgydF4y2Ba．它也用于更简单的应用程序，例如gydF4y2Ba简化分数gydF4y2Ba．这使得GCD成为数论中一个相当基本的概念gydF4y2Ba算法gydF4y2Ba已经发现可以有效地计算它。gydF4y2Ba

GCD传统上被记作gydF4y2Ba ${gcd} \文本(a, b)gydF4y2Ba$，或者当上下文清楚时，简单地gydF4y2Ba $(a, b)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

几个数字的GCD可以通过简单的列出来计算gydF4y2Ba因素gydF4y2Ba并确定最大公约数。虽然在实践中这是非常低效的，但对于特别小的情况，它是可以手工完成的。这个过程可以用因素对的方法分解:一旦一个因素确定了一个因素gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$的数量gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$,商gydF4y2Ba $\压裂{n}{一}gydF4y2Ba$当然也是一个因素。例如，因为2是24的因数，gydF4y2Ba $\压裂{24}{2}= 12gydF4y2Ba$也是一个因素。gydF4y2Ba

求的最大公约数gydF4y2Ba $30日,36岁,gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $24.gydF4y2Ba$

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每个数的除数是gydF4y2Ba

$\begin{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \\ 36: &1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 \\ 24: &1, 2, 4, 6, 12, 24 \end{aligned}gydF4y2Ba$

出现在每个列表上的最大数字是gydF4y2Ba $6，gydF4y2Ba$这是最大公约数:gydF4y2Ba

$36 \肾小球囊性肾病(30日,24)= 6。\ _ \广场gydF4y2Ba$

当数字很大时，因子列表可能长得令人望而却步，这使得上述方法非常困难。比较有效的方法是先计算gydF4y2Ba质因数分解gydF4y2Ba集合中每个数字的。得到的GCD是每个因数分解中出现的质数的乘积，以及在因数分解中出现的最小指数。这很容易让人混淆，所以让我们看一个例子:gydF4y2Ba

计算gydF4y2Ba $\肾小球囊性肾病(4200、3780、3528)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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我们有gydF4y2Ba

$\begin{align} 4200 &= 2^3 \cdot 3^{\ cdot 1} \cdot 5^2 \cdot 7^ {3780 &= 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^{cdot 7} \ 3528 &= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^0} \cdot 7^2结束\{对齐}gydF4y2Ba$

因为2出现在每一个因数分解中，它也会出现在GCD中。在分解时取最小的幂，在这个例子中是2。所以GCD将包含gydF4y2Ba $2 ^ 2gydF4y2Ba$在其分解。继续沿着这些线，我们得到GCD为gydF4y2Ba

$2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84。\ _ \广场gydF4y2Ba$

在正式的符号中，如果的质因数分解gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba

$一个= p_1 ^ {\ alpha_1} p_2 ^ {\ alpha_2} \ ldots p_k ^ {\ _k} \四b = p_1 ^ {\ beta_1} p_2 ^ {\ beta_2} \ ldots p_k ^ {\ beta_k},gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $p_igydF4y2Ba$是不同的质数吗gydF4y2Ba $\ alpha_igydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $\ beta_igydF4y2Ba$是非负整数吗gydF4y2Ba

$\肾小球囊性肾病(a, b) = p_1 ^ {\ min (\ alpha_1 \ beta_1)} p_2 ^ {\ min (\ alpha_2 \ beta_2)} \ ldots p_k ^ {\ min (_k, \ \ beta_k)}。gydF4y2Ba$

一个类似的公式适用于求几个整数的GCD，方法是为每个质数取最小的指数。gydF4y2Ba

而gydF4y2Ba质因数分解gydF4y2Ba方法往往是最实用的手工去做，偶尔确定质因数分解也是gydF4y2Ba非常困难的gydF4y2Ba，在这种情况下，就需要另一种方法。一般来说，在这些情况下，gydF4y2Ba算法gydF4y2Ba是在下一节中使用的。gydF4y2Ba

因为大量的数字很难用手工处理，所以有许多算法可以将问题简化到可管理的水平。由于GCD具有gydF4y2Ba

$文本\ {gcd} (a, b, c) = {gcd} \文本(文本\ {gcd} (a、b), c)gydF4y2Ba$

GCD可以“一次计算两个”，例如，如果我们想求20、28、24的GCD，我们可以先求gydF4y2Ba $20.gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $28gydF4y2Ba$(即4)，然后是4和24(也是4)的GCD。因此，几乎所有算法都关注于确定两个数字的GCD的最简单情况。gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba欧几里得算法gydF4y2Ba是基于以下关键观察:如果gydF4y2Ba $dgydF4y2Ba$分gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $dgydF4y2Ba$分gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$,然后gydF4y2Ba $dgydF4y2Ba$也分gydF4y2Ba $a - bgydF4y2Ba$例如,(通过gydF4y2Ba模运算gydF4y2Ba)．这意味着GCDgydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$和的GCD是一样的吗gydF4y2Ba $a - bgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$这是一种进步，因为这使得数字变小了。gydF4y2Ba

因此，我们可以重复这个过程，形成一个算法:gydF4y2Ba

1. 如果gydF4y2Ba $a = bgydF4y2Ba$停止——GCD的gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$当然,gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$．否则，请转步骤2。gydF4y2Ba
2. 如果gydF4y2Ba $a >gydF4y2Ba$、替换gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $a - bgydF4y2Ba$，然后回到步骤1。gydF4y2Ba
3. 如果gydF4y2Ba $b >gydF4y2Ba$、替换gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $(b - a)gydF4y2Ba$，然后回到步骤1。gydF4y2Ba

确定84和132的最大公因数。gydF4y2Ba

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我们遵循我们的算法:gydF4y2Ba

1. $一个gydF4y2Ba$是84,gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$是132。自gydF4y2Ba $b >gydF4y2Ba$,我们替换gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $B - a = 132 - 84 = 48gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
2. $一个gydF4y2Ba$是84,gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$是48。自gydF4y2Ba $a >gydF4y2Ba$,我们替换gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $A - b = 84 - 48 = 36gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
3. $一个gydF4y2Ba$是36,gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$是48。自gydF4y2Ba $b >gydF4y2Ba$,我们替换gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $B - a = 12gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
4. $一个gydF4y2Ba$是36,gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$是12。自gydF4y2Ba $a >gydF4y2Ba$,我们替换gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $A - b = 24gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
5. $一个gydF4y2Ba$24日,gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$是12。自gydF4y2Ba $a >gydF4y2Ba$,我们替换gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $A - b = 12gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
6. $一个gydF4y2Ba$是12,gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$是12。自gydF4y2Ba $a = bgydF4y2Ba$在美国，GCD是12。gydF4y2Ba

由于每个点上的数字越来越小，该算法最终将完成并生成GCD。在实践中，这可以变得相当有效，如主要部分所述gydF4y2Bawiki页面gydF4y2Ba例如，你可能已经注意到，一旦我们读到36和12，我们可以“跳过”gydF4y2Ba $= 24gydF4y2Ba$的一步。欧几里得算法在手工操作中特别有用，因为通常情况下，一旦数字足够低，GCD就会变得“明显”(例如，你可能已经注意到了gydF4y2Ba $A = 36, b = 12gydF4y2Ba$那么GCD就是12年了gydF4y2Ba $36 = 12 \cdot 3gydF4y2Ba$)．gydF4y2Ba

另外还有一个稍微复杂一点的算法gydF4y2Ba斯坦的算法gydF4y2Ba，这是基于同样的观察，但另外检查gydF4y2Ba奇偶校验gydF4y2Ba的数字:gydF4y2Ba

1. 如果gydF4y2Ba $a = bgydF4y2Ba$停止——GCD的gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$当然,gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$．否则，请转步骤2。gydF4y2Ba
2. 如果gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$两者都是偶数吗gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $\压裂{一}{2}gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $\压裂{b} {2}gydF4y2Ba$，增加计数器。gydF4y2Ba
3. 如果gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$甚至和gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$是奇数,取代gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $\压裂{一}{2}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
4. 如果gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$奇怪的是,gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$是偶数,取代gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $\压裂{b} {2}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
5. 如果gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$都是奇数吗，替换gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $a - bgydF4y2Ba$(就像上面的欧几里得算法)。gydF4y2Ba

这是，对于计算机来说，某种程度上更有效率，因为乘2除法的使用非常快gydF4y2Ba二进制数gydF4y2Ba．用手来做也更自然一些;从本质上说，如果你注意到欧几里得算法的任何一点上的“明显”公因数(这里的“明显”公因数是2，但它也可以是其他使用gydF4y2Ba可分性规则gydF4y2Ba)．gydF4y2Ba

GCD用于许多简单和复杂的应用程序。实际上，您可能已经隐式地计算了gcd，而没有在何时识别它gydF4y2Ba简化分数gydF4y2Ba分数的化简就是分子和分母同时除以GCD。gydF4y2Ba

是什么gydF4y2Ba $\压裂{246}{642}gydF4y2Ba$在最低的条件吗?gydF4y2Ba

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用上述任何一种方法，我们计算的最大公约数gydF4y2Ba $246gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $642gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $6.gydF4y2Ba$上下同时除以gydF4y2Ba $6gydF4y2Ba$得到gydF4y2Ba $\压裂{41}{107}gydF4y2Ba$．这个分数确实是最低项(正如我们所期望的)，因为它是唯一能同时除以两个数的正整数gydF4y2Ba $41gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $107gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $1.gydF4y2Ba$ $_ \广场gydF4y2Ba$

整数对，例如gydF4y2Ba $41gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $107年,gydF4y2Ba$是谁的肾小球囊性肾病gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$被称为gydF4y2Ba互质gydF4y2Ba，并且有很多有用的原因，例如gydF4y2BaBezout的身份gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

GCD也用于gydF4y2Ba扩展欧几里德算法gydF4y2Ba来计算gydF4y2Ba模块化的逆gydF4y2Ba，这在加密方案中是极其重要的，例如gydF4y2BaRSAgydF4y2Ba．当考虑到gydF4y2Ba元素的顺序gydF4y2Ba,尤其是在gydF4y2Ba拉格朗日定理gydF4y2Ba尤其适用于gydF4y2Ba模运算gydF4y2Ba．这使得它成为一个常见的话题gydF4y2Ba比赛和奥林匹克运动会gydF4y2Ba．gydF4y2Ba