高斯:数学王子
当你进一步学习大学数学和物理时,无论你转向哪里,你都会反复遇到这个名字高斯.约翰·卡尔·弗里德里希·高斯是历史上最有影响力的数学家之一。1777年4月30日,高斯出生在德国哈尔茨山脉以北的一个名叫布伦瑞克的小城。作为农民的儿子(父母都是文盲),他提出了数量惊人的重要思想,还有更多以他命名的思想。许多人称他为数学之王,或“数学之王”。数学王子.”
作为他博士论文的一部分(21岁时),高斯是第一个证明代数基本定理的人之一。他在数论、代数、统计学、分析学、微分几何、大地测量学、地球物理学、静电学、天文学、光学等数学领域发表了开创性的著作。数论是高斯的最爱,他称数论为“数学女王”。
早期
高斯之所以能在他的一生中做出如此多的数学贡献,其中一个原因是他起步很早。有许多关于他童年早熟的故事。年轻的高斯最著名的轶事是他在10岁的时候发现了计算等差数列和的捷径。
这个故事涉及到他的老师,他想休息一下,因为工作繁忙,让学生们把1到100的整数求和。几秒钟后,老师看到高斯无所事事地坐着。当被问及为什么他不疯狂地做加法时,高斯很快回答说,总数是5050。他的同学和老师都很惊讶,高斯最终成为唯一一个计算出正确答案的学生。
这个故事可能是杜撰的,并且在不同的来源中以不同的方式讲述。没有人知道高斯小时候是用哪一种方法对等差数列求和的。尽管年轻的高斯可能有几种方法来解决这个问题,但其中一种方法具有简洁、直观和优雅的视觉表示。
考虑图1中所示的两组弹珠。左边那堆 一排排的蓝色弹珠,在那里 行包含 弹珠。右边那一堆有 一排排的红色弹珠,在那里 行包含 弹珠。
蓝色弹珠的总数是
而红色弹珠的总数是
显然它们都含有相同数量的弹珠。现在,如果我们将这些堆加在一起,如图2所示,我们将得到一个包含 行,每行包含的内容 弹珠:
增加的一堆弹珠的总数是 .因为红球和蓝球的数量相等,所以每一堆都有贡献 弹珠。因此,我们得到
要把从1到100的所有数字加起来,高斯只需简单地计算 ,这比把从1到100的所有数字相加要简单得多。请注意, 必须总是正整数。即使上面的公式除以2,结果总是一个正整数。这是因为分子总是方便的偶数由于的乘法性质奇偶校验.例如, 可能是偶数,也可能是奇数。如果 是偶数,那么 是奇数,因此
类似地,如果 是奇怪的 是偶数,因此
因此,分子总是偶数和 总是正整数。
表格编号 被称为三角数,原因在上面的图中很好地说明了。前几个三角数是
对等差数列求和的应用是很常见的,无论是在课堂问题中,还是在描述更广阔的世界中。很少有10岁的孩子能自己算出等差数列。一个早熟的10岁孩子长大后几乎像高斯一样多产,这就更不常见了。