高斯定律GyD.F4.y2B.a

高斯定律GyD.F4.y2B.a指出任何费用GyD.F4.y2B.a $问：GyD.F4.y2B.a$可以被认为产生一定数量的通量通过任何包围表面。从物理上讲，我们可以想到任何光源，如灯泡或太阳，它向各个方向发出一定的功率。无论我们把它困在什么形状的外围表面，也无论光源离表面有多近或多远，外围表面在单位时间内接收到的能量都是相同的GyD.F4.y2B.a $P_0.GyD.F4.y2B.a$。GyD.F4.y2B.a

以类似的方式，分布总费用GyD.F4.y2B.a $\ sum_i q_i.GyD.F4.y2B.a$将通过任何封闭表面产生不变的通量，这被定义为所有无限的表面上的总和GyD.F4.y2B.a $达GyD.F4.y2B.a$，垂直于表面的电场分量。尽管不总是一个实用的工具，但在可以利用几何对称的情况下，高斯定律是快速计算电场的一个令人难以置信的强大工具。类似的定律也适用于其他平方反比定律，例如牛顿引力定律。GyD.F4.y2B.a

高斯电通量定律表明，通过任何封闭表面的净电通量与被该表面包围的电荷成正比:GyD.F4.y2B.a

$\ phi_e = \ frac {q_ \ text {tot}} {\ varepsilon_0}。GyD.F4.y2B.a$

可以证明，该陈述相当于GyD.F4.y2B.a库仑平方反比定律GyD.F4.y2B.a，即任何满足平方反比定律的力也满足高斯定律，而任何满足高斯定律的力都表现为平方反比。高斯定律是电动力学四麦克斯韦方程之一，描述了电场的一个重要性质。如果有一天磁单极子被证明是存在的，那么麦克斯韦方程组就需要稍微修改一下了，因为要证明磁场可以有散度，即。GyD.F4.y2B.a $\ nabla \ cdot b \ sim \ rho_mGyD.F4.y2B.a$。然而，宇宙理论是预测宇宙开始时磁共振确实存在，但由于其高不稳定性而崩溃。GyD.F4.y2B.a

封闭的表面是表面GyD.F4.y2B.a紧凑的GyD.F4.y2B.a没有GyD.F4.y2B.a边界GyD.F4.y2B.a。换句话说，封闭表面是将空间（不包括）分成两个不相交的部件，外部和内部的一个闭合表面。封闭表面的一些简单示例包括完整的气泡，脱象球或外壳，如果它们进入睡袋和缝合开口。GyD.F4.y2B.a

松散地说，通过表面的场的通量是净流过它。我们在下面的示例中开发这种直觉。GyD.F4.y2B.a

想到这个类比：GyD.F4.y2B.a

假设你在一根水流的管道中间放了一层棉膜。水通过薄膜的流量是多少?GyD.F4.y2B.a

当然，答案就是GyD.F4.y2B.a速度的平均法向分量GyD.F4.y2B.a倍GyD.F4.y2B.a膜的区域GyD.F4.y2B.a。GyD.F4.y2B.a

这就是我们通过膜所谓的通量！GyD.F4.y2B.a

为什么我们要采取正常组成部分？因为膜与流动方向的对准。如果膜和流量都水平对齐怎么办？GyD.F4.y2B.a

$\Phi = oint_{mathcal{S}} \overright tarrow{E} \cdot d \overright tarrow{A}。GyD.F4.y2B.a$

向量场在一点上的散度是场的源或汇在那一点上的大小。当然，这等同于说散度代表了向量场从一个无限小的体积，围绕给定点向外流量的体积密度。GyD.F4.y2B.a

正式地说，上面的翻译为GyD.F4.y2B.a

这GyD.F4.y2B.a传染媒介领域的分歧GyD.F4.y2B.a $\超级arraw {e}GyD.F4.y2B.a$在一个点GyD.F4.y2B.a $P.GyD.F4.y2B.a$被定义为净流量的限制GyD.F4.y2B.a $\超级arraw {e}GyD.F4.y2B.a$穿过三维区域的平稳边界GyD.F4.y2B.a $V.GyD.F4.y2B.a$除以的体积GyD.F4.y2B.a $V.GyD.F4.y2B.a$作为GyD.F4.y2B.a $V.GyD.F4.y2B.a$收缩GyD.F4.y2B.a $P.GyD.F4.y2B.a$：GyD.F4.y2B.a

$\ OperatorName {div} \，\ \ over.Rightarrow {e}（p）= \ lim_ {v \ lightarrow \ {p \}} \ iint_ {s（v）} {\ optrightarrow {e} \ cdot \ widehat {n} \超过| v |} \;DS，GyD.F4.y2B.a$

在哪里GyD.F4.y2B.a $| v |GyD.F4.y2B.a$是卷GyD.F4.y2B.a $V.GyD.F4.y2B.a$那GyD.F4.y2B.a $年代(V)GyD.F4.y2B.a$是边界GyD.F4.y2B.a $V.GyD.F4.y2B.a$，积分是与的曲面积分GyD.F4.y2B.a $\ widehat {n}GyD.F4.y2B.a$垂直于那个表面的向外单位。GyD.F4.y2B.a

在笛卡尔坐标系中的应用:GyD.F4.y2B.a

如果有一个矢量字段，这样GyD.F4.y2B.a

$\ overRightArrow {e}（x \ widehat {i} + y \ widehat {j} + z \ widehat {k}）= u \ widehat {i} + v \ widehat {j} + w \ widehat {k}，GyD.F4.y2B.a$

然后GyD.F4.y2B.a

$\ OperatorName {div} \，\ \ oveRightArrow {e} = \ nabla \ cdot \ eptractionArrow {e} = \ frac {\ partial {u}} {\ partial {x}}} {\ filial {x}}} {\ frac {partial {v}} {\ partial {y}} + \ frac {\ partial {w}} {\ partial {z}}。GyD.F4.y2B.a$

积分形式GyD.F4.y2B.a
如果GyD.F4.y2B.a $S.GyD.F4.y2B.a$是一个封闭的表面，其中充电GyD.F4.y2B.a $问：GyD.F4.y2B.a$被封闭，然后是通量GyD.F4.y2B.a $\ phi_e.GyD.F4.y2B.a$通过GyD.F4.y2B.a $S.GyD.F4.y2B.a$是（谁）给的GyD.F4.y2B.a

$\Phi_E = oint_{\mathcal{S}} \overrightarrow{E} \cdot d \overrightarrow{A} = frac{Q}{\varepsilon_0}。GyD.F4.y2B.a$

差异形式GyD.F4.y2B.a
如果GyD.F4.y2B.a $左(\ \ρ\ overrightarrow {r} \右)GyD.F4.y2B.a$电荷的体积密度是GyD.F4.y2B.a $\超级arraw {r}GyD.F4.y2B.a$，然后是电场的分歧GyD.F4.y2B.a $\超级arraw {e}GyD.F4.y2B.a$在GyD.F4.y2B.a $\超级arraw {r}GyD.F4.y2B.a$是GyD.F4.y2B.a

$\nabla \cdot \overrightarrow{E}\left(\overrightarrow{r}\right) = \frac{\rho \left(\overrightarrow{r}\right)}{varepsilon_0}。GyD.F4.y2B.a$

以上关于助焊剂和发散的讨论应该清楚为什么这两种形式是等同的。然而，这种等价来自高斯定理或分歧定理。GyD.F4.y2B.a

类似的说法，如电高斯定律，也可以适用于其他几个领域。这里有一个这样的表达表，其中的符号有它们通常的含义。GyD.F4.y2B.a

从高斯推导库仑：GyD.F4.y2B.a

考虑一个费用GyD.F4.y2B.a $问：GyD.F4.y2B.a$一个有半径的球体GyD.F4.y2B.a $R.GyD.F4.y2B.a$。GyD.F4.y2B.a

通过Gauss的法律，球体的领域的通量是GyD.F4.y2B.a $\压裂{Q} {\ varepsilon},GyD.F4.y2B.a$哪个等于GyD.F4.y2B.a $4 \ r^2 |E|，GyD.F4.y2B.a$所以GyD.F4.y2B.a

$4 \pi r^2 |E| = \frac{Q}{\varepsilon} \右转|E| = \frac{Q}{4 \pi r^2 \varepsilon}GyD.F4.y2B.a$

所以，放置测试费用GyD.F4.y2B.a $问：GyD.F4.y2B.a$在不会打扰它的领域导致力量GyD.F4.y2B.a

$|F| = q |E| = q \frac{q}{4 \pi r^2 \varepsilon}，GyD.F4.y2B.a$

这就是库仑定律。GyD.F4.y2B.a

请阅读GyD.F4.y2B.aJohn Muradeli的说明GyD.F4.y2B.a为了更好地解释上述证明。GyD.F4.y2B.a

从库仑推导高斯:GyD.F4.y2B.a

我们从单点电荷的库仑定律开始GyD.F4.y2B.a $e = \ frac {\ gamma} {r ^ 2}GyD.F4.y2B.a$,在那里GyD.F4.y2B.a $\ gamma = \ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon_0}GyD.F4.y2B.a$。GyD.F4.y2B.a

现在，我们将电场整合在包装电荷的闭球面上：GyD.F4.y2B.a

$\ begin {对齐} \ oint e \ cdot \ hat {n} \，da＆= \ oint \ frac {\ gamma} {r ^ 2} \，da \\＆= \ frac {\ gamma} {r ^ 2} \ oint \，da \\＆= \ frac {\ gamma} {r ^ 2} 4 \ pi r ^ 2 \\＆= 4 \ pi \ gamma \\＆= \ frac {q} {\ varepsilon_0}，\结束{对齐}GyD.F4.y2B.a$

这就是高斯定律。GyD.F4.y2B.a $_\正方形GyD.F4.y2B.a$。GyD.F4.y2B.a

笔记GyD.F4.y2B.a：证明仅适用于球形表面;更常见的证据最终使用矢量微积分和绿色/三角洲功能。随意在一般情况下拍摄。GyD.F4.y2B.a

高斯的法律是关于逆平方字段的强大陈述。不仅在解决问题，它还发现了它在四个麦克斯韦方程以及重力中的位置。GyD.F4.y2B.a

看GyD.F4.y2B.a大卫的套装GyD.F4.y2B.a介绍高斯定理及其应用。GyD.F4.y2B.a