加布里埃尔的号角

加布里埃尔的号角是具有无限表面积的矛盾性质的形状，但是有限的体积。

考虑通过旋转由界定的区域形成的固体的表面积和体积 $X$-轴， $x = 1$， 和 $y = \ frac {1} {x}$，周围 $X$-轴。这种坚实被称为加布里埃尔的号角。

可以使用磁盘方法找到旋转稳定的体积：

$v = \ pi \ int_1 ^ a \ frac {dx} {x ^ 2} = \ pi \ left（1 - \ frac {1} {a} \右）。$

现在考虑在我们允许的时候会发生什么 $一种$接近无限：

$\ displaystyle \ lim_ {a \ to \ infty} \ pi \ left（1 - \ frac {1} {a} \ recten）= \ pi。$

旋转革命的表面积由公式给出

$s = 2 \ pi \ int_a ^ b r（x）\ sqrt {1+ \ left（\ frac {dy} {dx}右）^ 2} \，dx。$

在这种情况下，自从 $\ frac {d} {dx} \ left（\ frac {1} {x}右）= - \ frac {1} {x ^ 2}，$这给了我们

$\ begin {对齐} s＆= 2 \ pi \ int_1 ^ a \ frac {1} {x} \ sqrt {1+ \ left（ - \ frac {1} {x ^ 2} \右）^ 2} \，dx \\＆= 2 \ pi \ int_1 ^ a \ frac {1} {x} \ sqrt {1+ \ frac {1} {x ^ 4}} \，dx。\结束{对齐}$

这种积分很难评估，但从我们的间隔内 $\ sqrt {1+ \ frac {1} {x ^ 4}} \ geq 1$和 $\ frac {1} {x}> 0$那

$2 \ pi \ int_1 ^ a \ frac {1} {x} \ sqrt {1+ \ frac {1} {x ^ 4}} \，dx \ geq 2 \ pi \ int_1 ^ a \ frac {1} {x} \，dx。$

它遵循：

$\ begin {senugent} s＆\ geq 2 \ pi \ int_1 ^ a \ frac {1} {x} \，dx \\ s＆\ geq 2 \ pi \ ln a。\结束{对齐}$

但 $\ displaystyle \ lim_ {a \ to \ infty} 2 \ pi \ ln a = \ infty$，这意味着加布里埃尔的喇叭具有无限的表面积，但仅限量 $\ PI.$！！