基本三角恒等式-解决问题(简单)

当使用三角恒等式时，记住以下提示可能会很有用:

• 画风绘制出它是否只涉及基本三角函数问题的图片。
• 如果问题表示三角函数之间的恒等式，试着在恒等式的一边用另一边的三角函数来表示三角函数。
• 使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/pythagorean-identities/" class="wiki_link" title="毕达哥兰身份" target="_blank">毕达哥兰身份计算三角恒等式中的值。
• 共轭乘以rational表达式以利用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/pythagorean-identities/" class="wiki_link" title="毕达哥兰身份" target="_blank">毕达哥兰身份．
• 通过寻找共同点添加有理式。

的图形的基本周期 $\ sin x，\ cos x，\ csc x，\ sec x$是 $2 \π,$而图的基本周期 $tanx, cot x$是 $\ PI.$．

毕达哥拉斯的身份:

$罪\开始{对齐}\ \因为^ ^ 2 + 2 & = & 1 \ \ \ tan ^ 2 + 1 & = & \秒2 ^ \ \ \床^ 2 + 1 & = & \ csc ^ 2 A \{对齐}结束$

复合角公式:

$\begin{aligned} sin(A\pm B) &=& sin A\ cos B \pm \cos A\ sin B \cos(A\pm B) &=& frac{tan A\pm B} {1 \mp \tan A\ tan B}。结束\{对齐}$

您可能会发现下面的表有用：

$\开始{阵列} {|C |C |C |C |C |Ç|} \ HLINE \ THETA＆0 ^ \ CIRC＆\压裂{\ PI} {6} = 30 ^ \ CIRC＆\压裂{\ PI} {4} = 45 ^ \ CIRC＆\压裂{\ PI} {3.} = 60^\circ & \frac{\pi}{2} = 90^\circ\\ \hline \sin \theta & \frac {\sqrt{0}} {2} & \frac {\sqrt{1}} {2} & \frac {\sqrt{2}} {2} & \frac {\sqrt{3}} {2} & \frac {\sqrt{4}} {2} \\ \hline \cos \theta & \frac {\sqrt{4}} {2} & \frac {\sqrt{3}} {2} & \frac {\sqrt{2}} {2} & \frac {\sqrt{1}} {2} & \frac {\sqrt{0}} {2}\\ \hline \tan \theta & 0 & \frac { 1}{\sqrt{3} } & 1 & \sqrt{3} & \infty \\ \hline \end{array}$

对于任何一个角 $\θ,$我们有

$\ begin {senugented} \ cos ^ 2 \ theta + sin ^ 2 \ theta＆= 1 \\ 1 + \ tan ^ 2 \ theta＆= \ sec ^ 2 \ theta \\ \ cot ^ 2 \ theta + 1＆= \ csc ^ 2 \ theta。结束\{对齐}$

对于任何一个角 $\θ,$我们有

$\开始{对齐}\ cos(- \θ)& = \ cosθ\ \ \ \罪(- \θ)& = -θ罪\ \ \ \ \ tan(- \θ)&θ= -谭\ \ \ \ \床(- \θ)& = -θ\床\ \ \ \ csc(- \θ)& = -θ\ csc \ \ \ \秒(- \θ)& = \秒\θ。结束\{对齐}$

对于任何一个角 $\θ,$我们有

$\ begin {对齐} \ sin \ theta＆= \ sin（\ theta + 2 \ pi）＆\ quad \ csc \ theta＆= csc（\ theta + 2 \ pi）\\ \ cos \ theta＆= \ cos（\ theta + 2 \ pi）＆\ quad \ sec \ theta＆= \ sec（\ theta + 2 \ pi）\\ \ tan \ theta＆= \ tan（\ theta + \ pi）＆\ quad \ cot \ theta＆= \ cot（\ theta + \ pi）。结束\{对齐}$

对于任何一个角 $\θ,$我们有

$\ BEGIN {对齐} \ COS \ THETA＆= \罪\左（\压裂{\ PI} {2} - \ THETA \右）\\ \罪\ THETA＆= \ COS \左（\压裂{\ PI}{2} - \ THETA \右）\\ \婴儿床\ THETA＆= \黄褐色\左（\压裂{\ PI} {2} - \ THETA \右）\\ \ CSC \ THETA＆= \秒\左（\压裂{\ PI} {2} - \ THETA \右）。结束\{对齐}$

对于任何一个角 $\θ,$我们有

$\ BEGIN {对齐} \罪2 \ THETA＆= 2 \罪\ THETA \ COS \ THETA \\\\ \ COS 2 \ THETA＆= \ COS ^ 2 \ THETA - \罪^ 2 \ THETA \\＆= 2\ COS ^ 2 \ theta - 用1 \\＆= 1 - 2 \罪^ 2 \ THETA \\\\ \黄褐色2 \ THETA＆= \压裂{2 \黄褐色\ THETA} {1 - \黄褐色^ 2 \ THETA}。结束\{对齐}$

对于任何一个角 $\θ,$我们有

$\begin{aligned} \sin(x+y) &= \sin x \cos y + \cos x \sin y \\ \sin(x-y) &= \sin x \cos y - \cos x \sin y \\\\ \cos(x+y) &= \cos x \cos y - \sin x \sin y \\ \cos(x-y) &= \cos x \cos y + \sin x \sin y \\\\ \tan(x+y) &= \dfrac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} \\ \tan(x-y) &= \dfrac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}. \end{aligned}$

对于任何一个角 $\θ,$我们有

$\开始{对齐} \罪3 \ THETA＆= 3 \罪\ theta - 用4 \罪^ 3 \ THETA \\？\ COS 3 \ THETA＆= 4 \ COS ^ 3 \ theta - 用3 \ COS \有峰。结束\{对齐}$

对于任何一个角 $\θ,$我们有

$罪\ \θ= \压裂谭{2 \ \压裂{\θ}{2}}{1 + \ tan ^{2} \压裂{\θ}{2}}\ \ \ cosθ= \ \压裂{1 - \ tan ^{2} \压裂{\θ}{2}}{1 + \ tan ^{2} \压裂{\θ}{2}}\ \ \ tan \θ= \压裂谭{2 \ \压裂{\θ}{2}}{1 - \ tan ^{2} \压裂{\θ}{2}}。$

对于任何一个角 $\θ,$我们有

$罪\开始{对齐}\ ^ 2 \θ& = \压裂{1}{2}(1 - \ cosθ2 \ \ \ \因为^ 2 \θ& = \压裂{1}{2}(1 + \ cosθ2 \)。结束\{对齐}$

对于任何一个角 $\θ,$我们有

${对齐}\ cos x \ \开始因为y & = \压裂{1}{2}\大(\ cos (x, y) + \ cos (x + y) \大)\ \ \ sin (x) \因为y & = \压裂{1}{2}\大(\ sin (x, y) + \ sin (x + y) \大)\ \ \因为x \罪y & = \压裂{1}{2}\大(\ sin (x + y) - \ sin (x, y) \大)\ \ \ sin (x) \罪y & = \压裂{1}{2}\大(\ cos (x - y) - \ cos (x + y) \大)。结束\{对齐}$

对于任何一个角 $\θ,$我们有

$\开始{对齐}\ sin (x) + \罪y & = 2 \ \离开的罪(\压裂{x + y}{2} \) \因为\离开(\压裂{x - y}{2} \) \ \ \因为x + \ cos y & = 2 \因为\离开(\压裂{x + y}{2} \) \因为\离开(\压裂{x - y}{2} \右)。\ \ \{对齐}结束$

如果 $sin x = cos x = 0.2$，什么是值的 $\ COS 2倍？$

回答

因为毕达哥拉斯等式 $\罪^ 2×+ \ COS ^ 2×1 =$不圆满，就没有解决的办法 $x$因此没有可能的价值 $\因为2 x$． $_ \广场$

如果 $sin = frac45$和 $\θ$未在第一象限，然后找到的价值 $\ COS \ THETA$．

回答

sin只在第一和第二象限是正的 $\θ$不在第一象限，所以肯定是 $\θ$一定在第二象限的什么地方 $\cos \ < 0:$

$\begin{aligned} \sin^2 \theta + cos^2 \theta & = 1 \\ cos^2 \theta & = 1 - sin^2 \theta & = 1 - dfrac{16}{25} = dfrac{9}{25} \\ tarrow \cos \theta & = pm \dfrac35 \\ \ tarrow \cos \theta & = - dfrac35\ _\square \qquad (\text{since} \cos \theta < 0) \\ \end{aligned}$

如果 $\秒\ THETA + \黄褐色\ THETA = \ frac23$，找到价值 $\罪\ THETA$和确定的象限，其中 $\θ$谎言。

回答

我们知道 $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1 \包含\sec^ - \tan \theta - \frac{1}{sec \theta + \tan \theta} = frac{1}{hspace{2mm} \frac23\hspace{2mm}} = frac32$．

通过添加， $（\秒\ THETA + \黄褐色\ THETA）+（\秒\ THETA - \黄褐色\ THETA）= \ frac23 + \ frac32 \意味着2 \秒\ THETA = \压裂{13} {6} \意味着\秒\THETA = \压裂{13} {12}$．

通过减法, $(\sec \theta + \tan \theta) - (\sec \theta - \tan \theta) = frac23 - frac32 \隐含2 \tan \theta = frac{-5}{6} \隐含\tan \theta = frac{-5}{12}$．

从这个我们可以知道 $\秒\ THETA$是积极的， $谭\ \θ$是消极的。这是唯一可能当 $\θ$位于第四象限．

所以， $\罪\ THETA = \压裂{\黄褐色\ THETA} {\秒\ THETA} = \压裂{-5} {13}。$ $_ \广场$

找到价值 $2 \ big（\ sin ^ 6 \ theta + cos ^ 6 \ theta \ big） - 3 \ big（\ sin ^ 4 \ theta + \ cos ^ 4 \ theta \ big）$．

回答

我们有

$\ begin {senugented} 2 \ big（\ sin ^ 6 \ theta + cos ^ 6 \ theta \ big） - 3 \ big（\ sin ^ 4 \ theta + \ cos ^ 4 \ theta \ big）＆= 2 \左[大（\ sin ^ 2 \ theta \ big）^ 3 + big（\ cos ^ 2 \ theta \ big）^ 3 \右] - 3 \ left [\ big（\ sin ^ 2 \ theta \ big）^ 2 + \ big（\ cos ^ 2 \ theta \ big）^ 2 \右] \\＆= 2左[\ big（\ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta \ big）^ 3- 3 \ sin ^ 2 \ theta \ cos ^ 2 \ theta \ big（\ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta \ big）\右] - 3 \ left [\ big（\ sin ^ 2 \ theta+ \ cos ^ 2 \ theta \ big）^ 2 - \ sin ^ 2 \ theta \ cos ^ 2 \ theta \ rectle] \\＆= 2 \ big（1 - 3 \ sin ^ 2 \ theta \ cos ^ 2 \Theta \ big） - 3 \ big（1 - 2 \ sin ^ 2 \ theta \ cos ^ 2 \ theta \ big）\\＆= 2 - 3 \\＆= -1。\ _ \ square \ END {对齐}$

找到价值

1. $\，（\ tan \ theta + \ cot \ theta）^ 2$
2. $sec^2 + csc^2。$

回答

我们有

$\ BEGIN {对齐} 1. \（\黄褐色\ THETA + \婴儿床\ THETA）^ 2＆= \黄褐色^ 2 \ THETA + \婴儿床^ 2 \ THETA + 2 \黄褐色\ THETA \婴儿床\ THETA \\＆=\黄褐色^ 2 \ THETA + \婴儿床^ 2 \ THETA + 2 \\＆= \大（1 + \黄褐色^ 2 \ THETA \大）+ \大（1 + \婴儿床^ 2 \ THETA \大）\\＆= \秒^ 2 \ THETA + \ CSC ^ 2 \ THETA \ {端对齐}$

$\ begin {aligned} 2. \ \ sec ^ 2 \ theta + csc ^ 2 \ theta＆= \ dfrac {1} {\ cos ^ 2 \ theta} + \ dfrac {1} {\ sin ^ 2 \ theta}\\ \\＆= \ dfrac {\ sin ^ 2 \ theta + cos ^ 2 \ theta} {\ sin ^ 2 \ theta \ cdot \ cos ^ 2 \ theta} \\ \\＆= \ dfrac {1}{\ sin ^ 2 \ theta \ cdot \ cos ^ 2 \ theta} \\ \\＆= \ sec ^ 2 \ theta \ cdot \ csc ^ 2 \ theta。\ _ \ square \ neg {aligned}$

在本发明内容中，我们收集了有助于了解解决问题的所有三角函数。

找到价值 $\罪^ 2 \压裂{\ PI} {10} + \罪^ 2 \压裂{4 \ PI} {10} + \罪^ 2 \压裂{6 \ PI} {10} + \罪^ 2 \压裂{9 \ PI} {10}$．

回答

我们有

$罪\开始{对齐}\ ^ 2 \ dfrac{\π}{10}+ \罪^ 2 \ dfrac{4 \π}{10}+ \罪^ 2 \ dfrac{6 \π}{10}+ \罪^ 2 \ dfrac{9 \π}{10}& =罪\ ^ 2 \离开(\ dfrac{\π}{10}\右)+ \罪^ 2 \离开(\ dfrac{\π}{2}- \ dfrac{\π}{10}\右)+ \罪^ 2 \离开(\ dfrac{\π}{2}+ \ dfrac{\π}{10}\右)+ \罪^ 2 \离开(\π- \ dfrac{\π}{10}\)\ \ & =罪\ underbrace {\ ^ 2\ dfrac{\π}{10}+ \ cos ^ 2 \ dfrac{\π}{10}}_ {1}+ \ underbrace {\ cos ^ 2 \ dfrac{\π}{10}+ \罪^ 2 \ dfrac{\π}{10}}_{1}\ \ & = 1 + 1 \ \ & = 2。\ \ _ \广场结束{对齐}$

找到价值 ${cot \frac{pi}{16} \times cot \frac{2 \pi}{16} \times cot \frac{3 \pi}{16} \times cdots \times cot \frac{7 \pi}{16}$．

回答

我们有

$\开始{对齐} \婴儿床\ dfrac {\ PI} {16} \ CDOT \婴儿床\ dfrac {2 \ PI} {16} \ CDOT \婴儿床\ dfrac {3 \ PI} {16} \倍\ cdots \倍\婴儿床\ dfrac {7 \ PI} {16}＆= \左（\婴儿床\ dfrac {\ PI} {16} \ CDOT \婴儿床\ dfrac {7 \ PI} {16} \右）\ CDOT \左（\婴儿床\ dfrac {2 \ PI} {16} \ CDOT \婴儿床\ dfrac {6 \ PI} {16} \右）\ CDOT \左（\婴儿床\ dfrac {3 \ PI} {16} \ CDOT \担架床\ dfrac {5 \ PI} {16} \右）\ CDOT \婴儿床\ dfrac {4 \ PI} {16} \\＆= \左（\婴儿床\ dfrac {\ PI} {16} \ CDOT \婴儿床\大（\ dfrac {\ PI} {2} - \ dfrac {\ PI} {16} \大）\右）\ CDOT \左（\婴儿床\ dfrac {2 \ PI} {16} \ CDOT \婴儿床\大（\ dfrac {\ PI} {2} - \ dfrac {2 \ PI} {16} \大）\右）\ CDOT \左（\婴儿床\ dfrac {3 \ PI} {16} \ CDOT \婴儿床\大（\ dfrac {\ PI} {2} - \ dfrac {3 \ PI} {16} \大）\右）\ CDOT \婴儿床\ dfrac {\ PI} {4} \\＆= \ underbrace {\左（\婴儿床\ dfrac {\ PI} {16} \ CDOT \黄褐色\ dfrac {\ PI} {16} \右）} _ {1} \ CDOT \ underbrace {\左（\婴儿床\ dfrac {2 \ PI} {16} \cdot \tan \dfrac{2\pi}{16} \right)}_{1} \cdot \underbrace{\left(\cot \dfrac{3 \pi}{16} \cdot \tan \dfrac{3\pi}{16} \right)}_{1} \cdot 1 \\ &= 1.\ _\square \end{aligned}$

如果 $3 sin + 4 cos = 5$，然后找到价值 $4 \罪\ theta - 用3 \ COS \ THETA$．

回答

给予 $3 sin + 4 cos = 5，$让 $4 \罪\ theta - 用3 \ COS \ THETA =一$．对这两个方程进行平方和相加，我们得到

$\ begin {对齐} 5 ^ 2＆=（3 \ sin \ theta + 4 \ cos \ theta）^ 2 \\ a ^ 2＆=（4 \ sin \ theta - 3 \ cos \ theta）^ 2 \\ \\ 5 ^ 2 + a ^ 2＆=（3 \ sin \ theta + 4 \ cos \ theta）^ 2 +（4 \ sin \ theta - 3 \ cos \ theta）^ 2 \\ a ^ 2 + 25＆=9 \ sin ^ 2 \ theta + 16 \ cos ^ 2 \ theta + 24 \ sin \ theta \ cos \ theta + 16 \ sin ^ 2 \ theta + 9 \ cos ^ 2 \ theta - 24 \ sin \ theta \ cos \Theta \\ a ^ 2 + 25＆= 25（\ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta）\\ a ^ 2 + 25＆= 25 \\ a＆= 0 \\ \\ \ lightarrow 4 \sin \ theta - 3 \ cos \ theta＆= 0. \ _ \ square \ END {对齐}$

如果 $cos + sin =根号{2}cos$，找到价值 $cos - sin$．

回答

给予 $\ COS \ THETA + \罪\ THETA = \ SQRT {2} \ COS \θ表示$我们有 $(√{2}- 1)cos = sin$．使两侧用乘以 $\大（\ SQRT2 + 1 \大），$我们得到了

$\ begin {对齐} \ big（\ sqrt2 + 1 \ big）\ big（\ sqrt2 - 1 \ big）\ cos \ theta＆= \ big（\ sqrt2 + 1 \ big）\ sin \ theta \\（2 -1）\ cos \ theta＆= \ sqrt2 \ sin \ theta + \ sin \ sin \ theta \\ \\ \ lightarrow \ cos \ theta - \ sin \ theta＆= \ sqrt2 \ sin \ theta。\ _ \ square \ neg {对齐}$