的线性代数基本定理用很多不同的方式把所有四个基本子空间联系起来。这个定理有以下几个主要部分:
第1部分:
线性代数基本定理的第一部分是关于维四个基本子空间:
的列和行空间
米×n矩阵
一个这两个有尺寸
r,排名的矩阵。零空间有维数
n−r,左零空间具有维数
米−r.
的列空间的维数可以通过前几节中的例子来说明
一个=⎝⎛123.2043.693.27⎠⎞
是2,零空间的维数
一个是
n−r=4−2=2.
线性代数基本定理的第一部分有时被称为rank-nullity定理.
第2部分:
线性代数基本定理的第二部分更直接地涉及到基本子空间:
零空间和行空间是正交.左零空间和列空间也是正交的。
换句话说,如果
v在的零空间中
一个而且
w的行空间
一个,点积
v⋅w是0。这是正确的,因为根据定义,零空间中的任何向量都正交于每一个行向量,所以它也正交于它们的任何线性组合。
第3部分:
线性代数基本定理的最后一部分构造了一个正交,并演示了奇异值分解:任何矩阵
米可以写在表格里吗
U∑VT,在那里
-
U是一个
米×米酉矩阵;
-
∑是一个
米×n对角线上非负值的矩阵;
-
V是一个
n×n酉矩阵。
基本定理的这一部分可以让我们立即找到有关子空间的一组基。
这可以总结为下表:
子空间 |
子空间的
|
象征
|
维
|
基础 |
列空间 |
R米 |
即时通讯(一个) |
r=排名 |
第一个
r列
U |
零空间(内核) |
Rn |
根据(一个) |
n−r |
最后的
n−r列
V |
行空间 |
Rn |
即时通讯(一个T) |
r |
第一个
r列
V |
左零空间(内核)
|
R米 |
根据(一个T) |
米−r |
最后的
米−r列
U |
或者也可以总结为下图,其中箭头表示乘法的结果:四个基本子空间之间的关系。来源:https://commons.wikimedia.org/wiki/File:四个subspaces.svg